Valeurs du coefficient de la dépense lorsque la contrac

tion est incomplète. — Lorsque Tun des côtés de Torifice se trouve compris dans le prolongement d'une des parois intérieures du réservoir, perpendiculaire au plan de cet orifice, les filets fluides sortent de ce côté parallèles entre eux, et la contraction y est supprimée. La même chose a lieu pour chacun des côtés qui se trouve dans une position semblable. On possède fort peu d'expériences sur ce cas de l'écoulement : les principales sont dues à M. Bidone (*), qui a opéré sur de petits orifices de o"*,oi5 environ de hauteur et de largeur, sous des charges très-grandes par rapport à ces dimensions. On en conclut, et nous admettrons jusqu'à de nouvelles expériences que, m étant le coefficient de la dépense en mince paroi avec contraction complète, relatif à l'orifice et à la charge que l'on considère, il devient

/7i(i + o,o35) si la contraction n*a lieu que sur trois côtés. /;i(i H-o,o72) » » deux »

//i(n-o,ia5) » » un »

51. Faleur du coefficient de la dépense pour les vannes rf*écluses ordinaires. — On a aussi quelques expériences faites sur de grands orifices, où la contraction était à très-peu près supprimée sur le côté inférieur. Elles sont relatives aux vannes des écluses et ont été faites, sur le canal du Midi, par MM. Pin et Lespinasse, au vieux bassin du Havre, par M. Lapeyre; sur le canal de Bromberg par M. Kypke, inspecteur des travaux publics en Prusse (*). Toutes ces expériences, dans lesquelles les charges ont été très-fortes, et où les orifices avaient jusqu'à I mètre carré de surface, s'accordent pour assigner au coefficient de la dépense la valeur moyenne

qu'on pourra adopter avec confiance, pour l'appliquer aux pertuis des portes d'écluses, situés ordinairement très-près des radiers et pour lesquels, par conséquent, la contraction

(*) Mémoires de V Académie de Turin, t. XXV, années 1820 et 1821. (*) Ces dernières expériences se trouvent rapportées par M. Eylclwcin^ dans •on exceUent Manuel de Mécanique et d'HjrdrauUque, Leipiig, i833, p. 147.

APPLIQUÉE AUX MACHINBS. 63

est à peu près nulle sur la base. Ce coefficient s'accorde d'ailleurs sensiblement avec celui qu'on déduirait du résultat cidessus de M. Bidone, combiné avec ceux que contient la colonne du tableau relative à l'orifice de o"^y20 de hauteur.

52. Remarque relative au cas où l'orifice est noyé, — Il est à remarquer que dans les expériences de M. Kypke, sur les écluses de Bromberg, les orifices étaient complètement noyés dans l'eau du bief inférieur, de sorte que le coefficient est le même pour ce cas que pour celui où l'orifice débouche librement dans l'air, pourvu qu'on estime alors la vitesse d'écoulement d'après ce qui a été dit au n"" 11. Ce résultat est d'ailleurs conforme aux observations faites par Dubuat et d'autres observations sur les orifices noyés dans l'eau d'un bassin inférieur.

Quant au cas où l'orifice ne se trouverait qu'en partie noyé, on le supposerait partagé en deux autres : l'un débouchant librement dans l'air; l'autre sous l'eau du bief inférieur, et l'on appliquerait séparément à chacun les formules qui s'y rapportent, en adoptant un même coefficient pour la dépense.

Enfin il peut être utile de remarquer, pour certaines applications, que dans les expériences de M. Pin et de M. Lespinasse deux orifices accolés et ouverts en même temps ont donné le coefficient o"*,55, beaucoup au-dessous, par conséquent, de celui, o^fo^S^ qui concerne un seul orifice.

53. Expérience de M. d'Àubuisson sur un grand orifice oà la contraction n'avait lieu que sur deux côtés. — A l'occasion de ses belles recherches sur les machines soufflantes, M. d'Aubuisson npporte une expérience (' ) qu'il a faite sur un orifice rectangulaire de o",o2 à o",o4 d'ouverture, sous des charges qui ont varié de o",4o à o",7o, et placé près du fond et d'un des côtés du réservoir. Il a trouvé pour le coefficient de la dé

pense

Dans ces circonstances, le coefficient pour la contraction

(*) Annales des Mines, 3* série, année 1838.

64 COURS DE UÉGANIQUB

complète serait [tableau (48)] environ o,635, et, en appliquant la règle du n*'50, on trouverait pour Forifice en question

m=zï ,072.0,65 = 0,681 ;

ce qui s'éloigne assez peu du résultat moyen obtenu par M. d'Aubuisson.

Si. Cas où la contraction n*est supprimée qu'en partie sur un ou plusieurs côtés; buses et tuyaux additionnels. — Lorsque, dans les usines, une des parois du réservoir sera assez rapprochée de l'orifice pour diminuer sensiblement la contraction, sans cependant l'annuler tout à fait sur ce côté, on pourra, comme simple approximation, prendre pour valeur du coefficient de la dépense la moyenne arithmétique entre celles qu'il prendrait si la contraction était totalement supprimée sur ce côté ou si elle avait lieu librement. Enfin, dans les cas rares ou l'orifice serait prolongé extérieurement par un tuyau additionnel ou une buse sans rétrécissement intérieur et dont l'eau sortirait à gueule-bée, on adoptera pour coefficient ceux qui ont été indiqués (23) ou qui se déduisent des théories des n°* 25 et suivants.

Des déversoirs.

65. Écoulement de l'eau par des déversoirs. — Quand un orifice rectangulaire pratiqué dans la paroi verticale et raince d'un réservoir est entièrement ouvert par la partie supérieure, ou que la charge sur le sommet est nulle, il forme alors ce qu'on nomme un déversoir ou quelquefois un réser* voir. Les circonstances de l'écoulement sont totalement changées, attendu que le niveau s'abaisse au-dessus et en amont de l'orifice, et qu'on ne peut connaître la grandeur de la section de cet orifice que par des expériences spéciales.

Dans ces circonstances, nommant :

H la charge totale aB (fig> 19) au-dessus de la base A de l'orifice, mesurée en un endroit du réservoir ou le fluide est sensiblement stagnant;

/ la largeur de l'orifice,

l'expérience montre que le volume de fluide écoulé peul être calculé par la formule

qui se conclut de celle du n"" 45, en y écrivant que la charge sur le sommet de l'orifice est nulle, et qui revient à celles admises par Bernoulli et Dubuat.

Fig. 19.

ft>»«««i>!»lrf.>>«0»»y«>v>«^^»S^>XNNVS>NW>SXWXvV^

Résultats d'expérience, — Les observations de ce dernier, celles de Brindiey et de Smeaton, enfin quelques autres observations plus récentes, dues à MM. Ëytelwein et d'Aubuisson (*), et dans lesquelles la charge H a varié de o™,o7.5 à o°',4o, assignent à m, lorsque la contraction a lieu complètement sur les côtés et sur le fond, et que la veine est libre a sa sortie, des valeurs comprises depuis o™,4o jusqu'à o"»,47, et d'autant plus fortes que la charge est plus faible; leur moyenne générale s'écarte fort peu du nombre 0^,42.

56. Influence de la contraction. — Quant à l'influence de la contraction ou de la proximité des bords de l'orifice et des parois du réservoir, elle paraîtrait, d'après les expériences dont il s'agit, être très-faible, du moins toutes les fois que la section du réservoir demeure encore fort grande, par rapport à celle de l'orifice, et notamment lorsque le fond du réservoir est situé à une certaine distance du bord inférieur de ce dernier.

M. Bidone, qui a fait à ce sujet des expériences spéciales, a trouvé que le coefficient m demeurait o,4> à fort peu près, que les bords verticaux de l'orifice fussent ou non dans le

(*) Annalûi des Mines, 3* série, année 1828.

66 COURS DB UÉGANIQUB

prolongemenl des faces latérales et parallèles du réservoir» formant ici une sorte de canal, dont le fond était abaissé d'une certaine quantité au-dessous du bord inférieur du réservoir. Mais le mode de mesurer les charges employé par cet auteur est sujet à quelques difficultés et suppose tout au moins qu'après avoir relevé la hauteur du niveau du liquide à une certaine distance en amont de roriflce, on ajoute à cette hauteur celle qui est due à la vitesse moyenne d'écoulement dans la section d'arrivée correspondant à la distance dont il s'agit.

Le peu d'influence exercée par la suppression de la contraction latérale des orifices en déversoirs peut d*ailleurs s'expliquer par l'augmentation sensible des résistances opposées par les parois verticales du réservoir ou canal d'arrivée, et dont l'effet est de détruire une certaine portibn de la charge génératrice ou de la vitesse d'écoulement au sortir de l'orifice.

Quant à la loi suivant laquelle varie la dépense ou le coefficient m avec les charges, MM. Poncelet et Lesbros l'ont étudiée avec beaucoup de soin et de précision, pour le cas d'un déversoir fort petit, par rapport aux dimensions transversales du réservoir, et pour lequel la contraction était complète sur les trois côtés. Cette loi est indiquée par la table suivante, qui se rapporte à l'orifice de o"*,?.o de la largeur mentionnée au n*» 47.

Valeurs de H.

Valeurs de m

o,oi

On pourra donc, dans la pratique, adopter pour valeur moyenne

hi z=: o,4o5,

comme Ta proposé M. Bidone, et calculer la dépense des déversoirs par la formule

Qr^o,4o5/Hv/ïp,

pourvu toutefois que la section du réservoir soit fort grande por rapport à celle de Torifice.

57. Relation entre la charge sur le côté inférieur du déver^ soir et l'épaisseur de la lame d*eau, — Lorsque Ton n*a pas à sa disposition d'instrument de nivellement pour déterminer H, on est réduit à mesurer directement l'épaisseur moyenne (•) ab = /i {Jig. 19) de la lame d'eau, au-dessus du bord intérieur a du déversoir. Cette hauteur h est liée à la charge H et dépend aussi du rapport de la largeur / de roriflce à celle L du réservoir.

En comparant entre eux les résultats des mesures prises par MM. Bidone, Eytelwein et les leurs propres, MM. Poncelet et Lesbros sont parvenus à représenter la relation entre H et A, censée exprimée en millimètres et fractions de millimètre, par la formule d'interpolation

H -— A 4- 0,9 -H \/tih H- 0,81, ou

/i =H-i-7/r — 0,9 — v^/r(|/i -+-H — 0,9)4-0,81, dans laquelle

(*) NouB disons moyenne, parce que le profil de la surface supérieure de la Teine dans le plan du réservoir n'est point une droite horizontale, mais une courbe à double inflexion ; d'après le résultat des opérations géométriques entreprises par M. Lesbros pour déterminer la forme de cette courbe, on pourrait, sans erreur sensible, prendre pour épaisseur réduite de la lame d'eau celle qui répond au point situé k égale distance dos côtés verticaux de l'orifice.

68 COURS DE MfiCitlIlQUE

et qui n'csi d'ailleurs applicable qu'autant que tes bords de l'orifice ne sont pas très-près des faces adjacentes du réser*

voir. Elle donnerait notamment des valeurs de -j- beaucoup

plus grandes que celles de l'expérience, toutes les fols que j serait au-dessus de 0,4.

Dans ces circonstances, on suppléera à la formule ci-dessus,

en prenant, d'après une expérience d'Eytelwein, y — i ,178 quand t-=o,86 environ, et, d'après M. Bidone, -^ = 1,25 quand p ^i>

Des coursiers.

58. Dépense dex perlais accompagnés de coursiers qui conduisent l'eau sur les récepteurs. — L'eau qui s'écoule des pertuis des usines est souvent conduite sur les roues ou récepteurs, au moyen de canaux découverts d'une.certaine longueur, qu'on nomme coursiers ou coursières. Le cas le plus ordinaire est celui {fig. ■20) où le coursier a une petite lon-

gueur et une pente assez rapide et où son fond et ses c6lés sont dans le prolongement des bords intérieurs de l'orîtice. Ëossut ?S&rmt {Hydrodynamique, t. \\, n'KSijquela dépense est la même que si le canal était enlevé et Dubuai a admis ce fait (Principes d'Hydraulique, L. I, chap. VU, n" 189), sans vérification préalable, pour tous les cas où l'eau du coursier

ne vient pas refluer vers l'oriflce, de manière à recouvrir la veine ; mais ce résultat ne paratt être vrai que pour les fortes charges dans le réservoir avec de fortes ouvertures. Lorsque la charge est faible, la vitesse d'écoulement l'est aussi, et il paratt, d'après des expériences récentes de MM. Poncelet et LesbroSy que la dépense est altérée parla présence du coursier, de façon que le coefficient décroît sans cesse avec les charges, au lieu d'augmenter à mesure que les charges diminuent, comme il arrive assez généralement {kl et suivants) pour les orifices en mince paroi et débouchant librement dans l'air.

Le cas des fortes charges étant le plus général dans les usines que HM. les élèves ont à lever, ils n'éprouveront pas de difficulté pour calculer les quantités de fluide écoulé.

59. Fitesse vers la naissance du coursier, — Quant à la vitesse, on admet encore qu'elle est sensiblement égale à celle qui est due à la hauteur de charge au-dessus du centre de l'orifice, à l'endroit où a lieu la plus grande contraction de la veine; mais au delà, c'est-à-dire à une distance d'environ deux fois la largeur de roriflce, il s'opère un effet analogue à celui que nous avons apprécié pour les tuyaux additionnels (27). La veine sollicitée par la pesanteur et la résistance du fond du coursier s'élargit et finit bientôt par rencontrer les parois latérales de ce dernier, la vitesse est diminuée et le fluide perd une portion de sa force vive, qu'il est ici très-difficile d'évaluer directement, attendu que le fluide ne reprend pas immédiatement un régime uniforme, comme cela a lieu sensiblement pour le cas des tuyaux fermés et complètement remplis ou versant l'eau à gueule-bée.

On se contente ordinairement d'admettre que la vitesse est altérée dans la même proportion que pour les tuyaux dont il s'agit, et que notamment elle se réduit aux 0,82 environ de celle qui est due à la charge correspondante du résertoir, quand la contraction est complète dans l'orifice et généralement suivant le rapport (27)

lorsque le coefficient m relatif à celte contraction est quelconque ; mais cette règle est sujette à contestation» attendu que le fluide est libre à la surface supérieure et n'y éprouve aucune perturbation dans son mouvement.

Si d'ailleurs la pente du coursier et ses dimensions, ainsi que la vitesse du fluide à sa sortie de l'orifice, étaient telles que la veine n'en rencontrât pas les parois» il est clair qu'il n'y aurait pas de perte de vitesse ni de force vive.

60. Cas oit le remou dans le canal recouvre complètement la veine. — Lorsqu'au contraire la pente du coursier et la charge dans le réservoir sont assez faibles pour que la résistance des parois ou des obstacles extérieurs quelconques force le liquide à s'amonceler, à gonfler le long du coursier et près de l'orifice, de manière à recouvrir entièrement la veine contractée, la pression sur cette veine est augmentée et la vitesse sensiblement altérée, aussi bien que la dépense qui se ferait si le canal n'existait pas.

Soient ^

6> Taire de l'orifice et 12 celle de la section du canal en un point où le régime puisse être censé devenu sensiblement uniforme ;

V et U la vitesse dans la section contractée cl dans Q. ;

m le coefficient de contraction de la dépense pour l'orifice w;

II— A la différence de hauteur entre le niveau dans le réservoir et dans le canal ;

Q la dépense par seconde.

D'après Dubuat [Principes d* Hydraulique , t. 1, p. 189 et suivantes), on aura pour calculer la dépense dans ce cas

Q:i^o,85i2v/2ff(H-A), le coefficient o,85 affectant essentiellement la vitesse

mais le principe des forces vives conduit à une règle plus générale et qui paraît plus sûre.

En efîeif on aura évidemment (11 , 24 et suivants) l'équation

qui donne

formules auxquelles il n'est pas nécessaire d'appliquer de coefficient de correction, et que confirment assez bien les résultats, non encore publiés, des expériences de M. Lesbros, relatives à ce cas.

On aura donc aussi

Vr^

mck)