V-ïF--"(/--ir

et, si Ton suppose, en particulier, que lî soit très-grand par rapport à ca, on retombera sur la formule

qui se rapporte (11 et 46) au cas où Torifice est noyé dans Teau d'un bassin ou réservoir inférieur, très-grand par rapport à ses dimensions propres.

L'expression générale de V conduit encore au même résultat, quand on y suppose Q--= mo), et de plus on a alors U = V; mais cette supposition est incompatible avec celle d'où nous sommes partis, et d'après laquelle l'eau éprouverait dans le canal un remou qui viendrait refluer vers l'orifice et recouvrir entièrement la veine contractée: elle ne pourrait se réaliser d'ailleurs qu'autant qu'on aurait donné la forme de cette veine {fig. 21) à l'origine du canal, dont le surplus en

72 C0UB8 DE UÉGANIQUB

serait le prolongement exact et aurait une pente telle que l'action de la gravité suffit pour anéantir continuellement TefTet des résistances passives, qui tendent à ralentir la vitesse

Fig. 3 I .

ou à augmenter les sections de l'eau. Or, la veine contractée s'écoulant en dehors du réservoir comme si elle était parfaitement libre et soumise seulement à la pression atmosphérique, il ne paratt pas qu'on doive calculer la vitesse par la

formule )/^g(H — A), mais bien par celles qui ont^été données aux n"^* H et 45.

61. Observations relatives au cas où la veine contractée n'est qu'en partie recouverte par le remou. — Lorsque la contraction a lieu sur le fond et les côtés de Torifice et que le coursier n'affecte pas, à son origine, la forme de la veine liquide (Jig* 22)9 il arrive ordinairement que, sous de grandes charges dans le réservoir, cette veine se détache complètement des parois latérales et de son fond, du moins aux environs de la section de plus forte contraction, et alors, comme nous l'avons vu (68), la vitesse et la dépense sont les mêmes que si le canal était supprimé, malgré le gonflement ouTamonceU lement d'eau, qui se fait un peu au delà de cette section et qui est occasionné par les chocs et résistances de toute espèce ; mais, lorsque la charge est très-faible, la veine se déprime et s'élargit, le gonflement se rapproche de l'oriOce, l'eau qui le. forme se précipite dans les vides latéraux dont elle est d'abord et successivement repoussée, et qu'elle finit bientôt par rem-

plir plus ou moins parfailemeni, en altérant ainsi la pression éprouvée par la veine et le mode de l'écoulement.

Telle est la cause qui produit la diminution de la dépense ou du coefilcient m de la formule du n" 45 pour les petites charges, diminution qui, d'après les expériences inédites de M. Lesbros, peut faire descendre ce coefficient au-dessous de o,4o pour le même orifice et la même charge qui, d'après le tableau du n" 48, donnerait par exemple, m = o,65 ou m = 0,70, Aussi le cas des petites charges et du recouvrement incomplet de la veine est-il un de ceux qui laissent le plus d'incertitude sur la véritable mesure de la dépense effective, attendu la difficulté de saisir un caractère physique du phénomène de l'écoulement, assez prononcé pour permettre d'assigner la diminution du coefficient qui correspond à chaque cas. Celte incertitude, au surplus, est absolument la même que celle qui se manifeste pour les tuyaux additionnels (23 et 27), toutes les fois que la charge d'eau est très-faible ou que la longueur du tuyau est fort petite. Il arrive, en effet, alors que le coefficient peut varier entre 0,82 et 0,61, selon que le li-

quide suit plus ou moins bien les parois de ce tuyau, ou sort avec une vitesse moyenne plus ou moins altérée.

62. Cas des orifices découverts, prolongés par un canal ou coursier. — Quant au cas des orifices découverts à la partie supérieure ou en déversoirs (55), et qui sont prolongés extérieurement par un canal ou coursier rectangulaire, les mêmes circonstances se reproduisent encore, comme on peut le voir par les expériences de Christian [Mécanique industrielle^ 1. 1]» qui ont donné, dans ce cas, pour la formule

des valeurs du coefficient m généralement au-dessous de celles qui se rapportent aux déversoirs versant librement dans l'air, et qu'a obtenues le même auteur par des procédés qui, d'ailleurs, laissent quelque incertitude sur le degré de précision des résultats. Tout ce qu'il est permis d'en conclure, c'est que le coefficient pour l'orifice avec canal est au coefficient pour l'orifice sans canal à peu près dans le rapport de 0,96 à l'unité ; ce qui lui donnerait pour valeur moyenner(56)

qui, probablement, est un peu trop forte, et répond, d'ailleurs, à un cas où la largeur horizontale de l'orifice égalait celle du réservoir, ce qui annulait les contractions latérales. Il ne paratt pas, d'ailleurs, que, dans ce cas, la veine ait été recouverte par le gonflement de l'eau du canal. Dans celui où elle le serait, comme il arrive pour certaines prises d'eau, sans vanne de retenue» on pourrait, d'après Dubuat, continuer à prendre, pour calculer la dépense, la formule ci-dessus (60)

Q = ÛU =r mû v^ag-tH - A),

dans laquelle on supposerait au coefficient la valeur

déduite du résultat de ses expériences, qui se rapportent essentiellement au cas où les fonds du réservoir et du canal sont

dans le prolongement Tun de Tautre» et où la largeur de ce dernier diffère assez peu de celle de l'orifice de prise d*eau. Mais il sera probablement plus exact de procéder d'après la méthode qui a été indiquée au n"* 52, en considérant Torifice comme partagé en deux autres (fig* 23), dont l'un AD

Fig. a3.

entièrement noyé sur une hauteur déterminée par le prolongement de la surface de pente LM des eaux dans le canal, et l'autre Bl) pour lequel l'eau s'écoule librement dans l'air, ainsi qu'il arrive pour les déversoirs sans canal.

63. Avantages que Von trouve à diminuer la contraction. — Pour éviter les pertes de force vive qui se font (53) à l'entrée dans le coursier, par suite du rétrécissement de la veine au sortir de l'orifice, on termine quelquefois ce dernier par une sorte de buse, qui approche plus ou moins de la forme qu'affecte naturellement le jet (60), et qui est exactement prolongée par les parois du coursier ; mais cette disposition est vicieuse, attendu qu'il en résulte toujours une perte de force vive comparable à celle qui répond à la charge génératrice du liquide (23 et suivants) dans le réservoir, perte qui augmente d'ailleurs considérablement quand, ainsi que cela se pratique dans certaines usines, la buse est fermée de toutes parts et que l'ouverture de son orifice d'entrée est réglée par une vanne mince (fig. 24); il arrive alors que l'eau, après avoir subi une première contraction sous cette vanne, vient choquer les parois de la buse, et, ne pouvant en sortir librement, se gonfle, en remplit toute la capacité et perd ainsi l'excès de sa vitesse primitive sur celle qu'elle est obligée de prendre en se disséminant sur une plus grande étendue de section (24).

En disposant, au contraire, les choses vers rintérieur du réservoir, c'est-à-dire en amont de la vanne, de façon que la

Fig. ai.

-.vs^.\

N >^SN^\<n^\vX^:vV^V'^\\n\^:>\'>\s?^\vî<

contraction latérale du fond soit à peu près annulée, au moment oii Teau s'écoule par-dessous cette vanne pour se rendre dans le coursier, qui forme le prolongement exact des bords de l'oriOce, on sera certain que la perte de force vive sera absolument insensible, puisqu'elle ne dépendra que des altérations de vitesse subies par le liquide dans l'intérieur du réservoir, c'est-à-dire dans des sections fort grandes et où la vitesse est elle-même fort petite par rapport à celle qui a lieu au sortir de l'orifice.

04.. Dispositions employées pour diminuer la contraction. — Pour remplir ce but, on place le fond de l'orifice et du coursier dans le prolongement de celui du réservoir, ou si cela n'est pas possible, on raccorde ces deux fonds {Jig. iS) par une surface courbe tangente à chacun d'eux» ou, enfin, s'ils sont trop distants, on se contente de terminer celui de l'orifice par un arrondissement présentant la forme naturelle du rétrécissement de la veine. On pratique des raccordements ou des arrondissements analogues pour les côtés verticaux de l'ouverture, ainsi qu'il suit : cd étant la largeur réelle que doivent avoir le coursier et l'orifice ou la veine à sa sortie,

APPLIQUES Atll MACmiIES. 77

on prendra ab^~cd envirODi ef=:ab=:^cd au moins, ou «/^ ^ab z= zcd au plus ; puis on réunira a e\. b aux parois du coursier prolongé vers l'intérieur du réservoir au moyen de courbes ayant la forme indiquée sur laUgure et qui leur soient tangentes.

Fie. '5-

^- ' ^ .#zzi

Les choses étant ainsi disposées, la contraction se trouvera sensiblement détruite sur trois des côtés de l'oriflce, la vitesse à l'origine du coursier sera à très-peu près égale à celle qui est due à la charge génératrice moyenne dans le réservoir, et le coefllcient de la dépense aura pour valeur, même dans le cas de charges ou d'ouvertures assez Tortes :

i" Si la vanne mince placée en cd est verticale,

n" Si elle est inclinée {Jîg. 26), ainsi que la retenue, à ■ de base sur 2 de hauteur,

3<> Si elle est inclinée [Jig. 26), ainsi que la retenue, à i de base sur 1 de hauteur,

Sous de faibles charges et de petites ouvertures de vanne on devra, dans les mêmes circonstances, augmenter ces nom-

Fig. 26.

bres de ,V environ de leurs valeurs ci-dessus, en observant; d'ailleurs, que la hauteur de rorifice, quand la vanne est inclinée, doit être prise perpendiculairement au fond du coursier.

Ces nombres ont été, d'ailleurs, déduits du résultat moyen de diverses expériences faites par M. Poncelei, à l'occasion de ses recherches sur les roues à aubes courbes avec vannes inclinées [Mémoire sur les roues hydrauliques à aubes courbes, etc.; Metz, 1827). On peut voir, dans les n°* 37 et 44 de ce Mémoire, comment la présence du coursier, même assez fortement incliné, peut faire décroître le coefficient de la dépense théorique (61) à mesure que la charge diminue.

Quant à l'utilité d'incliner la vanne et la retenue vers le dehors du réservoir, elle n'a pas pour objet précisément de diminuer la contraction supérieure de la veine, mais bien de rapprocher le plus possible, dans certains cas, l'orifice des récepteurs hydrauliques, ce qui diminue les altérations de la vitesse du liquide, produites par la résistance des parois du * coursier.

Des canaux.

65. Mouvement de Veau dans les canaux d'une grande longueur à régime constant, — Les usines sont souvent précédées de canaux d'une grande longueur, destinés à y amener les eaux. Dans la plupart des cas, la pente est uniforme, assez faible, le profil est constant, la surface de Teau est parallèle au fond du canal et la vitesse moyenne est sensiblement la même dans les diverses sections, ce qui fait dire alors que le régime du canal est uniforme.

On admet encore ici, et l'expérience confirme que la résistance des parois peut être représentée, comme dans le cas des tuyaux de conduite (29), par une fonction de la forme

5cTL(aU4-ôU'},

dans laquelle II, L, g, U ont la même signification que pour les tuyaux, mais où gt est le périmètre mouillé de la seclion du canal, a et p étant encore des coefficients constants. Le régime étant supposé uniforme, Téquation du mouvement du fluide, sous la seule pression de Taimosphère, se réduit (3ii) à

H étant la pente du canal sur la longueur L que l'on considère, et Q. l'aire constante du profil.

66. Valeurs des coefficients ol et (3, calculées par M. de Prony. — M. de Prony représente le rapport — de l'aire de

la section à son périmètre mouillé par R, qu'il appelle, avec

Dubuat, le rayon moyen, et par 1 le rapport y de la pente totale à la longueur, I étaiit alors la pente par mètre courant ou la déclivité, ce qui donne à l'équation ci-dessus la forme

ffRI = aU-f pu».

8o COURS DE MÉCANIQUE

En comparant les résultats donnés par cette formule avec ceux qu*a obtenus directement Dubuat, d'après trente et une expériences sur les canaux découverts, M. de Prony en déduit pour a et p les valeurs

a=.o ,000436, d'où - = o ,0000444s *

j3 = o,oo3o34, d'où ^ = 0,0003093 1,

et par suite

ou

U = — o"',07i85h-^o,oo5i63 -f- 3233. RI,

il H

en remplaçant— par R et-=- par I ('). Si l'on néglige le pre-

Ci) Là

mier terme sous le radical par rapport au second, cette ex* pression de la vitesse se réduit à

U = - o'",o7 i85 -f- 56,86 v/RÏ.

67. Faleurs des coefficients a et (3, calculées par M. Ejrtel" wein. Observation importante de M, de Prony à ce sujet, — M. Eytelwein (Mémoire déjà cité), reprenant l'équation de M. de Prony et se servant du résultat d'expériences récentes faites sur de grandes rivières par MM. Funck, Brunnings et Wollemann, a détermine de nouvelles valeurs de a et p, qui sont

« = 0,000238, d'où -=: 0,0000243;

(3 = 0,003586, d'où - = o,ooo36554.

Par suite, la vitesse moyenne devient

U = — o*,o33ig -+- v/o,ooi ioi63 -4- 2725, 66 RI.

(') Recherche sur la théorie des eaux courantes^ par M. de Prony.

APPLIQUÉE AUX MACHINES. 8l

D'après la comparaison faite postérieurement par M. de Prony (^) entre les résultats de cette dernière formule et de la précédente» il a trouvé que Tune et l'autre représentaient, avec un degré d'exactitude a peu près pareil, ceux des expériences tant anciennes que nouvelles; de plus* il a remarqué que ces résultats étaient également bien représentés par la formule du n*" 34, relative aux tuyaux de conduite, et même avec un degré d'exactitude comparable à celui de la formule ci-dessus de M. Eyteiwein, quoique celle-ci soit déduite d'une variété plus grande d'expériences. Cette observation peut être importante pour beaucoup de cas.

La relation

servira donc à déterminer la vitesse , comme on vient de le voir, lorsque Ton connaîtra la déclivité ou la pente par mètre courant du canal et son rayon moyen ou le rapport de l'aire de la section au périmètre mouillé; elle servira aussi à faire rétablissement du canal sous des conditions relatives à la vitesse, à la forme et à la pente qu'on peut se donner, selon les cas, en observant que, si l'on nomme Q la dépense par seconde, on a

Pour faciliter les calculs, M. de Prony a donné {voir l'ouvrage cité en dernier lieu) une Table des valeurs du terme RI et des vitesses correspondantes, calculées d'après ses formules et celles de M. Eyielwein.

Jaugeage des cours d'eau.

68. Relations entre la vitesse moyenne, la vitesse à la surface et la vitesse au fond. — Lorsqu'on n'a pas à sa disposition les instruments nécessaires pour déterminer avec l'exactitude suffisante la pente d'un canal sur une longueur convenable, on cherche à mesurer la vitesse moyenne par

(•) Recueil de cinq Tables,pour faciliter et tibréger les calculs, etc. Imprimerie royale, septembre iSiS.