I. — Des petits orifices et tuyaux de conduite servant a
ÉCOULER l'eau ET l'aIR DES RÉSERVOIRS OU DES GAZOMÈTRES.
Notice historique.
1. Les équations différentielles exactes et complètes du mouvement des fluides incompressibles sont connues depuis longtemps, pour le cas d'une fluidité parfaite, et même H. Navier les a étendues à celui où le fluide est visqueux et contracte de l'adhérence avec les parois du vase qui le renferme ('); mais elles ne peuvent guère s'appliquer aux cas usuels de la pratique, par suite des difflcultés d'analyse que présente leur intégration. Les géomètres ont cherché à y suppléer par différentes hypothèses susceptibles de conduire.
(*) Mémoire lu à rAcadémie royale des Sciences, le 23 mars iBai. H. 1
dans certains cas, à des résultats conformes à ceux de l'expérience.
Daniel Bernoulii est le premier qui appliqua le principe de la conservation des forces vives, d'Huyghens, à la recherche des lois de Vécoulement des fluides {^)\ mais il estima mal la perte de force vive qui a lieu dans les changements brusques de la vitesse. D'Alembert, à l'aide de son principe général de Dynamique, et en adoptant l'hypothèse du parallélisme des tranches, établit une théorie plus exacte et plus rigoureuse, qui fut généralement admise. Plus tard, Borda (^), appliquant le principe des forces vives à l'hypolhèse où le mouvement aurait lieu par filets indépendants, fît savoir en quoi péchaient les solutions de Bernoulii, et les rectifîa, en tenant compte convenablement de la perte de force vive qui a lieu dans les rétrécissements et étranglements brusques des vases; il confirma, pour certains cas, cette théorie par des expériences in-génieuses et directes.
Mais, pour compléter les diverses applications, il restait à tenir compte de Tinfluence qu'exerce, dans certaines circonstances, la résistance que les parois des vases opposent au mouvement des liquides, par exemple dans les canaux et tuyaux de conduite d'une certaine longueur, où cette influence devient très -sensible et produit des effets très-appréciables. C'est ce qui fut tenté par M. Girard, en admettant que la résistance, dans le cas du mouvement linéaire, est proportionnelle au carré de la vitesse et au contour de la paroi; mais Coulomb ayant conclu, de quelques expériences spéciales et délicates, que cette même résistance doit être représentée à la fois par deux termes, dont l'un est proportionnel à la simple puissance et l'autre au carré de la vitesse, M. de Prony (*) est parti de là pour établir les lois du mouvement de l'eau dans les canaux et tuyaux de conduite d'une grandelongueur;
(') Hydrodynamique de Daniel Bernoulii.
(^) Mémoire de Borda Sur Vécoulement des fluides (Mémoires de l'Académie des Sciences), années 1766 et 17G8,
(*) Mémoires de Prony Sur l'écoulement des fluides et le jaugeage des eaux courantes.
APPLIQUÉE AUX MÀCHIIfES. 3
parvint ainsi à représenter les résultats des nombreuses ex* §riences de Couplet, Bossut (*), Dubuat (') avec un degré approximation très-satisfaisant. Postérieurement» M. Navier» ins ses Notes sur la nouvelle édition de V Architecture hyraulique de Bélidor» et principalement dans ses Leçons de Mécanique appliquée à l'École des Ponts et Chaussées, a moné comment le principe des forces vives, convenablement mployé, peut servir à résoudre immédiatement les diverses uestlons relatives au mouvement des liquides. M. Ëytelvein, HèbreingénieurdePrusse, reprit, de son côté, les solutions de L de Prony, relatives aux canaux et aux tuyaux de conduite, ns'appuyantdu résultat d'un plus grand nombre d'expériences ites en Hollande, en Allemagne et en Italie, sur les canaux l les rivières; il introduisit, dans l'équation relative aux lyaux de conduite, un terme de plus, servant à tenir compte es effets qui s'opèrent à leur jonction avec le réservoir de rtse d'eau, mais dont l'influence sur les résultats est trèsibie pour le cas des longs tuyaux, et qui fait d'ailleurs rener réquatioo du mouvement dans celle que l'on obtient en ipliquant directement à la question le principe des forces Ives, comme nous le verrons plus tard.
Quant à la théorie du mouvement des fluides aériformes. Ile a reçu, dans ces derniers temps et de la part de MM. Giird (»), d'Aubuisson (*) et Navier (*) d'importants perfectionements qui la mettent à peu près au niveau de celle de Hydrodynamique. Le premier de ces savants ingénieurs, en 'appuyant sur le résultat de ses propres expériences et sur les ois du mouvement linéaire, fut conduit à supposer la résisance des tuyaux simplement proportionnelle au carré de la vitesse, et il en déduisit une formule qui représente, avec un degré d'approximation raisonnable, les résultats concernant la dépense des tuyaux d'une grande longueur, débouchant libre-
[^) Bydrodjrnamique de Bossut, H^ Partie.
1*) Principes d' Hydraulique,
i'^ Annales des Mines, t. X, années i8i4 et i8i5. — Annales des Mines,
•Xin, i8î6î Idem, 2« série, t. III, i8a8.
n T^' V, 1821-1833, des Mémoires de V Académie des Sciences, Institut.
^) Mémoirâ la à rAcadémie royale des Sciences de l'Institut, le i^** juin 1829.
3 iîOCRS DB HtCÀNIQCB
dans certains cas, à des résultats conformes à ceux de Texpérience.
Daniel Bernoulii est le premier qui appliqua le principe de la conservation des forces vives, d'Huyghens, à la recherche des lois de Vécoulement des fluides ( ') ; mais il estima mal la perte de force vive qui a lieu dans les changements brusques de la vitesse. D'Alemberl, à Taide de son principe général de Dynamique, et en adoptant Thypothèse du parallélisme des tranches, établit une théorie plus exacte et plus rigoureuse, qui fut généralement admise. Plus tard, Borda (^), appliquant le principe des forces vives à l'hypothèse où le mouvement aurait lieu par filets indépendants, fit savoir en quoi péchaient les solutions de Bernoulii, et les rectifia, en tenant compte convenablement de la perte de force vive qui a lieu dans les rétrécissements et étranglements brusques des vases; il confirma, pour certains cas, cette théorie par des expériences ingénieuses et directes.
Mais, pour compléter les diverses applications, il restait à tenir compte de Tinfluence qu'exerce, dans certaines circonstances, la résistance que les parois des vases opposent au mouvement des liquides, par exemple dans les canaux et tuyaux de conduite d'une certaine longueur, où cette influence devient très -sensible et produit des effets très-appréciables. C'est ce qui fut tenté par M. Girard, en admettant que la résistance, dans le cas du mouvement linéaire, est proportionnelle au carré de la vitesse et au contour de la paroi; mais Coulomb ayant conclu, de queliques expériences spéciales et délicates, que cette même résistance doit être représentée à la fois par deux termes, dont l'un est proportionnel à la simple puissance et l'autre au carré de la vitesse, M. de Prony (^) est parti de là pour établir les lois du mouvement de l'eau dans les canaux et tuyaux de conduite d'une grande longueur;
(*) Hydrodynamique de Daniel Bernoulii.
(•^) Mémoire de Borda Sur Vécoulement des fluides (Mémoires de l'Académie des Sciences), années 17G6 et 1768.
(") Mémoires de Prony Sur l'écoulement des fluides et le jaugeage des eaux courantes.
il parvint ainsi à représenter les résultats des nombreuses expériences de Couplet, Bossut ('), Dubuat (') avec un degré d'approximation très-satisfaisant. Postérieurement, M. Navier, dans ses Notes sur la nouvelle édition de VÀrchitecture hydraulique de Bélidor, et principalement dans ses Leçons de Mécanique appliquée à FËcole des Ponts et Chaussées, a montré comment le principe des forces vives, convenablement employé, peut servir à résoudre immédiatement les diverses questions relatives au mouvement des liquides. M. Eytelvein, célèbre ingénieur de Prusse, reprit, de son côté, les sol utions de M. de Prony, relatives aux canaux et aux tuyaux de conduite, en s'appuyant du résultat d'un plus grand nombre d'expériences faites en Hollande, en Allemagne et en Italie, sur les canaux et les rivières; il introduisit, dans l'équation relative aux tuyaux de conduite, un terme de plus, servant à tenir compte des effets qui s'opèrent à leur jonction avec le réservoir de prise d'eau, mais dont l'influence sur les résultats est trèsfaible pour le cas des longs tuyaux, et qui fait d'ailleurs rentrer l'équation du mouvement dans celle que l'on obtient en appliquant directement à la question le principe des forces vives, comme nous le verrons plus tard.
Quant à la théorie du mouvement des fluides aériformes, elle a reçu, dans ces derniers temps et de la part de MM. Girard (*), d'Aubuisson (*) et Navier (*) d'importants perfectionnements qui la mettent à peu près au niveau de celle de l'Hydrodynamique. Le premier de ces savants ingénieurs, en s'appuyant sur le résultat de ses propres expériences et sur les lois du mouvement linéaire, fut conduit à supposer la résistance des tuyaux simplement proportionnelle au carré de la vitesse, et il en déduisit une formule qui représente, avec un degré d'approximation raisonnable, les résultats concernant la dépense des tuyaux d'une grande longueur, débouchant libre-
(') Hydrodynamique do Bossut, II® Partie.
(') Principes d'Hydraulique.
(') Annales des Mines , t. X, années 181 4 et iSi5. — Annales des Mines, t. XIIÏ, 1826; Idem, Q« série, t. III, 1828.
(*) T. V, 1821-1822, des Mémoires de l'Académie des Sciences, Institut. (*) Mémoire lu à rAcadémie royale des Sciences de Tlnstitut, le 1'' juin 1829.
ment dans l'air almosphérique par l'une de Jeurs extrémités^ et s'alimentant par l'autre dans un grand gazomètre ou réservoir à pression constante. Le deuxième parvint à établir, par une série de belles expériences et en se fondant uniquement sur le principe de Torricelli relatif aux fluides incompressibles, des formules pratiques très-simples, à l'aide desquelles on peut trouver la dépense de gaz qui se fait par les orifices et ajutages de différentes formes, par les tuyaux de conduite d'une grande longueur, armés ou non de buses, les coefficients constants qui entrent dans ces formules, la relation entre les pressions aux différents points, etc. Jusque-là les solutions étaient restreintes au cas où la faible variation de densité du fluide permet de le considérer comme sensiblement incompressible; c'est à M. Navier que l'on doit d'avoir montré, par une série de beaux exemples, comment, en tenant compte de l'action due à la détente des gaz, on peut ramener toutes les questions de cette espèce au principe posé par Bernoulli, d'Alembert et Borda, que nous avons déjà cité à l'occasion du mouvement des liquides proprement dits, mais en négligeant ici, conformément à la remarque déjà faite par MM. Girard et d'Aubuisson, le terme de la résistance qui contient la simple puissance de la vitesse par rapport à celui qui en contient le carré, et qui est comme inflni à l'égard de l'autre, attendu la grandeur même de la vitesse que prennent les gaz sous des pressions motrices très-faibles*
Notions fondamentales.
2. Distinction des Jliiides. — On doit distinguer avec soin les fluides gazeux, tels que l'air, les vapeurs, etc., des //guides proprement dits, tels que Teau, etc. Les premiers sont très-variables de volume, très-compressibles, très-dilatables, par l'application de forces extérieures ou du calorique; les deuxièmes, au contraire, sont sensiblement incompressibles, et, quand on les renferme dans des espaces limités de toutes parts, ils se comportent à peu près comme les corps solides. Nous ferons toutefois observer, dès à présent, que quand la pression et, par suite, la densité des gaz varient en réalité très-
peUy on peut les considérer à leur tour comme sensiblement incompressibles et leur appliquer les mêmes raisonnements qu'aux liquides.
Une autre distinction importante à faire est celle du mouvement permanent et du mouvement varié des fluides. Le premier suppose que la vitesse en chaque point déterminé reste la même en grandeur et en intensité dans tous les instants où Ton considère le fluide. C'est ce mouvement que nous avons essentiellement à étudier, dans tout ce qui va suivre, parce qu'il répond à presque toutes les applications pratiques, et nous renverrons, pour ce qui concerne la théorie du mouvemeni variable, aux Traités de Mécanique de MM. Poisson et de Prony, où les lois de ce mouvement se trouvent exposées. Nous nous contenterons de rappeler que la vitesse d'écoulement des fluides ne change d'une manière sensible que dans les premiers instants où Ton a ouvert les orifices des grands vases qui les renferment, el qu'après quelques secondes, quelques minutes, la vitesse et le régime deviennent ordinairement constants, circonstance que Ton reconnaît toujours dans la pratique à des signes certains, soit parce que les surfaces du liquide, exposées à l'air libre, conservent une forme invariable, soit parce que leur niveau ou leur prèssion, en certains points, reste elle-même constante.
3. Hypothèse du parallélisme des tranches, — Pour pouvoir appliquer avec fruit le principe de d'Alembert et celui des forces vives à l'écoulement dos fluides, on est obligé d'admettre que, pour certaines sections planes faites en travers de leur masse* les molécules sont animées d'un mouvement parallèle et commun dans une direction perpendiculaire à ces sections, c'est-à-dire que leurs vitesses sont égales et parallèles pour tous les points de ces mêmes sections. Cette supposition est connue sous le nom d'hypothèse du parallélisme des tranches; mais elle ne sufflt pas pour qu'on puisse résoudre explicitement les problèmes du mouvement des fluides, et l'on est forcé d'admettre encore que la pression, dans le sens du mouvement, es^t la même pour chaque élément superficiel et égal des tranches, ce qui parait être une
conséquence nécessaire de l'égalité et du parallélisme des vitesses. Le fait est que ces diverses suppositions sont rarement d'accord avec ce qui se passe dans les expériences, où la résistance opposée par les parois des vases et diverses autres causes produisent un ralentissement de la vitesse qui empêche qu'elles soient rigoureusement applicables; mais, en réfléchissant au mode de démonstration, dont il sera donné des exemples dans ce qui suit, et par lequel on applique le principe des forces vives aux lois du mouvement d'une n[iasse fluide comprise entre deux sections planes, on concevra facilement que l'hypothèse du parallélisme des tranches doit donner des résultats suffisamment approchés dans beaucoup de cas, par exemple dans celui d'un canal ou tuyau d'une certaine longueur, dont l'axe ou la directrice est une courbe continue présentant des coudes très-adoucis, et dont la section transversale varie très-peu. Elle l'est aussi dans d'autres cas de la pratique, mais entre certaines limites qu'il est bon de faire pressentir avant d'aller plus loin.
h. Observation sur les cas où il est permis d'employer cette hypothèse. — Pour en donner une idée, considérons un vase cylindrique ou prismatique, qui se vide par sa partie inférieure. On sait que, par suite de la forte convergence des fllets fluides qui arrivent de toutes parts vers l'oriQce, la veine du jet, au lieu d'avoir des dimensions égales à celles de cet orlOce, se rétrécit jusqu'à une certaine distance au dehors du réservoir : c'est ce que l'on nomme la contraction de la veine fluidcy phénomène dont nous aurons plus tard l'occasion de nous occuper en détail et dont nous nous contenterons ici d'indiquer l'existence. Cette convergence et cette divergence de tous les filets fluides s'étendant jusqu'à une certaine distance en dedans et en dehors du vase, il est clair qu'entre ces limites il ne peut' pas être permis d'admettre l'hypothèse du parallélisme des tranches; mais, en deçà et au delà, la convergence cesse, comme il arrive pour les orifices circulaires, et le mouvement a sensiblement lieu par filets parallèles; et, comme la vitesse, en vertu de l'adhésion réciproque des molécules, tend à se mettre sensiblement en harmonie dans l'é-
APPLIQUÉS AUX MàGHIHBS. 7
tendue de la section normale au filet moyen, on est conduit à admettre que ie mouvement se fait par tranches vers ces mêmes sections, ce qui permet alors d'appliquer avec quelque certitude le principe des forces vives, pour tout l'espace compris entre ces tranches; nous aurons plus d'une fois, par la suite, l'occasion de signaler des circonstances oii il ne serait pas permis de raisonner de la même manière.
5. De la continuité des Jluides. — Une autre loi, qui parait conforme à l'observation, dans tous les cas de la pratique, c'est celle en vertu de laquelle les différentes molécules ne cessent pas d'être contiguês les unes aux autres, de former un tout sans lacune, sans espace vide, et que Ton nomme la loi de continuité des fluides; or, tant qu'il ne s'agit que de liquides proprement dits, ou de gaz soumis à des variations de pression peu sensibles, on peut admettre que la masse conserve extérieurement le même volume, quel que soit d'ailleurs le changement de forme qu'elle subit. Il suit de \k et de la permanence du mouvement que, dans un temps donné, il passera par toutes les sections d'un vase le même volume de fluide.
Relativement aux gaz, la permanence du mouvement supposant que la densité et la pression sont toujours les mêmes aux mêmes endroits, il faudra qu'il passe par toutes les sections du vase, dans un même temps, des masses égales de fluide.
6. Du mouvement permanent d* un fluide qui s'écoule d*um vase à niveau constante — Ces préliminaires établis, voyons maintenant comment on pourra appliquer le principe des forces vives à la recherche du mouvement permanent des fluides. Considérons une masse fluide en mouvement dans un vase, d'une forme quelconque, mais dont les sections varient par degrés insensibles; admettons que ce vase soit alimenté par sa surface supérieure AB, de manière que son niveau reste constant. Soit ABCD [fig. i ) la masse en mouvement, comprise entre deux sections AB et CD, pour lesquelles le parallélisme des tranches est admissible. L'écou-
COURS DB MtCAMlQUK
lement étant supposé avoir lieu par un orifice pratiqué à la partie inférieure du vase, et le régime établi» appelons
Fig. I.
la surface de la section AB;
0' la surface de la section CD;
il la surface de la section ab de la veine fluide, à l'endroit où elle cesse de se contracter et où le parallélisme des filets est rétabli;
V, V et U les vitesses moyennes respectives dans les sections AB, CD eiab;
Z et Z' les hauteurs verticales des sections AB et CD au-dessus d'un plan horizontal quelconque de comparaison;
p la masse de Tunlté de volume;
gr = 9'"»8o88;
n la densité ou le poids de l'unité de volume égale à pg;
M la masse totale de fluide comprise entre AB et CD;
P, F et p les pressions extérieures exercées sur l'unité de surface des sections AB, CD et ah du fluide» P agissant dans le sens du mouvement, et P' et p en sens contraire.
Examinons ce qui arrive quand la masse fluide ABCD passe à la position infiniment voisine A'B'C'D' dans l'élément de temps dt.
Nous aurons, en vertu de la continuité des fluides et en ap-
APPLIQUÉE AUX UAGHINKS. 9
pliquant d'abord nos calculs au cas d'un liquide, tel que l'eau,
O.V=(y.V'=ri2U,
puisque les volumes qui s'écoulent par chaque tranche doivent être égaux.
Pour établir l'équation du principe des forces vives, calculons les quantités de travail développées par les différentes forces qui agissent sur la masse, en négligeant d'abord l'In* fluence de la résistance des parois, ce qui est permis, dans tous les cas où les sections du vase ont des dimensions comparables à sa longueur, en nous réservant d'y revenir par la suite.
Dans le transport de cette masse liquide de ABCD en A'B'CD', la quantité de travail développée par la gravité est le produit de son poids par la hauteur dont son centre de gravité est descendu; mais, dans ce déplacement, on peut considérer la masse ABCD comme composée de deux autres; Tune A'B'CD, qui n'a pas changé de place; l'autre ABA'B^ qui est descendue en CDC'D' : c'est ce qu'il est facile de voir à l'aide de la théorie des moments. Par conséquent, la quantité de travail développée par la gravité est égale à
n.ABA'B'(Z~Z')^«":
mais on a
ABA'B'~0.Vrf/=:i2Urf/,
et, si Ton appelle dM la masse des tranches élémentaires égales ABA'B', CDC'D'. aba'b', on a
dM=^QVdt,
et, par suite, la quantité de travail de la gravité sur Id masse fluide, pendant l'élément du temps dt, peut être exprimée par
Pendant le même temps, la quantité de travail développée par les pressions P et P^ sera
P.O.Vrf(^«"- P'.O'. W(^««;
10 COURS DR MÉGANIQUR
et, à cause de
elle peut se meure sous la forme
gdM
(P P)ki«.
Quant a l'accroissement de la force vive, pendant Tinstant dt, ou pendant que la masse ABCD se transporte en A'B'C'D', remarquons que, si le mouvement est réellement parvenu à rétat de permanence, la vitesse sera la même en chaque point, et, par conséquent, la force vive de la partie A'B'CD, commune aux deux positions, sera la même. Donc, en retranchant la force vive de ABCD de celle de A'B'CD', pour avoir l'accroissement cherché, celle de la partie commune disparaîtra, et il restera
CDÇ'D'x V'»- ABA'B'X V^
pour l'accroissement de la force vive pendant le temps dl; on observera que cette quantité n'est autre chose que l'accroissement de force vive que recevrait la masse ABA'B' en se transportant en CDC'D'; d'ailleurs, d'après les notations et les relations précédentes, elle revient à
pO.V'c//XV'»-pO'.V(//x\% ouà rfM(V"-V=);
par conséquent, l'équation des forces vives sera
rfM ( V ' ^ - V > ) = 2 ^ rfM ( Z - Z' ) -h 2 ^^- ( P - P' ) .
En divisant de part et d'autre par dM et se rappelant que l'on a
et posant Z — Z' = H, elle revient à
7. Valeur de la pression en un point quelconque du vase. — Si Ton désigne par h et h' les hauteurs dues aux vitesses V et V, on aura
et, par suite,
d*oii l'on tire
P'=p-4-nH-n(A'-/i),
relation qui donnera la pression dans la section CD, et qui montre qu'elle est égale à celle qui a lieu sur AB, augmentée de celle qui est due à la hauteur du liquide au-dessus de la section CD que l'on considère, et diminuée de celle que produirait une colonne d'eau d'une hauteur correspondante à l'accroissement de la vitesse, de AB en CD. On voit que, si le mouvement est très-lent dans le vase, h' — h sera très-faible et la pression en un point quelconque sera sensiblement la même que si le fluide était stagnant.
8. Application à la section ab de la veine Jluide, — Pour appliquer les formules précédentes à la section ab de la veine et déterminer la vitesse d'écoulement, il suffit de faire P=/^, pression extérieure à l'oriflce, 0'= 12, et de prendre pour H la hauteur du niveau AB au-dessus de la section aby où les fliets recommencent à devenir parallèles. L'équation des forces vives donne pour ce cas
u»('-§;)==«g'H+ag?^
d'où
..J'itl^
9. Cas oà la surface du réservoir est très-grande par rap^ port à Vorifice. — Dans la plupart des cas de la pratique, la
12 GOUftS DE MfiCAKlQDB
surface AB ou du réservoir étant très-grande par rapport à celle de rorifice, le terme jr devient très-petit et négligeable. Si, par exemple, l'orifice est — de la surface du réservoir, rr; = ^J^. La formulc peut être alors réduite à
n = y/.ff(H + ^jj-P);
n étant le poids de l'unité de volume du liquide, n ^^jf sont
les hauteurs de ce liquide qui mesureraient les pressions Pet/?.
10, Cas oà l'écoulement a lieu à l'air libre et sous la pression atmosphérique, — Enfin, s'il s'agit de l'écoulement à l'air libre de l'eau d'un réservoir, dont la surface ne soit soumise qu'à la pression atmosphérique, on a P = p, et l'expression de la vitesse se réduit à
u = >/2grH,
relation démontrée en premier lieu par Torricelli, et qui exprime que, dans l'hypothèse du parallélisme des tranches, la vitesse moyenne d'écoulement est précisément celle qui est due à la hauteur du niveau au-dessus de la section contractée.
It. Cas oà l'écoulement a lieu d'un réservoir dans un autre. — Si l'écoulement, au lieu de se faire à l'air libre, avait lieu dans un vase dont le niveau fût à une hauteur /< au-dessus de la section ab de la veine, la pression p sur l'orifice serait égale à celle de l'atmosphère augmentée du poids de la colonne d'eau A, et l'on aurait
et, par suite, la vitesse deviendrait à Toriflce
APPLIQUÉS AUX MACHINB6. l3
c*est-à-dire la vitesse due à la différence de hauteur du niveau supérieur au niveau inférieur.
12. Application de la théorie précédente au mouvement des gaz, lorsque les pressions intérieures et extérieures sont peu différentes. — Ce qui précède peut s'appliquer aux fluides élastiques touteâ les fois que la pression varie peu dans l'intérieur du réservoir, parce qu'alors, la densité ne changeant pas non plus sensiblement, on peut encore admettre qu'il passe, par les différentes sections du réservoir, des volumes égaux de fluide. On observera seulement, dans ce cas, que, les gaz étant contenus dans des vases clos, la pression P du réservoir se mesure à l'aide d'un instrument (Jig.^) appelé
Fijj. 2.
manomètre à siphon, et dans lequel une colonne d'eau ou de mercure indique, par sa dénivellation, l'excès ou ce que Ton nomme la hauteur de pression.
Si l'on désigne par h cette hauteur de liquide, qui fait équilibre à l'excès de pression, et par H, la densité du liquide, on
aura évidemment
IIi est connu à priori et est égal à looo kilogrammes si le li* quide du manomètre est de l'eau, ou à 1 3 5g8 kilogrammes si l'on se sert de mercure.
Quant à H, ou le poids de l'unité de volume des gaz à la pression P et à une température connue, on sait que, d'après
l4 COUIS BB MftGANIQUB
la loi de Marlotte et celle de Gay-Lussac, on a, en appelant IT» la densité du gaz à zéro sous la pression atmosphérique p^, et n la température en degrés centigrades,
/?,(!-+- o,oo375n)
Pour Tair, à la pression de o"»,76o de mercure,
/>, = i^'SoSSS par centimètre carré, n« = i^S2g9i le mètre cube.
d'où
formule dans laquelle on remplace ordinairement le terme 0,00375/1 par o,oo^n quand il s'agit de Tair atmosphérique, afln de tenir compte de Thumidiié qu'il contient toujours, et dont l'effet est évidemment d'augmenter le ressort et de diminuer la densité du gaz. D'après cela, on voit qu'il sera facile de calculer le terme
et qu'il représentera la hauteur d'une colonne de fluide, à la pression du réservoir, capable de produire, par son poids, cette même pression. Or, par suite de la faible densité du gaz, cette hauteur sera très-considérable, et celle du sommet du réservoir au-dessus de l'orifice sera toujours négligeable par rapport à cette hauteur de pression, de sorte que, dans l'application de la formule (n^* 9),
u = v/-s(h-4-*^jj-/^)-,
à l'écoulement des gaz, on pourra faire abstraction du terme 2^H, et la valeur de la vitesse se réduira à
- — - — ■ ■ Il ^ (
APPLIQUÉE AUX MACHIIIBS. l5
13. Des expériences, faites en France par MU. Girard ei d*Aubuisson» et en Suède par M. Lagerhjeim, expériences dont nous aurons plus tard l'occasion de parler, conGrment» en effet, cette analogie entre l'écoulement des liquides et celui des gaz, lorsque les pressions varient très-peu dans la masse en mouvement; c'esl, par exemple, ce qui arrive dans la plupart des machines soufflantes, où l'excès de la pression intérieure sur celle de l'atmosphère ne s'élève souvent qu'à o",o3 ou o",o4, mesurés en colonne de mercure, c'est-à-dire où les pressions ne diffèrent que de yï ou. j^. Mais cette manière de raisonner n'est plus admissible, dès que les pressions dilTèrent notablement, comme dans les machines à vapeur, etc.; il faut alors examiner directement l'effet de la variation graduelle des pressions, ou de la détente du gaz, aux différents points de la niasse.
14. Modification à apporter aux formules pour l'écoulé^ ment des gaz quand les pressions intérieure et extérieure sont très^différentes. — En raisonnant sur un réservoir, et dans des circonstances analogues à ce qui précède, on voit d'abord que la quantité de travail imprimée par la gravité ne changera pas, non plus que l'expression de l'accroissement de la force vive : il n'en est pas ainsi de la quantité de travail développée par la pression du gaz.
D'après ce que nous avons dit (5) de la continuité dans les fluides élastiques, il ne passera plus, par chaque tranche élémentaire, le même volume dç gaz dans le même temps, mais la même masse, puisque, par hypothèse, la permanence du mouvement est établie; de là résulte qu'en conservant les notations du n"* 6, et appelant II' et e les densités du fluide sous les pressions F et y?, qui ont lieu en CD et en ab (Jig. i), la masse élémentaire de fluide qui passera par chacune des sections AB, CD, ab sera
dM = 5 0\dt = — O'W'dt = -ilUrf/.
Si nous considérons en particulier ce qui a lieu dans le déplacement de la masse de ABCD en A'B'C'D', la quantité de
l6 COURS DB MÉGAHIQnB
travail développée par les pressions P et P' dans l'élément de temps aura toujours pour expression
POVrf/-P'0'V'rf/;
mais, d'après les relations ci-dessus» il est clair qu'elle sera
nulle à chaque instant, puisque la loi de Mariotte nous apprend que les pressions sont proportionnelles aux densités, ou que
La quantité de travail imprimée à la masse par les pressions P et P', dans chaque élément de femps, étant nulle, il s'ensuit qu'il en sera de même de la quantité de Iravail totale qu'elles développeront au bout d'un temps quelconque; mais, la pression variant d'une tranche à l'autre et allant en décroissant d'une manière continue, elle agit comme un ressort qui se débande et doit produire une certaine quantité de travail qui remplace celle des pressions extrêmes.
15. Travail de la détente des gaz. — Considérons, en effet, une masse fluide ABa6 [Jig, 3); soit BB' le chemin parcouru
Fig. 3.
par la tranche AB, tandis que ab passe en a!b^ et dans i'élé
JO^PLIQUÊE AUX UACUliNES. 17
ment du temps. Il est aisé de voir qu'en vertu delà permanence du mouvement et de la lenteur avec laquelle on suppose que la détente a Heu dans l'intérieur de la masse, la quantité de travail développée par cette détente, dans l'élément du temps dt, sera précisément égale à celle que développerait le volume ABA'fi' en passant de la pression P du réservoir en AB à la pression p de la section contractée et en prenant le volume aba'b'. Cela est à peu près évident a priori; mais on peut le rendre plus sensible par un raisonnement analogue à celui qui a été employé dans le n" 6, et en examinant ce qui se passe, à un instant donné, dans un filet élémentaire mnoLa'^i^'tm supposé divisé en tranches égales en masse, mnqpy pqsr^ rsut,... , aa'P j3', par des plans perpendiculaires à la direction de son axe. On voit, en effet, que si pq représente précisément la position de mn au bout du temps dt, rs représentera, au bout de ce même temps, celle de pq, tu celle de rs,. . .^ a,'^' celle de a(3; de sorte que chaque tranche aura pris la place de la suivante à la On de l'élément du temps dont il s'agit. Or, dans ce déplacement simultané de toutes les tranches, chacune d'elles a développé une quantité de travail relative à l'accroissement de volume ou à la diminution de pression qu'elle a subie, c'est-à-dire à sa détente, et la somme de toutes ces quantités de travail partielles est précisément le travail produit par la masse entière du filet mna^m au bout du temps dt pour lequel il a pris la position pqx'^'p.
Mais si, au lieu de considérer ce déplacement général et simultané des tranches fluides, nous supposons que la tranche supérieure mnqp prenne successivement la place de la deuxième, puis de la troisième et de la quatrième, etc., jusqu'à occuper celle de la dernière tranche a(3(3'a', il est clair que la somme des quantités de travail qu'elle aura développées dans sa délente, en occupant ces positions successives, sera précisément la même que la précédente, et cela quel que soit le mode de son action sur les tranches voisines; donc entln, pour obtenir le travail demandé, il ne s'agit que de voir quel est celui qui peut être dû au changement de volume ou de pression que subirait l'élément mnpq en passant au volume et à la pression
