DANS LES CANAUX OU CONDUITES DÉCOUVERTES

79. Observation préliminaire, — Lorsque le régime d'un courant d'eau est uniforme dans toutes ses parties, ce qui suppose ses sections, sa pente, sa direction et les vitesses de chacun de ses filets invariables, l'inertie ne jouant absolument aucun rôle, la pression en ses différents points est évidemment la même que pour l'éiat d'équilibre ou de repos ordinaire, c'est-à-dire qu'elle se compose de la pression atmosphérique ordinaire augmentée de celle qui est due à la hauteur verticale du point considéré au-dessous de la surface de niveau correspondante du liquide. De plus, en raison des résistances du lit, il s'établit, entre les vitesses des divers points, des rapports qui demeurent invariables pour toutes les autres sections, et en vertu desquels il devient permis de substituer les considérations d'une vitesse moyenne unique à toutes celles dont il s'agit, et de supposer ainsi que le mouvement

g6 COURS DE MÉCANIQUE

se fait par tranches planes parallèles; c'est ce que Dubuat exprime en disant que le courant est réglé. Quant à la force vive, dans chaque section, il est aisé de voir qu'elle surpasse nécessairement d'une certaine quantité celle qui se déduit de la considération de la vitesse moyenne relative à la dépense du courant, ce qui n'empêche nullement les équations du n^ 65. d'avoir lieu, puisqu'elles sont indépendantes de cette force vive.

Mais les choses se passent différemment lorsque la direction, le profil et la pente du lit varient en chaque point do courant, ou si seulement cette dernière se trouve être plus forte ou plus faible que celle qui convient au régime uniforme; les forces d'inertie et centrifuge (Sect. I, première Partie, n~ 13 et 14-) jouent alors un rôle tout particulier pour altérer les vitesses et les pressions en chaque point, altérations auxquelles correspondent, à la surface supérieure et libre du courant, des dénivellations qui maintiennent l'équilibre entre les pressions dues aux forces motrices et celles qui proviennent du poids seul du liquide. Toutefois, lorsque les changements s'opèrent avec lenteur et graduellement, de sorte que les sections et le régime varient peu dans une étendue assez grande du courant, circonstances qui se présentent fréquemment, tant pour les canaux artificiels que pour les rivières, on ne risquera probablement pas de se tromper d'une manière appréciable, en admettant encore que le régime se trouve réglé à peu près comme s'il était rigoureusement uniforme, et que la pression en chaque point y est mesurée comme on vient de le dire. Considérant d'ailleurs le mouvement comme se faisant toujours par tranches planes perpendiculaires à la direction du courant et animées en tous leurs points d'une vitesse moyenne égale à celle qui se déduit de la dépense divisée par leur aire, on parvient, par l'application du principe des forces vives, à plusieurs résultats utiles pour la pratique et que confirme pleinement l'expérience.

80. application du principe des forces vives aux courants à régime variable. — Soient AB, CD (Jig.';ii) deux sections transversales d'un pareil courant, perpendiculaire à la direc-

trice BbB' de son lit, et dont et 0' sont les aires, U et U' les vitesses moyennes respectives. Soit ab une section intermédiaire quelconque, ayant pour aire o), pour périmètre

Fig. 3i.

mouillé zs, pour vitesse moyenne u, et dont la distance B6 à AB, mesurée sur le développement de la directrice du Ut, soit représentée par /, celle de CD à AB l'étant par L. Nommons, de plus,

dM la masse liquide qui s'écoule par chaque tranche pendant^/;

n la densité ou le poids de l'unité de volume du liquide;

Q la dépense par seconde;

H et H' les hauteurs du niveau supérieur A et C de l'eau dans les sections AB et CD, au-dessus d'un plan horizontal inférieur quelconque;

Hi et H', celles des centres de gravité G ei gée AB et CD audessus du même plan;

h et h' leurs hauteurs respectives au-dessous des points supérieurs A et C.

La quantité d'action imprimée par la gravité au fluide pendant dt et depuis la section AB jusqu'à celle CD aura évidemment pour valeur

^rfM{H.-ff.).

Quant à celles que lui impriment, en sens contraire et dans le même temps, les pressions exercées perpendiculairement à la surface des sections dont il s'agit, on remarquera que la somme de ces pressions a respectivement pour valeur

En AB no A;

En CD nO'A',

98 COURS DE MÊGAlflQUB

développant les quantités de travail élémentaires

llOh\]dt = UQdt.h = gdMh et

-no'/rurf/^-^rfMA',

dont la somme, censée agir de bas en haut, est ainsi égale à

cette quantité devant s'ajouter à celle qui se rapporte à l'action de la gravité, on aura, pour le travail dû à la fois à toutes ces forces,

résultat qui, à la rigueur, pourrait être considéré comme évident a priori.

La quantité de travail détruite pendant l'instant dt par h résistance des parois du canal sur la tranche en ab pouvant être encore ici exprimée par la formule

rfM — («m-+-(3m'),

il est clair qu'on aura (29), d'après l'équation des forces vives et en supprimant le facteur e/M commun à tous les termes,

équation dont, pour plus d'exactitude (71), le premier membre devrait être multiplié par un facteur constant à déterminer par expérience, et qui, en attribuant à âc et (3 les valeurs rapportées au n" 66, donnerait U'en fonction de L, si l'on connaissait la loi qui lie entre elles les quantités cj, o), u et /, de manière à pouvoir intégrer immédiatement la fonction sous le signe qui représente le travail des résistances.

Pour découvrir cette loi, on observe qu'en remplaçant les sections quelconques AB et CD par deux sections infiniment voisines ab et a'b'y le principe des forces vives donne également

dit'=udu = ffdU (aw-h Qu^)di,

2 ° co

dR représentant la hauteur verticale du point a au-dessus du point a^ du niveau supérieur, de sorte qu'elle est négative lorsque a se trouve situé plus bas que a% et positive dans le cas contraire.

81. Équation différentielle du mouvement des tranches et remarque à ce sujet. — Nommons {Jig. 82) cp l'angle que

Fijj. 32.

forme avec l'horizontale l'élément bb' = dlde la directrice du canal ;/ la profondeur afr du courant au-dessus du pointa, mesurée suivant la perpendiculaire à cetie directrice. Par le point a menons à bb' la parallèle ac, rencontrant en c l'ordonnée a'b' voisine de ab, et par le point a' l'horizontale a'a\ , rencontrant en a\ la verticale du point a; on aura évidemment

ac = dl, a'c : - dy et «« , =^ — c?H.

Projetons également le point c en c, sur la verticale de a par l'horizontale cc^\ on aura finalement

— rfH rr= ad^ = a', c,

ac, r^ a'c cos(p — acsincp — dy cos (^-~dl sin <p

ety par suite,

CJ

uduz=gdlsin(^ — gdx C0S(^ {au -h^u^)dl;

mais on a

- Q , Qrfw

d'ailleurs o, cj et <p sont des fonctions données de / et y; donc

réquation ci-dessus établit une relation nécessaire entre /, y\ dl et df, qui, étant intégrée dans chaque cas particulier, donnera la forme du profil de la surface supérieure du courant.

Cette équation est, aux notations près, celle qui a été obtenue par M. Bélanger dans un fort beau Mémoire ayant pour titre : Essai sur la solution numérique de quelques problèmes relatifs au mouvement permanent des eaux courantes (Paris, 1828), et dont il a déduit plusieurs conséquences utiles, conformes aux résultats des expériences faites par M. Bidone sur les remous ou [gonflements d'eau produits par le barrage des courants (Mémoires de l* Académie de Turin^ t. XXV, année 1820). Celle même équation se trouve rapportée dans la rédaction des Leçons de Thiver de 1828, époque à laquelle le travail de M. Bélanger n'avait point encore paru, et elle y est spécialement appliquée aux canaux à profils rectangulaires constants, avec pente uniforme, qui intéressent plus particulièrement les usines hydrauliques, et donnent d'ailleurs lieu à des solutions faciles (').

82. Intégration par approximation de V équation ^ dans le cas où le profil du lit et la pente du courant sont constants. — Supposant, en effet, le profil transversal du lit invariable et la pente uniforme, de sorte que 9 soit donné; nommant d'ailleurs x la largeur horizontale du lit à la surface supérieure de la section w, on aura évidemment

rft,) z=z X dy et, par suite,

du ^-9A^ = -^^rclr=- Ixdy, substituant celte dernière valeur dans l'équaiion générale

(*) L'Académie royale do Metz avait propose pour sujet de concours, en 1827, la question suivante : Déterminer la courbe que forme une eau courante en amont d'un barrage, question qui se rattache à celle dont il s*a(;it ici et qu'a parfaitement résolue M. Bélanger dans son Mémoire, mais que rAcadémie désirait voir accompa^jnéo d'eipériences spéciales sur la forme des remous.

dont il s'agit, on en déduira

-X-gCOS(f

dl= dy\

^(«m-+-(3m») — g'sinç

Pour intégrer le second membre de cette équation, on se donnera une série de valeurs équidistantes de j, à compter de celle 7^ qui répond à la section du canal pour laquelle / = o, et qui est censée connue a priori; on en déduira facilement les valeurs correspondantes de (ù, xs, u et, par suite, celle de la fraction qui multiplie dy. Appliquant à ces résultats la méthode de Thomas Simpson (Sect. I, i" Partie, n" 9), on obtiendra, sans beaucoup de peine, les valeurs de /qui correspondent à celles dont il s'agit, ce qui fera connaître la loi même du mouvement.

S'il s'agit, en particulier, d'un canal à section rectangulaire et constante dont b soit la largeur horizontale, on aura

x^=b, (0 = by-y xa^^b — 7.y^ « = - = ^ ,

rf« bdy ^t

ei,

par

suite, dl-

6Q^— grw*cos9

-H 2&>)(aw -f- (3Q) — gr*w* 6Q'— g-cosoé'r*

sin

rf'Jt)

Q6 -f- 27(a6j-4- jiQ)— g^ft^j^-^sincp

L'intégrale générale de chacune de ces équations donnerait la loi qui lie les valeurs de / à celles de &) ou de y. Quant à la relation entre / et u, elle serait donnée par Tintégration de cette troisième équation

a'[(6'wH- 2Q)(aM-i-(3a^)— g^6Qsin<p] '

mais cette intégration, aussi bien que les précédentes, exigeant la résolution d'une équation du troisième degré, tant que sin^

>Oï COURS DE MÉCANIQUE

OU la hauteur de pente par mètre courant ne sera pas nulle, il sera plus simple de procéder, comme il a été Indiqué cidessus, par voie d'approximation.

On trouvera d'ailleurs dans le Mémoire de M. Bélanger diverses applications numériques, que MM. les élèves feront bien de consulter et qui montrent que les calculs ne sont pas aussi compliqués qu'on pourrait se l'imaginer d'abord.

83. Conséquences diverses qui résultent de l'équation ci" dessus. — Revenant à l'équation générale

— X — gcos9

dl = "' dr,

. — (ail H- ^tt') — g^sinç

on remarquera que si, en donnant différentes valeurs consécutives à j, d'où résultent celles de &>, m et u, le dénominateur de la fraction devient nul avant son numérateur, on aura en même temps

cj , ^ ,, . dr

ce qui indique évidemment (65) que le régime est devenu uniforme pour la valeur correspondante de /, ou que la surface supérieure de l'eau est devenue parallèle au fond du lit; mais comme, avant l'instant dont il s'agit, dl acquiert des valeurs très-grandes, / croît aussi d'une manière très-rapide; de sorte que ce n'est pour ainsi dire qu'à une distance Infinie que le régime devient rigoureusement uniforme.

Si, au contraire, le numérateur de la fraction ci-dessus devient nul avant son dénominateur, on aura à la fois

w' dy

-X-gC0S<f:r.O. -..X,

ce qui annonce que la surface supérieure de l'eau est devenue verticale pour la valeur correspondante de u ou de /; et, comme les valeurs de dl changent de signe à compter de ce point, on voit que cette surface devrait revenir sur elle-même.

APPLIQUÉE AUX MACHINES. Io3

ce qui présente uae absurdité manifeste et montre qu'aux environs du point dont il s'agit l*hypoihèse du* parallélisme des tranches devient inadmissible, et qu'il se produit un changement brusque dans le régime du courant.

8i. Confirmation de ces conséquences par l'expérience des remous et des ressauts qui se forment dans les courants barrés transversalement. — En rapprochant ces conséquences du résultat des expériences de M. Bidone sur les courants barrés transversalement (fig. 33), et dans lesquels l'eau est

contrainte de s'élever ou de gonfler jusqu'à une certaine distance en amont, à laquelle son niveau se déprime brusquement et forme un ressaut avec le surplus du courant, en faisant, dis-je, ce rapprochement, M. Bélanger en conclut que la formule ci-dessus représente d'une manière satisfaisante les différentes circonstances du phénomène.

Nommant d'ailleurs U la vitesse moyenne dans la tranche d*amoni AB, qui précède immédiatement le ressaut, U' celle de la tranche d'aval CD, H — H' la différence de hauteur entre les points supérieurs de ces tranches respectives, on a

relation qu'on déduit immédiatement de celle du n'' 80 cidessus, en négligeant les résistances dans la petite étendue du canal comprise entre AB et CD, et qu'avec M. Bélanger on peut traduire en disant que la hauteur du ressaut est égale à la différence des hauteurs dues aux vitesses du courant en amont et en aval de ce ressaut.

Celte proposition se trouvant vérifiée à peu près rigoureusement par les résultats des observations de M. Bidone, il en

résulte que le changement de régime du courant se fait sans perte sensible de force vive, ce qui lient à ce qu'il n'y a point ici de tourbillonnement ou de divergence dans le mouvement des filets fluideSy comme cela aurait lieu si le canal présentait par lui-même un rétrécissement brusque à Kendroit dont il s*agit (24).

85. Détermination de la hauteur du ressaut. — Supposant également, avec ce savant ingénieur, que le canal soit rectangulaire et sa pente très-faible, nommant A la profondeur en AB, II' celle en CD, et enfin \ la hauteur clTective II — H' du ressaut, on aura sensiblement

et, par suite,

d'où Ton lire, en posant - = e,

'ff

qui servira à calculer ^ quand A et U seront donnés.

86. Manière dont on détermine la vitesse^ la section et la dépense au débouché inférieur du courant, — Comme le régime, à la prise d'eau d'un canal, dépend essentiellement de celui qu'il acquiert en aval ou au débouché, et que de ce premier régime peut dépendre aussi, comme on l'a vu au n'^SS, le produit ou la dépense qui se fait par l'orifice d'alimeniniion, on devra d'abord s'occuper de ce qui se passe au débouché, soit pour calculer directement la dépense, par les règles expliquées précédemment, soit pour en déduire au moins la hauteur et la vitesse des sections en ce point, de manière à être en état de déterminer, de proche en proche, comme nous l'avons déjà expliqué ci-dessus, le régime du canal dans ses sections successives et à compter de celles dont il s'agit en remontant vers la prise d'eau.

APPLIQUEE AUX MACHINES. lo5

Par exemple, dans le cas de la Jig. 33 ci-dessus, où le canal est supposé terminé par un barrage en déversoir, on aura, pour déterminer la dépense ou la hauteur H' de l'eau au-dessus du sommet de ce barrage (55), la formule

si cette aire est comparable à l'aire 0' de la section du canal pour laquelle on relève la charge maxima II' et dont la vitesse moyenne esi représeniée par U'.

La dernière équaiion donnera U' et, par suite, Q, si 0' et H' ont été relevés direclemenl, ou H' et U' si Q esi connu a priori, en observant que 0' est fonction de II' et de la hauteur du barrage.

Les mêmes formules sont d'ailleurs applicables, quelle que soit celte hauteur du barrage, qui peut être ainsi nulle, pourvu toujours que le canal débouche librement dans l'air.

Si, au contraire [Jig. 34), il débouche dans un réservoir ou

Fig. 34.

courant d'eau inférieur, dont le niveau général est connu, on aura bien la profondeur d'eau et la section 0' au débouché, mais non pas U' et Q, qu'il faudra déterminer par des observations directes, en se reportant, par exemple, à la prise d'eau ou à une partie du courant dont le régime soit sensiblement uniforme et dont la dépense puisse être ainsi jaugée (66).

Si enfin le sommet du barrage s'élève au-dessus du niveau de l'eau dans le canal et que l'orifice soit placé près de son fond, et limité à l'ordinaire par une vanne mobile [Jig. 35), on se servira, pour le même objet, des formules

= 0'U'=/nwV, V=:

in6 COURS DE MÉCANIQUE

&), V et m éiant Taire, la vitesse et le coefficient de contraction de la dépense, qui se rapportent à ToriGce qu'on suppose déboucher librement dans l'air.

Fig. 35.

87. Déterniinalion du régime du courant à compter du débouché inférieur. — Les quaniités 0', U' étant ainsi connues pour la seciion 0' du canal voisine du débouché, on procédera au calcul des valeurs successives de / comptées de cette même section, par la formule du n®75, dans Inquelle on devra ici changer le signe de dl ou du facteur de dy\ puisque nous partons des sections inférieures du canal; on aura donc la relation

g^cosç X

- ioLU -f- 3m'] — ffsinç

dy.

qui fera connaître la forme de la surface supérieure du courant, jusqu*à l'endroit du ressaut, s'il en existe, ou jusqu'à la prise d'eau en AB, si cette surface est exactement continue,

de sorte quegfcoso— —x ne devienne jamais nul pour

l'iniervalle considéré.

Dans le premier cas, la position du ressaut sera déterminée.

ÀPPLlQUtB AUX MACHINES. I07

ainsi que sa hauteur Ç, au moyen des relations exposées cl* dessus; ce qui fait connaître aussi le régime dans la section d'amont du courant, d'où l'on déduira ensuite celui qui a lieu dans les différentes sections, jusque tout près de la prise d'eau, en procédant toujours de la même manière, à l'aide de l'intégrale qui donne /. Ce cas se rapportant généralement à celui où la pente du canal est très-forte et la vitesse à la prise très-grande, on voit que la dépense y sera à peu près la même (58) que si le canal était enlevé.

88. Influence du régime du courant sur la dépense et la chute qui se forme à la prise d'eau. — D'ailleurs l'intégrale ci-dessus met à même de prévoir, dans certains cas, si les résistances du canal peuvent exercer une influence sur le mode de l'écoulement de la veine sortant de l'oriQce d'alimentation; car, si aux environs de cet orifice les valeurs de / croissent dans le même s^ns que celles de cù ou j, c'est-à-dire, si le facteur de dy,

fifCOS© X

-- (au -+- ^u^) — g^sinç

y est positif, ce sera un signe certain que l'action de la gravité suffit, et au delà, pour vaincre les résistances du canal ; de sorte que la présence de celui-ci ne pourra altérer en aucune façon la dépense, même dans le cas où il formerait le prolongement exact des bords de l'orifice, et a fortiori dans tous ceux où il s'en trouverait détaché de toutes parts. Mais, s'il en est autrement, la dépense pourra être altérée, comme on l'a vu (58), suivant une loi qui reste encore à déterminer.

Quant au cas où le calcul annoncerait que le ressaut est situé à une distance du débouché du canal plus grande que celle qui répond à l'orifice d'alimentation, la veine et cet orifice se trouvant en tout ou en partie recouverts par le remous ou gonflement du canal sur une hauteur que le calcul aura mis à même d'apprécier, la chute qui se fait à la prise pourra être déterminée au moyen des formules du n"* 78.

On voit par celte discussion comment on peut découvrir a

I08 COUKS DE HÊGANIQUB

priori et de proche en proche Télal ou le régime d*un courant d'eau en ses différents points et la hauteur de chute qui se forme aux endroits où il éprouve un changement brusque; mais on a dû s'apercevoir que cela suppose expressément que la dépense ou la vitesse et la section soient données a priori ou par l'observation, en un certain point et lorsque le régime est devenu permanent.