r-^lia*=NR-f-/p(S.4-N

en supposant» par exemple, que les efforts ^i et N sont parallèles et dirigés dans le même sens; d'où l'on tirera

APPLIQUÉE AUX HACHINBS. 5o3

et par suite

KM'R»û)-(û-û))MR>

S,dt =

en se rappelant les notations adoptées aux n*** 28 et suivants. Autour de l'arbre de Tengrenage moteur, on aura une relation analogue, et, en appelant

Ms la masse de l'eau contenue dans la roue et qui agit par son inertie pendant le choc,

R, la distance à laquelle elle est placée de Taxe de rotation,

R"^ le rayon de la circonférence primitive de la roue d'engre-* nage montée sur l'arbre de la roue hydraulique,

^r\m = W^"^ le moment d'inertie de l'arbre de la roue hydraulique et de tout son équipage,

12i et a)i les vitesses angulaires de cet arbre avant et après le choc,

/i le rapport du frottement à la pression pour ses tourillons et leurs coussinets,

pt le rayon des tourillons,

il et ni les nombres de dents de la roue et du pignon,

/le rapport du frottement à la pression pour les dents,

il est facile de voir que cette relation se réduira à

= (R--y;p.4-rR'7r^') Js.rf/.

Or, entre cette.équation et la précédente, qui sont toutes deux

du premier degré, on éliminera / Si c//, et il ne restera qu'une

relation entre les quatre vitesses angulaires Qi , a)i , û et gd, auxquelles on devra joindre d'abord

R'^Û.^RÛ, R'^w.r^Rû) et

Î2i -H Ml

en appelant 12', la vitesse angulaire moyenne de l'arbre de la

5o4 00UR8 DE MÉGÂlflQUB

roue hydraulique déduite de Tobservation, et qui est d'ailleurs liée à celle de l'arbre à cames par la relation K'^Q.\ = Rû'.

On aura donc ainsi quatre équations, à Taide desquelles on obtiendra facilement Texpressioii des vitesses angulaires û, et 6)1 de l'arbre de la roue hydraulique, avant et après le choc» en fonction de sa vitesse moyenne Ô', et de quantités connues, et l'on en déduira la valeur de la force vive consommée par cet arbre pendant le choc et, par suite, celle de la quantité de travail correspondante

;^ • -(iiî-wDM-'R"'

que le moteur doit développer i chaque choc.

Le reste du calcul se continuera, dans ce cas, comme nous l'avons déjà indiqué, sans offrir aucune difficulté particulière.

Des machines à percer, à découper, à étamper et à frapper

les monnaie.

■\^ h9. Description sommaire. — On emploie, dans les ateliers > Se constructfbn et dans les arsenaux, des machines à découper, ou emporte-pièces, de différents genres, qui se distinguent les unes des autres par leurs dispositions particulières, mais qui agissent, en général, par le choc d'une masse animée d'une grande vitesse, ou plutôt d'une force vive considérable, sur la matière à enlever.-

Un des appareils de ce genre le plus fréquemment usité est le balancier à découper {Jig. ii5) mû par des hommes. Il en existe un grand à l'Arsenal d'Artillerie et un petit à l'Arsenal du Génie à Metz. Nous les prendrons pour exemples de la marche à suivre dans le calcul de ces sortes de machines, et il sera facile ensuite d'en déduire la manière dont on devrait procéder dans d'autres cas.

L'outil destiné à percer ou à découper un trou dans des pièces de métal est ordinairement en acier fondu trempé; il porte le nom de poinçon et se termine inférieurement par une face plane perpendiculaire à la direction de son mouvement, et dont le contour a exactement la forme du trou que

APPLIQVeB tUI lÂCHIim. 5o5

Ton veut obtenir. A partir du tranchant, ie poinçon se rétrécit an peu vers le haut, afin que, après son passage dans le trou qu'il Tait, le reste da corps de l'outil n'éprouve aucune résistance latérale. Ce jrèlnçon s'engage, par une portion troncoaique ou cylindrique, dans une pièce plus forte nontmée

mandrin ou emprunt; il y est arrêté soit avec des vis, soit avec une clef, ou cheville, qui les traverse tous les deux. Le mandrin et le poinçon qui y est flxé s'élèvent verticalement et sont guidés dans ce mouvement par des coulisses prismatiques ou cylindriques, adaptées aux supports du balancier et parfaitement ajustées.

Le mouTemenl d'ascension du mandrin est produit par celui d'une vis en fer à filets carrés, qui est liée au mandrin; mais, comme la vis tourne en s'élevant et en descendant, tandis que la mandrin et le poinçon ne doivent avoir qu'un mouvement vertical, on assemble ces deux pièces au moyen d'un collet i. vis, qui ne les rend solidaires que dans le sens vertical et permet à la vis de tourner sur elle-même, tandis que te mandrin, retenu par ses coulisses ou guides, ne peut que descendre ou monter verticalement.

5o6 COURS DB MÉCàNIQDB

La vis à plusieurs filets» ordinairement au nombre de trois ou quatre, traverse un écrou en bronze, logé dans le chapeau, qui réunit les deux montants du balancier, et sa tête est engagée dans un grand levier en fer dont les deux extrémités portent des masses sphériques ou lenticulaires, destinées à augmenter le moment d'inertie des pièces qui tournent avec la vis. C'est de ce levier ou balancier que la machine tire son nom.

Le support de la machine, ordinairement en métal, se compose de deux montants réunis par un chapeau et paonne semelle; le tout est coulé, le plus souvent, d'une seule pièce, et posé sur un massif solide en maçonnerie où en charpente. La semelle présente, en dessous de la vis, une ouverture sur laquelle se place une plaque plus ov[ moins épaisse, selon les cas, et que l'on nomme porte-matrice, et dans laquelle se fixe, à l'aide d'une vis, la matrice, dont l'ouverture est précisément de mêmes dimensions que le poinçon; celle-ci, qui doit être en acier fondu trempé, se place avec le plus grand soin, de manière que le poinçon la traverse sans frottement.

D'après cette description succlnde, le jeu de la machine est facile à concevoir. Des hommes, agissant à l'extrémité du levier, soit directement à bras, soit par l'intermédiaire de tiraudes, impriment à la vis et à i^on équipage une ?itesse de rotation et, par suite, une force vive considérable. Au travail qu'ils développent s'ajoute celui de la gravité, diminué de celui que consomme le frottement des filets. Le poinçon atteint la pièce à percer ou à découper, que Ton a poussée sur la matrice, et, en vertu de la force vive acquise par le système et quelquefois de l'effort que les hommes exercent encore pendant le percement, il pénètre à travers la matière et en détache une partie de même dimension que le volume engendré par sa surface tranchante. La vitesse de descente et de rotation de la machine est considérablement diminuée à la fin du percement ; mais , passé ce terme , la résistance devenant nulle, le mouvement s'accélère de nouveau, jusqu'à l'instant où la machine est arrêtée, soit par un obstacle fixe, qui éteint en pure perte la force vive qu'elle possède encore, soit par

APPLIQUÉS AUX HàGHIMBS. 607

des ressorts qui lui en restituent une portion plus ou moins grande.

Cela posé, on voit qu'une même descente de la vis correspond i trois périodes distinctes de mouvement, qu'il faut examiner à part. Dans la première, relative à la descente de la vis et de son équipage, depuis le moment où le moteur commence à agir jusqu'à celui où le poinçon atteint la pièce à percer, le mouvement s'accélère par l'action simultanée et successive des hommes et de la gravité. Dans la deuxième, correspondant à toute la durée du percement, le mouvement se retarde jusqu'à l'instant où, la pièce à découper étant traversée, la troisième période commence, et le mouvement s'accélère de nouveau jusqu'à ce qu'il soit tout à fait éteint par des arêtes Oxes ou par des ressorts.

Nous allons examiner successivement ce qui se passe dans chacune de ces trois périodes.

44. Théorie du balancier à découper ordinaire. Première période du mouvement. — A cet effet, appelons :

Q le poids de la vis, du balancier, des sphères, du mandrin, etc.; r' le rayon moyen des filets de la vis ; h' le pas;

a l'angle d'inclinaison du filet moyen à l'horizon; r la distance à l'axe de la vis d'un élément quelconque de

masse m; a> la vitesse angulaire à un instant quelconque de la descente

de la vis; (ù' la vitesse angulaire au moment où le poinçon atteint la pièce

et où le choc et le percement commencent; H la hauteur totale dont le système est descendu à cette

époque ; P Teffort variable exercé par les hommes sur le levier dans le

sens de Tare décrit; dt l'arc élémentaire décrit dans dt par le point d'application

de P.

Pendant la descente, la pression sur les filets de la vis se

ScS COURS DE MÊGÂlflQUB

borne à son poids Q, dont la composante Qsina, parallèle aux filets, tend à la faire glisser, tandis que le frottement qui résulte de la composante Qcosa, normale à ces fllets» s'oppose à ce mouvement.

L'effort p horizontal et tangentiel au cylindre du rayon r', qu'il faut exercer pour faire descendre la vis, a pour expression (voir n~ 73 et suivants, Section III)

rk/— t^ï^g* ^^i-^tang*a ^^

p = Q - — 2î — - — =/Q 3r— ^ Qtanga,

^ ^ i-f-/tanga -^ ^ i -f-/tanga ^ ^ '

expression qui, attendu que tanga = -,9 revient à

27rr

27rr' (27rr' -^ fh') iizr'

Cet effort agissant horizontalement, si la vis descend d'une hauteur H, son point d'application parcourra un arc égal à

le travail consommé dans ce déplacement par la résistance de la vis sera

'^ h' -^ ^ 2 7ir' -^Jh h' ^ ' ^

( ^ ) Frottement de la vis dans le mouvement 'varié. — L'expression da frottement donnée dans le texte convient au mouvement uniforme. Dans l'exemple traité, le mouvement est variable, et il en est de même de la pression normale N sur les filets; celle-ci peut changer de signe, pendant la course, ce qui exige une discussion spéciale dans chaque cas.

Supposons que la vis appuie sur Técrou de haut en bas, on trouve, en projetant le mouvement snr Taxe de la vis,

cos a -t-y sin a \ ittg dt J

Au moyen de cette expression, on peut calculer le travail du frottement /N; en appliquant le principe des forces vives, on trouve que, dans l'équation (i),

p. 609, il faut ajouter au second membre la quantité { oi'* Q 7 — j — ^77 -71

ce qui revient, en conservant les autres termes, à remplacer dans le premier

. Q A'« Qr'h' h'-nnr'f membre - 7— r par -j^r^ -> • (K.)

APPLIQUÉS AUX MACHINES. Sop

Pendant cette môme période, la puissance motrice développe la quantité de travail

qui doit être prise depuis s = o jusqu'à la valeur de s qui correspond à Tare total décrit par le point d'application de P pendant l'action du moteur. Cette quantité de travail eet^ par exemple, celle que peuvent livrer les hommes à chaque coup de balancier.

Quant à la variation de la force vive, il est clair que, la machine étant partie du repos et ayant acquis dans le sens horizontal une vitesse angulaire <«>' à l'instant où le poinçon atteint la matière à percer, elle possédera à ce moment, dans ce sensi une force vive de rotation exprimée par ca'* 2 mr*.

Mais ces pièces sont en outre animées d'une vitesse de des-

cente commune et verticale égale à — pour un instant quel-

w' A' conque, et à pour celui que Ton considère, ce qui cor-

respond à une force vive acquise dans le sens vertical et égale a

^TT g 4^

en appelant M = - la masse totale de la vis et de tout son

équipage.

D'après ce qui précède, le principe des forces vives, appliqué à cette première période, nous donnera l'équation

On remarqueia que, dans cette descente de la vis, nous avons négligé de tenir compte de la quantité de travail consommée par le frottement contre la lunette qui lie le mandrin à la vis, parce qu'il est, dans ce cas, extrêmement faible.

5lO COURS VB MÉGàNIQUB

L'équation précédente donnera la vitesse angulaire tù' k Tinstant où le poinçon atteint la pièce à percer, lorsque Ton connaîtra la quantité de travail livrée par le moteur à chaque coup de balancier. On sait, par exemple, d'après les observations de Coulomb et d'autres ingénieurs, qu'un homme agissant alternativement sur une liraude développe une quantité moyenne de travail de S'^'^jSo par seconde, à raison de huit heures de travail par jour. Lors donc qu'on aura observé le nombre de pièces découpées, dans un temps donné de travail suivi, on en déduira le nombre de coups par seconde, et, par suite, la quantité de travail livrée par le moteur à la machine pour chaque coup.

A l'inverse, si, à l'aide d'appareils particuliers, on pouvait déterminer immédiatement co', l'équation ci-dessus donnerait

la quantité de travail l Vds développée par le moteur.

hH, Deuxième période du mouvement. — Passons maintenant à la deuxième période, pendant laquelle le poinçon pénètre dans la matière, et appelons

F la force de réaction ou la résistance totale de la matière au percement, à un instant quelconque du mouvement;

e l'épaisseur de la pièce à découper au même instant;

c le contour de Touverture ou de la partie à enlever: c'est aussi celui du poinçon ;

K un coefficient constant dépendant de la nature de la matière découpée.

Nous admettrons, jusqu'à ce que l'expérience ait prononcé, que la résistance F esta chaque instant proportionnelle au contour c, à l'épaisseur e et au coefOcient K, de sorte que nous

aurons

F = Kc^.

On voit que, dans cette expression, K représente, à proprement parler, la résistance de l'unité de surface à découper. D'après cela (fig. ii6)

E étant l'épaisseur totale de la pièce à percer;

APPLIQUÉE 4UX MACHINES. 5ll

h la hauteur totale dont le poinçon est descendu à l'instant du percement que Ton considère, H conservant la signification précédente 9

Fig. 116/

la profondeur de l'impression ou le chemin parcouru dans

le sens de F Jusqu'à l'instant que nous considérons, sera h — H,

et l'on aura

er=:E-(A~H);

par conséquent, la quantité de travail développée dans l'élément de temps dt par la résistance F sera

Frf/i = K cedh ^ Kc (E -h H - A) rfA ;

et, en intégrant depuis A = H jusqu'à A = H + £, on a, pour le travail total de F pendant le percement.

FrfAr^:: Re-

cela posé, à un instant quelconque du percement, la vis éprouve, de la part de la matière, la résistance F dirigée en sens contraire de son mouvement de descente, qui se retarde, dans l'élément du temps, dans le sens vertical et dans le sens horizontal; et si nous désignons par dtù la variation de la vi-

5l2 COURS DE MÊCàNIQUI

lesse angulaire horizontale, celle de la vitesse verticale sera

L'inertie de la masse totale — de la vis et de son équipage tend

à s'opposer à ce retard avec une intensité mesurée à chaque instant par