II
Tobservaiion directe. Les expériences de Dubuat prouvent que la vitesse est loin d'être la même dans tous les endroits d'un canal ou d'un cours d'eau à régime uniforme; qu'elle est la plus grande vers le milieu et un peu au-dessous de la surface, et qu'elle diminue depuis cet endroit jusqu'au fond et en s'approchant des rives. Cet habile observateur en a déduit une relation entre la vitesse V h la surface dans le plus fort courant, la vitesse W au fond cl la vitesse moyenne U. M. de Prony en a proposé une autre plus simple, plus exacte et qui ne dépend ni de la figure, ni de la grandeur absolue des sections. On a, d'après ce célèbre ingénieur,
On peut s'épargner le calcul de la première de ces formules au moyen de la Table suivante :
Valciii>s de V.
Valeurs de —
Dans les cas les plus ordinaires de la pratique, où la vitesse
moyenne est comprise entre o"»,2o et i"*,5o par seconde, on
pourra se contenter de prendre simplement, d'après M. de
Pronv,
U-:o,8i6V ou U=:o,8V.
69. Moyens de mesurer la vitesse à la surface. — Quant aux moyens à employer pour mesurer directement la vitesse dans le plus fort courant, on en a proposé et mis plusieurs en usage, dont nous allons indiquer les principaux :
Tube de Pitol. — Le lube de Piiol consiste en un lube recourbé, ordinairement en fer-blanc, coudé à angle droit; l'une des branches se place horizontalement dans le sens du courant, l'ouverture dirigée en amont. Dans l'autre branche, alors verticale, le fluide s'élève à une hauteur en rapport avec la vitesse du courant et que Ton mesure à l'aide d'un flotteur gradué. Les oscillations continuelles du niveau dans la branche verticale et la nécessité de tarer l'instrument dans un courant bien connu sont des inconvénients qui le rendent d'un usage peu commode.
Moulins à ailettes, — On a imaginé aussi de se servir d'un moulinet léger à axe horizontal, portant des ailettes en partie immergées à la surface de l'eau, dont on observait la vitesse de régime, soit directement, soit à l'aide d'un compteur; mais la difficulté d'installer l'instrument et de tenir compte des résistances provenant du frottement sur les tourillons et de l'air sur les ailettes a forcé d'y renoncer dans la plupart des cas.
Strommesser. — Un autre instrument à axe horizontal avec ailettes inclinées, que l'on plonge dans l'eau à différentes profondeurs et qui porte un compteur, a aussi été employé en Allemagne, sous le nom de Strommesser, mais la difficulté de le tarer exactement est la même que pour les précédents.
Flotteurs. — Le moyen le plus simple et le plus exact encore consiste à jeter dans le milieu du courant un flotteur léger, en bois de chêne, par exemple, qui dépasse très-peu la surface du liquide, afin d'offrir peu de prise à l'action de l'air. On le jette à l'eau un peu en amont du point où l'on commence à mesurer la longueur, et on le suit avec une montre sur la plus grande étendue possible. £n répétant les opérations plusieurs fois, on parvient à déterminer, avec une exactitude suffisante, la vitesse à la surface, d'où l'on déduit ensuite, d'après ce qui a été dit ci-dessus (68), la vitesse moyenne U, et par suite la dépense Q = ÛU, ce qui suppose, d'ailleurs, le régime uniforme ou les sections constantes sur une certaine étendue du canal.
70. Fitesse de régime des cours d*eau. — Quant à la vitesse L fond, s'il n'est pas nécessaire de la connaître pour calculer
au
84 COURS CE MÊCANIQUI
le produit d'eau, il importe, dans rétablissement des canaux, de la renfermer entre des limites convenables. En effet, si elle est trop grande, elle peut détériorer le canal en entrât* nant les matériaux qui le constituent, et si elle est trop faible les vases et les limons apportés par les pluies d'orage se déposeraient en abondance et obstrueraient le lit.
Il résulte des observations de Dubuat que les vitesses sous lesquelles les substances qui composent le lit des canaux commencent à être entraînées sont données par le tableau suivant, extrait dé ses Principes d* Hydraulique^ t. II :
VltoMe par seconde Déslgnatton dei Mbslanccs. an fond.
Argile brune propre à la poterie o,o8i
Gros sable jaune 0,217
Gravier de la Seine, gros comme un grain d'anis o, 108
» gros comme un pois au plus o, 189
» gros comme une fève de marais.. . o,3a5
Galets de mer arrondis de 0^,027 de diamètre o,65o
Pierre à fusil anguleuse du volume d'un œuf de poule. . 0,975
A ces données, qui peuvent servir à l'établissement des canaux et fournir des indications approximatives et précieuses sur leur vitesse de stabilité ou de régime, quand ils sont con* struits, nous joindrons, d'après Navier, les données suivantes, extraites de V Encyclopédie d* Edimbourg^ article Bridge^ rédigée par MM. Telford et Nimmo:
Umlte de la TlteiM Déflgaatlon des sobstances. de ataUllté.
Terre détrempée, brune 0,076
Argile tendre o, i5a
Sable o , 3o5
Gravier o ,609
Cailloux 0,614
Pierres cassées, silex 1 ,220
Cailloux agglomérés, schistes tendres i ,620
Roches en couches 1 ,83o
Roches dures 3,o5o
71. Jaugeage des cours d'eau. — L'opération par laquelle on évalue le produit ou la dépense d'un cours d'eau par se-
APPLIQUÉE AUX HACBINES. 85
conde, ou dans un temps donné, est ce qu'on nomme lejaugeage de ce cours d*eau.
On peut opérer ce jaugeage par différents moyens, soit en recueillant directement le volume du liquide écoulé, dans un temps donné, au moyen de vases ou de bassins d'une capacité connue, soit, si le courant possède un régime uniforme, en observant la vitesse à sa surface pour en conclure la vitesse moyenne (59 et 60); soit en barrant directement le cours d'eau, s'il ne l'est déjà, et pratiquant dans ce barrage un orifice de fond ou de superficie disposé de manière que les règles des n^* &7 et suivants puissent recevoir une application certaine; puis observant la hauteur à laquelle se maintient le niveau du liquide dans le réservoir supérieur, quand le mouvement est devenu exactement permanent (2), ou tel qu'il y arrive précisément autant d'eau qu'il s'en écoule par l'orifice dont il s'agit.
C'est ainsi que les fontainiers employaient pour les faibles produits d'eau un moyen qui consiste à barrer le courant avec une planche mince dans laquelle on perce sur une même ligne horizontale une suite d'ouvertures circulaires de I pouce (27 millimètres) de diamètre, qu'on ferme d'abor^ avec des tampons, puis qu'on débouche successivement et en nombre suffisant pour que le niveau en amont devienne constant et s'établisse exactement à une ligne au-dessus du sommet de tous les orifices, auquel cas chacun d'eux débitait environ i4 pintes de 48 pouces cubes par minute, ce qui revient à 19", 195 par vingi-qualre heures.
72. Du pouce des fontainiers et du module d'eau métrique. — C'est là, en effet, ce que l'on nomme encore de nos jours, quoique improprement, le pouce d'eau des fontainiers^ pouce qu'on subdivise en i44 lignes d'eau, et dont les évaluations, faites par Mariotte, Couplet et Bossui, sont loin de s'accorder entre elles (22), ni avec celle que nous avons rapportée cidessus et qui est assez généralement adoptée depuis quelque temps.
Ces incertitudes sur la valeur du pouce d'eau, qui proviennent essentiellement de l'influence variable de la paroi de
86 COURS DE SIÉCàMIQUB
rorifice, quand elle n'est pas pratiquée dans une plaque mince de métal, et de la difficulté de mesurer avec précision d'aussi faibles charges, ont engagé M. de Prony {voir l'Ouvrage cité au n"* 58, notes des pages ?.5 et ?.6) à prendre pour module d'eau lo mètres cubes censés écoulés en vingt-quatre heures, et dont le double est, d'après les expériences de ce célèbre ingénieur, fourni par un orifice circulaire de o"',o2 de diamètre pratiqué dans une paroi de o'^.o 1 7 d'épaisseur, sous une charge d'eau de o"*,o5 sur le centre. Ces proporlions, comme on voit, font rentrer l'orifice qui donne le double module métrique dans la classe (23) des ajutages ou tuyaux additionnels dont l'eau sort à gueule-bée.
73. Détermination de la vitesse avec laquelle l'eau arriue sur le récepteur. — Nous avons vu précédemment (59 et suivants) comment on peut déterminer la vitesse moyenne du liquide à une distance de l'orifice égale à 2 ou 3 fois sa largeur; il nous resie à indiquer la marche à suivre pour déduire du calcul et de l'observation la vitesse absolue que possède l'eau en arrivant sur le récopieur. Nous allons, à cet effet,
examiner les cas principaux qui se présentent dans la pratique.
Fig. :>;.
Considérons d'abord un coursier mnpq {Jig. 27), tel qu'il
s'en rencontre fréquemment dans les forges, incliné à 3o ou 40 degrés, assez court pour que Ton puisse faire abstraction de la résistance de ses parois, et qui dirige Teau sur un récepteur quelconque; soit a le point d'arrivée du liquide sur ce récepteur, et A la hauteur de ce point au-dessous du centre de la section cd pour laquelle U est la vitesse moyenne estimée approximativement, comme il a été dit dans les n''' 59 et suivants; on aura évidemment, d'après le principe des forces vives et en appelant Via vitesse absolue cherchée avec laquelle le fluide atteint le point a.
Cas où le coursier a une certaine longueur et peut être abordé par le dessus. — Si la pente du coursier n'est pas assez roide et sa longueur assez petite pour qu'on puisse négliger la résistance des parois, il se présente deux cas à examiner. Le premier est celui où l'on peut aborder le dessus et l'ex-
Fi(j. aS.
Irémité inférieure du coursier; alors on mesurera l'aire û' du profil de la lame d'eau vers cette extrémité en un point pour lequel la dépression qui caractérise le déversoir (55) est prête à se manifester d'une manière sensible'; ayant d'ailleurs calculé la dépense Q, qui se fait par l'orifice, d'après les méthodes
88 COUKS DE XfiCANIQOB
précédemment exposées, on prendra approximativement
Mesurant ensuite la hauteur h du centre de cette section Ql au-dessus du point a d'arrivée de l'eau sur le récepteur, on aura, comme ci-dessus, pour la vitesse avec laquelle le liquide atteint le point a,
Comme moyen de vérification, on pourra, dans certains cas favorables et notamment dans ceux où le- liquide aurait un régime sensiblement uniforme dans une grande partie du canal, considérer le section relevée 0/ comme celle d'un déversoir, et appelant H' la hauteur moyenne de l'eau dans cette section, calculer de nouveau la dépense par la formule (49), mais en tenant compte de la vitesse moyenne U' obtenue ci-dessus, ce
qui donnera
Q = o,4o/HVU"-t- ag^H',
qui devra être satisfaite par les valeurs déjà obtenues de Q etU'.
74. C<is oà le coursier ne peut être abordé par-dessus. — Le deuxième cas des longs coursiers est celui où Ton ne peut pas atteindre le dessus du canal et y mesurer directement des profils : il faut alors se contenter des moyens suivants, en euxmêmes forts imparfaits, mais qui ne sauraient entraîner à des erreurs graves. Ayant déterminé, par la formule du n*» 59, la valeur
de la vitesse moyenne U, dans une section située en avant de rorifice et à deux fois environ sa largeur, on calculera une première valeur approchée de la vitesse moyenne U' dans la section Q! placée vers le bout ducoursier, en négligeant la résistance des parois et ne tenant compte que de la hauteur
de pente il', «eoquprise entre ces deux sections, et l'on aura
prenant ensuite, pour la vitesse du régime, censé uniforme, dans le coursier, une vitesse
on s'en servira pour calculer une deuxième valeur U'' de la vitesse vers l'extrémité, au moyen de l'équation
d'où, en divisant par JM et négligeant le terme «£/, on tirera pour la vitesse approchée, dans la section 0/ située vers le bout du coursier.
»H..2gr/,'__a~^Pw%
expression dans laquelle on fera d'ailleurs (3 = o,oo35, et l'on mettra pour n; et 12 les valeurs correspondant à la vitesse moyenne w, qu'on a prise pour celle du régime uniforme et qui se déduisent facilement de la dépense connue Q et de la largeur du coursier.
Au moyen de la valeur de U*', on calculera ensuite, comme dans le cas précédent, la vitesse absolue V avec laquelle l'eau atteint le récepteur. Pour plus d'exactitude, on pourrait considérer ce qui se passe dans chaque tranche élémentaire da liquide comprise entre la section il et celle qui est située i une petite distance de l'orifice et pour laquelle la vitesse moyenne est U; puis déterminer, à l'aide du Calcul intégral et en tenant compte de la résistance des parois, la valeur de la vitesse ou de la section en chaque point, en fonction de celles qui se rapportent à un point donné; mais une telle rigueur serait ici sans objet, et nous renverrons, pour tout ce qui concerne les recherches de cette nature, aux additions qui terminent cette Section.
go COUBS DE MÊCA!«1QUB
75. Des cabinets d'eau, — Il nous reste à parler d'une disposition mise en usage dans quelques usines, notamment dans les forges, pour amener Teau sur le récepteur, lorsque le réservoir principal en est irès-éloigné. On établit alors, près du récepteur, un petit réservoir particulier (fig. 29),
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nommé cabinet d'eau, que Ton met en communication avec le bassin principal, au moyen d'un tuyau de conduite cylindrique ou prismatique; la vanne de service de la roue est placée en mn. Lorsqu'elle est fermée, le niveau est à la même hauteur dans les deux réservoirs; mais, quand on Touvre pour faire marcher la roue, les perles de force vive, que nous avons appris à calculer (30), occasionnent une dénivellation, qui équivaut à une diminution réelle de la chute totale et dont il importe de tenir compte.
Admettant, pour la simplicilé des formules et ainsi que cela a effectivement lieu dans la plupart des cas, que les oriflces d'entrée et de sortie de la conduite soient égaux entre eux et à la section constante û de cette conduite, appelons
U la vitesse moyenne dans la conduite;
m le coefficient de contraction de la dépense à son origine;
m! celui qui répond à l'orifice de sortie mn, du cabinet d'eau;
A l'aire de la section transversale de ce cabinet;
0) et (^ l'aire et la vitesse moyenne de sortie du fluide par l'orifice mn ;
H la hauteur du niveau du réservoir principal au-dessus du centre de cet orifice;
h la hauteur du niveau du cabinet d'eau au-dessus du même point.
APPLIQUÉE AUX MACHINES. Ql
xsy L, a et ^ ayant la même signification qu'aux n""' 30 et suivants, on aura évidemment
-^^"'(i-)'^^K-xy-^^»-^(«"-^^^^")'
en considérant à part ce qui se passe dans le cabinet d'eau, on aura, en appelant on Taire de l'orifice tnriy
et en éliminant v entre ces deux équations, on en tirera une relation entre la différence H -— /i des niveaux des réservoirs et la vitesse moyenne U dans la conduite, qui d'ailleurs peut être déduite du volume de fluide écoulé par mn.
Dans la plupart des cas de la pratique, O et &) sont assez pe*
tits, par rapport à A, pour que l'on puisse négliger — ei-r- m''
vis-à-vis de l'unité; les deux équations ci-dessus se réduisent ainsi aux suivantes :
et
d'oii Ton tire cette troisième
à laquelle on doit ajouter celle-ci :
qui exprime que la dépense par l'orifice mn est la même que celle qui se fait par chacune des sections du tuyau.
Éliminant U et i' entre ces diverses équations, on obtiendra la valeur de A en H; mais, afln de simplifler les calculs, on pourra sans inconvénient supposer ici a = o; en prenant
pour (3 la valeur p = o,oo35 {^k)^ on obtiendra réqualion
qui servira à calculer la perte de chute H — A en fonction de H.
76. Observations relatives à l'application de ces formules à la pratique. — On remarquera que, dans cette application de rhypothèse du parallélisme des tranches et du principe des forces vives, on admet nécessairement que les dimensions du cabinet d'eau sont assez grandes pour que, après les tourbillonnements qui ont lieu au débouché de la conduite, le parallélisme se rétablisse en avant de l'orifice mn; ce qui exige que le cabinet ait au moins en largeur, dans le sens du mouvement, deux ou trois fois le diamètre de la conduite.
L'expression ci-dessus met à même d'apprécier les inconvénients des cabinets d'eau et montre l'influence des dimensions de la conduite, que l'on doit faire aussi courte et aussi large que possible.
Nous ajouterons que, plusieurs élèves ayant observé avec soin la différence de niveau H — A, et ayant ensuite recherché sa valeur parla formule ci-dessus, ils ont constamment obtenu du calcul le même résultat que de l'observation ; ce qui montre la confiance que doivent inspirer les formules ci-dessus dans les applications à la pratique.
77. Perte de force vive occasionnée parles coudes ou changements brusques de direction des conduites ou canaux, — Dans l'établissement des équations relatives aux tuyaux de conduite ou aux canaux, nous avons supposé jusqu'ici qu'ils ne présentaient pas de coudes ou changements brusques de direction capables de reproduire une altération sensible de la vitesse. Lorsqu'il en existe, on peut tenir compte de la perle de force vive qui en résulte par la formule suivante, déduite par M. Navier du résultat des expériences de Dubuat.
En appelant
c la longueur développée du coude;
r son rayon de courbure;
Ula vitesse moyenne dans la section supposée constante,
APPLIQUÉE AUX UACniNES. 93
la perle de force vive due à chaque coude peut être représentée par
rfM.U'(o,oo39 -+-o,oi86r) — ?
et Ton devra, dans lesapplicaiions» l'ajouter aux autres pertes de force vive, autant de fois qu'il y aura de coudes dans retendue du canal ou de la conduite que l'on considère.
78. Cas où la vanne est précédée d'un canal découvert qui communique librement avec le réservoir, — Une disposition qui a' quelque analogie avec la précédente et qui occasionne aussi une perle de chute est celle d'un canal découvert ou coursier étroit (Jig. 3o), employé pour mettre le réservoir en
Fig. 3o.
communication avec l'orifice. Lorsque le régime s'est établi dans ce canal, dont la pente et le profil sont censés constants, la surface supérieure AC des eaux y prend une légère pente, qui est employée à vaincre la résistance de ses parois; de plus» il se forme à son entrée ou à la prise AB un ressaut ou une chute, qui est nécessaire pour imprimer au fluide la vitesse de régime qu'il prend dans le canal et dont la variation, pour les différentes sections, est ici supposée très-faible, de sorte qu'elle peut être remplacée par sa valeur moyenne aussi
bien que Taire variable de ces sections. On pourra donc assimiler ce cas au précédent, en considérant le canal comme une sorte de tuyau dans lequel la surface de l'eau n'éprouve aucun frottement et se trouve simplement soumise à la pression atmosphérique ordinaire. Conservant d'ailleurs les notations précédentes, on aura
et
équations dans lesquelles on devra supposer à m' la valeur qui convient au cas où la contraction est nulle sur le sommet de l'orifice d'entrée AB du canal.
Quani à la chute qui se forme un peu au delà de cet orifice ou en aval de la prise d'eau, on pourra la calculer directement, d'après ce qui a éié dit au n** 62. Supposant, en effet [Jig. 3o), la surface supérieure des eaux dans le canal prolongée jusqu'en H, et nommant H' la hauteur de ce point audessus du centre de l'orifice mn^ on aura, d'après Dubuat (62), pour le cas où le fond du canal forme la continuation de celui du réservoir,
U = o,9V^^;^^^H^, d'où H-H'=i,23 —
Ces valeurs diffèrent, d'ailleurs, très-peu de celles qu'on obtiendrait de l'équation
dans laquelle on supposerait m' = 0,67, et qui se conclut de l'équation du n" 32, en y substituant w = £2.
De plus, la pente H' — h qui se fait à la surface des eaux du canal étant ici censée employée uniquement à vaincre la résistance de ses parois, on a aussi
APPLIQUÉE AUX MACHINES. gS
Cette nouvelle équation, étani combinée avec la précédente, redonne celle que nous avons posée en premier lieu, en observant que v' y est égal à U'-h ^gh^ de sorle qu'on peut lui donner celle forme
sous laquelle elle ne diffère en rien de l'équation qui a été obtenue dans le n° 75, pour le cas des cabinets d'eau avec tuyau de conduite.
Ce résultat, auquel on devait bien s'allendre, prouve d'ailleurs que, à circonstances semblables, il -est à peu près indifférent d'adopter l'une ou l'autre disposition, en dérivant ainsi l'eau par le fond ou par la surface, et la même conséquence aurait lieu encore pour le cas où l'orifîce m se trouverait précédé d'un petit réservoir ou cabinet d'eau, dans lequel déboucherait une conduite découverte; car on arriverait aux mêmes formules que pour celui où elle est entièrement fermée.
IH. — Additions relatives au régime variable des eaux
