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l8 COURS DE MÉCANIQUE

de a^P'a'. Donc aussi la quantité de travail totale développée dans l'élément dt du temps, par la force élastique du gaz compris depuis la section supérieure AB dans le réservoir jusqu'à la section contractée abj est précisément celle que développerait la masse élémentaire rfM = — OVcf/ = — ÎÎUrf/,

qui s'écoule de ce réservoir pendant dty en passant du volume ABB'A' et de la pression P au volume aa'Vb et à la pression p. Cette démonstration est générale, et elle s'applique aussi bien à l'action de la gravité sur les tranches, au changement de leur force vive (6), qu'à laction développée dans la détente des ressorts moléculaires du fluide, pourvu cependant que le mouvement soit permanent et continu (2 et suivants).

Maintenant il est facile de démontrer que le travail développé par la détente d'un gaz quelconque contre les parois mobiles d'une enveloppe est indépendant de la forme de cette enveloppe et du mode de la détente, dès qu'elle se fait avec assez de lenteur pour qu*il devienne permis de négliger les forces motrices ou d'inertie résultant de ce changement, et de supposer que la tension, la température sont à chaque instant les mêmes aux différents points du gaz ou de l'enveloppe, conformément aux principes de Mariotte et de Pascal ( ' ).

Soient, en effet,

4/ et /7, à un instant donné de la détente, le volume et la tension du gaz;

dfù un élément superficiel quelconque de son enveloppe mobile;

de l'espace qu'il décrit dans le sens normal, pensant que le volume q devient q 4- dq.

Le travail développé par l'élément ^co le long du chemin de sera évidemment mesuré par la quantité

p dfù de qu'il faudra prendre dans toute l'étendue de l'enveloppe mo-

(») Œuvres de B. Pascal, t. IV, Chap. V.

bile» en supposant /> constant; mais dùide est précisément le volume élémentaire décrit par rfw; donc pdq est l'expression du travail de cette enveloppe pendant que q s'accrott de dq. Or, si Ton nomme q' eip' le volume et la tension du gaz au premier instant de la détente, on aura, d'après le principe de Mariotte,

intégrant cette expression depuis q -= q^ jusqu'à une valeur quelconque de q, on aura, pour le travail correspondant,

f'pdq^^p'q' r^ =p'q' \og^,=p'q' log ^.

Jq' Jq' Q Q P

qui est évidemment aussi l'expression du travail que devrait développer un moteur quelconque contre les parois mobiles de l'enveloppe pour ramener le gaz du volume q et de la tension p au volume et à la tension q^ et p' qu'il possédait en premier lieu. D'ailleurs les logarithmes ci-dessus sont des logarithmes népériens, que l'on obtient en multipliant par 2,3026 les logarithmes ordinaires, et qu'on trouvera aussi tout calculés dans une Table placée à la fin de cette Section (* }, €t que nous avons empruntée à M. de Prony.

16. Revenant à la question de l'écoulement des gaz, il ne s'agira que de remarquer que l'on a

p^ = P, 9'=ABB'A'=rOVrf/= ^^^