II

l3o. COUnS DE MfiCÂNlQUB

teur totale de la chute depuis le niveau du réservoir jusqu'au point où elle atteint la machine, à la résistance et aux pertes de force vive de toute espèce qu'elle a éprouvées depuis sa sortie du réservoir; ces pertes, qui équivalent à une véritable diminution de la chute, pouvant être évaluées approximativement, d'après ce qui a été exposé dans les n*»»73 et suivants de la première Section, nous ne nous en occuperons plus, et nous considérerons simplement la hauteur de chute h due à V, et qui reste réellement disponible au point où l'eau atteint la machine. Cela posé, si ce point possède une vitesse v qui diffère de V, soit en intensité, soit en direction, il y aura, dans presque tous les cas, décomposition de la vitesse V, et, par suite, perte de force vive. Si Ton nomme M la masse de fluide qui afflue uniformément sur la machine dans l'unité de temps, cette perte pourra être représentée par une expression de la forme

si l'on considère le mouvement pendant l'unité de temps, ou

par

rfMw»

s'il ne s'agit que de l'élément du temps dt\ u étant une vitesse fonction de V et de v, ainsi que de la masse et de la forme de la machine.

3. Perte de force vive à la sortie, travail dû à la pesanteur. — Après le choc il pourra arriver, ou que l'eau quitte entièrement la machine, ou qu'elle y demeure fixée pendant un certain temps, soit qu'elle en prenne et conserve la propre ^vitesse c, soit qu'elle se meuve sur ses parties mobiles, en glissant dans des canaux, etc. Dans le premier cas, elle aura exercé toute son action sur la machine pendant la durée même du choc; dans le deuxième et le troisième, elle continuera à agir par son inertie et son poids. Généralement elle quittera la machine avec une vitesse absolue tv, et la gravité aura développé sur elle, dans sa descente sur la machine, depuis le point d'entrée A jusqu'au point de sortie B, ou plus exactement, jusqu*au niveau du bief inférieur, par lequel elle s'é-

APPLIQUÉS AUX MACHINES. l3l

chappe de l'usine, une certaine quantité d'action, qu'il sera facile d'apprécier quand on connaîtra la hauteur partielle h' dont elle sera descendue à compter du point d'entrée A.

Fjç. 36.

k. Perte de travail dont on peut négliger V influence dans les cas ordinaires. — Il se pourra encore que l'eau éprouve de nouveaux chocs dans l'intérieur des canaux de circulation de la machine, lesquels produiraient un surcroît de perte de force vive; enfin, si la vitesse le long des parois de ces canaux €st très-grande, elle éprouvera, de la part de ces parois, une résistance dont il sera, dans certains cas, nécessaire de tenir compte, mais qui, généralement, sera tout à fait négligeable. Si d'ailleurs on voulait tout calculer avec rigueur, il faudrait encore avoir égard à la perte de force vive occasionnée par la résistance que la machine éprouve à se mouvoir dans l'air atmosphérique; mais, vu le peu de densité de cet air et la faible vitesse du mouvement ordinaire des machines , il arrive

l3:i COURS DB MfiCÂNlQUB

presque toujours qu'on peut négliger l'influence de cette résistance.

5. Le mouvement des récepteurs n*est considéré qu'à partir de l'instant où il est devenu permanent, sinon uniforme, et où Von peut négliger l'inertie de ses parties, — Maintenant il est essentiel de remarquer que, lorsqu'on vient à ouvrir la pale ou vanne qui donne accès à l'eau sur la machine, censée en repos, celle-ci ne peut prendre instantanément la vitesse propre au travail; cette vitesse augmente donc progressivement, à partir de zéro, de la manière qui a déjà été expliquée en général dans la première Section de la première Partie. Au boutd*un certain nombre de périodes de révolutions ou d'oscillations, le mouvement atteint sensiblement sa limite, il se régularise et reste uniforme ou du moins permanent; avant cette époque, tout calcul est en quelque sorte impossible, et c'est toujours à cet état régulier du mouvement qu'il faudra appliquer ce que nous allons dire dans ce qui suit.

Or, la vitesse des pièces de la machine redevenant la même à la fin de chaque oscillation, on peut, lorsqu'il ne se produit pas d'intermittences brusques dans leur mouvement, négliger l'influence de Tinertie de ces pièces, c'est-à-dire supposer que leur force vive reste constante à tous les instants du mouvement, ou que son accroissement est nul entre deux instants suffisamment éloignés.

6. La résistance peut être censée remplacée par un poids quil s'agirait d'élever au moyen du récepteur, — D'un autre côté, on peut toujours assimiler l'effet utile de la machine à celui qui consisterait à élever un poids à une certaine hauteur, pendant qu'il se consomme la masse d'eau JM ou H, et rien n'empêche de remplacer ce poids par un certain effort P, qui agirait dans la direction de la vitesse v du point d'action ou d'entrée de l'eau sur la machine; de sorte que la quantité d'action développée par cet effort P, en sens contraire du mouvement, sera mesurée par

Pv^«", dans Tunité de temps, si la vitesse v et la pression peuvent

APPLIQUÉS AUX MAGHIN18. l33

être regardées comme sensiblement constantes, ou par

dans l'élément du temps, quand elles sont variables.

7. Équation des forces vives^ son énoncé pour le oas actuel. — Observant donc que Ton peut ici appliquer les mêmes considérations qui ont été employées pour découvrir les lois du mouvement permanent d'une masse liquide, attendu que le fluide moteur se meut sensiblement par tranches planes et parallèles avant son entrée dans la roue et après sa sortie dans le canal de fuite ou de décharge, nous aurons, en vertu du principe des forces vives et dans chaque élément du temps, depuis A jusqu'en B {Jig, 36),

dM{w' - V) := sg'rfM/i'— 2?*^ dt — rfMtt',

en faisant abstraction des résistances passives éprouvées par le fluide dans l'intérieur de la machine.

Si la vitesse v d'entrée, et par conséquent la vitesse w de sortie de l'eau, sont simplement constantes, on pourra considérer le mouvement pendant un intervalle quelconque de temps, par exemple, pendant une seconde, prise pour unité, et réquation deviendra alors

d'où

et, par conséquent, à cause de ¥'= ighf

Pc = M^( A 4- /i' ) - - (w'-f- u%

équation dans laquelle iig est le poids d'eau écoulée dans une seconde; Mg(h-^h') la quantité d'action imprimée à cette eau par la gravité, dans sa descente de la hauteur h ■+- A', qui constitue réellement la chute disponible; tiw* la force vive conservée par le fluide à sa sortie de la machine ; MiiMa force vive qu'il perd par le choc à son entrée, et Pc l'effet

x34 COURS DE HÊGAIflQUB

Utile ou la quantité de travail transmise. Cette équation signifie donc que l'effet utile est égal à la quantité d'action totale due à la chute disponible^ diminuée de la moitié de la force vive conservée par l'eau quand elle quitte la machine^ et de la moitié de celle qu'elle perd en y entrant y par suite du choc^

8. Condition du maximum absolu d'effet utile. — Il résulte de là, par conséquent, que, pour que la machine transmette le maximum absolu d'effet utile ou de travail, on devra avoir

Pi'r^M^tA + A')^''" ou iv'-f-ii'=o;

d'où

(v=:o et M = o séparément;

c'est-à-dire que l'eau doit arriver sans choc sur la machine et en sortir sans vitesse; que d'ailleurs, pour le plus grand effet, il faut encore que Teau quitte la roue par le point le plus bas ou au niveau du bief inférieur et qu'elle ne perde pas une portion de sa force vive dans le canal d'arrivée, et enfin que la somme h + A' diffère le moins qu'il est possible de la chute totale disponible H. Les deux conditions ci-dessus ne peuvent souvent pas être remplies, quelquefois même elles s'excluent réciproquement ou sont incompatibles; dans ces circonstances, on est obligé de se contenter de faire remplir à la machine les conditions qui conviennent au maximum d'effet relatif conditions qu'on obtient par les méthodes connues^ c'est-à-dire en rendant nul le coefficient différentiel de l'effet utile Pt^, par rapport aux quantités variables dont il est permis de disposer lors de l'établissement de la machine; nous en verrons incessamment des exemples. Revenons aux conditions du maximum absolu.

9. Avantages de l'uniformité de mouvement, — On voit d'abord, par cette discussion générale, combien il est avanta* geux de disposer les moteurs hydrauliques de façon que la vitesse de leurs parties puisse devenir uniforme; car, si c^ et iv sont continuellement variables par la constitution de la machine, il sera évidemment impossible d'éviter les pertes de force vive; or ce but est parfaitement rempli par les roues

APPLIQUtB AUX MACHINES. l35

hydrauliques è mouvement de rotalion continu» et, par conséquenty leur supériorité sur les balanciers hydrauliques et autres machines à mouvement alternatif se trouve à l'avance démontrée, pour tous les cas où la machine doit posséder une certaine vitesse. Mais, si la vitesse est indifférente, on arrivera encore à des résultats très-approchés du maximum d'effet absolu, en diminuant les vitesses Y, v et w simultanément, puisque la réaction deviendra sensiblement nulle. Cette diminution de toutes les vitesses est donc la condition générale de l'établissement des moteurs à mouvement alternatif.

10. Expression de la perte de force vive qui se fait à l'instant où le fluide atteint le récepteur. — Examinons en particulier ta condition de

et pour cela supposons qu'en arrivant sur la machine l'eau vienne rencontrer une planchette ou face plane AB {Jig. 37) ,

Fîg. 37.

qui se meut avec la vitesse i^ dans la direction Cc^, formant avec celle de la palette l'angle BC('= (3; que pareillement le fluide arrive, par ûlets parallèles, avec la vitesse V et sous une di-

l36 tiOORS DB MÉGÀICIQDB

rection CD ou CV, formant avec AB l'angle BO) ou ACV = ou On peut concevoir les vitesses v ei\ décomposées chacune en deux autres, dont l'une suivant AB et l'autre suivant la perpendiculaire à AB; on aura respectivement pour les composantes parallèles à AB

i'cosp et Vcosa,

et pour les composantes perpendiculaires à AB

(/sinjJ et Vsina;

cela posé, il y aura évidemment choc, ou réaction du fluide contre la palette, si i^sin^ diffère de Vsina, c'est-à-dire que le fluide choquera la palette si Ton a

Vsina>csinp,

et qu'au contraire il en sera choqué si

Vsina<csin(3,

la palette marchant alors à la rencontre du filet. Supposons que la palettte ait une étendue telle que les filets fluides en sortent parallèlement à sa direction, ce qui revient à admettre que les molécules dont ils se composent aient perdu en totalité l'excès de leur vitesse sur celle de la palette, dans le sens perpendiculaire à son plan; chaque masse élémentaire dM de la veine aura aussi perdu, pendant tout le temps de la réaction, une quantité de mouvement mesurée par

rfM(Vsina — t'sinp),

et qui en suppose une autre, égale et de signe contraire» gagnée par la masse de la palette et du système dont elle fait partie, en vertu du principe de l'action et de la réaction.

Or, si l'on suppose que dM représente précisément la masse de liquide qui atteint ou quitte la palette dans chaque élément dt du temps, il paraîtra évident, d'après un raisonnement souvent employé {voir notamment le n**6. Section I), et qui ne suppose pas nécessairement la décomposition par tranches planes et parallèles; il paraîtra, dis^je, évident» que Texpression ci-dessus indique aussi la valeur de la quantité

ÂPPUQUftB AUX MA0HINI8. l3']

de mouvement perdue pendant Tinstant dt par toute la masse de liquide en contact avec la palette. D'après cela, et sans qu'il soit nécessaire d'aller plus loin, il est bien clair que la perte de force vive correspondante, t^nt du liquide que de la palette, sera mesurée par cette autre expression

rfM(Vsina — vsinP)» (»).

Car ici, d'une part, le liquide et la palette ont acquis à la an de l'élément dt du temps la même vitesse normale dans le sens perpendiculaire, ou, si l'on veut, ils cheminent d'un mouvement commun dans cette direction; d'une autre, la masse

( ' ) Pour démontrer cette conséquence a priori dans le cas qui nous occupe, nous nommerons P la somme des pressions perpendiculaires souffertes par le plan AB, abstraction faite d'ailleurs de l'action de la grarité sur le fluide et des résistances qu'il éprouve dans le sens et de la part de ce plan ; nous désignerons pareillement par Q. l'aire des sections uniformes et transTersales de la veine, avant l'instant où elle a atteint la palette, Il la densité du liquide, ^ = 9"^, 8088 la gravité ; nous nommerons pareillement, pour un instant quelconque, d> = vdt la vitesse virtuelle du point d'application de la force P sur la palette AB, dm un élément de masse quelconque du système solide, dont cette dernière fait partie, Kds la. vitesse virtuelle, K étant un rapport invariable pour une même masse, mais qui est susceptible de varier d'un élément à l'autre ; la vitesse de dm à l'instant considéré sera ainsi représentée par Kc, sa force motrice ou

dv plutôt la résistance qu'il oppose à l'action de P le sera par dWiK --r « et le moment virtuel de cette force par

Kdm ^ Kds = K*dm ^ ds, de dt

dont la valeur, prise pour l'étendue entière du corps, pourra être représentée par l'intégrale

M, étant en quelque sorte la masse de ce corps rapportée au point d'action du

fluide.

Mais il doit y avoir à chaque instant équilibre entre les différentes forces

dv motrices ou d'inertie dmK-^eX la pression P, dont le moment virtuel est

Pdssin p; donc on aura aussi À chaque instant

VdssiBê = fH.-^ds ou Piir = -r-^: </♦', ^ ^dt sin fi

expression qui représente évidemment la qmintité totale de moavement gagnée

l38 COURS DB MÉCàNIQUB

agissante du premier est en quelque sorte infiniment petite, par rapport à celle de la seconde censée réunie avec le sy»« tème solide dont elle fait partie.

11. Expression de la perte de force vive par seconde» — Si Ton suppose, d'ailleurs, que les chocs partiels se renouvellent continuellement et avec la même intensité dans chaque élément du temps, soit sur la même palette, soit sur d'autres semblables, la perte de force au bout d'une seconde sera mesurée par

/rfM(Vsînûe — i'sinp)' = M(Vsina— csinp)».

Dans le cas ou a, (3 et V varieraient, mais de très-peu, pendant que la palette AB est en prise, on pourra prendre la perte de force vive par rapport à leurs valeurs moyennes, pendant

par le système de la palette, pondant Télément de du temps, et comme, d'après le principe de Tactlon égale et contraire à la réaction, cette quantité doit être précisément égale à celle qui a été détruite dans le même temps par la masse agissante du liquide, on aura

Prff = -?^ cfi' = </M (Vsina — fsinfl), 8in/3 ^ ^*

qui fera connaître la pression P à chaque instant du choc, quand on pourra apprécier la masse élémentaire de fluide qui Tient, dans chaque élément da temps, rencontrer la palette.

Pour trouver la perte de force vive subie pendant le choc ou la réaction réeiproquc de la masse dM du liquide et de celle de la palette, on remarquera qu'avant l'instant de la force vive était, pour la première masse,

dM\^ cos' a -+- dM\* sin* a, et pour la seconde

qu'après, ou lorsque les deux corps ont acquis, suivant la normale, la Tit«sse commune {v'^dv)iinfi, elle est, pour la masse dM,

</MV«cos»a-+-<m(i'-H</«')' sin*^ = <fMV« cos* oe -+- dMv^Bin* fi,

en observant que la vitesse V cos a, dans le sens de la palette, n'a par hypothèse subi aucune altération, et pour la masse M,

Retranchant la somme des forces vives après le choc de celle qui avait liea aa-

ÀPPLIQOiB AUX MACflINBS. iSg

le choc; si elles variaient beaucoup» il faudrait intégrer en conséquence, a, (3 et V devenant fonctions du temps , de même que cfM qui peut toujours s'exprimer par une fonction

de la forme — AY dt, U étant la densité du fluide ; mais, dans la

g pratique, cela est rarement nécessaire.

12. Cas où la perte de force vive à l'entrée est nulle. — La perte de force vive sera nulle si l'on a

Vsina = i'sinp;

c'est-à-dire qu'il n'y aura pas de réaction entre la palette et le fluide, si, décomposant V en deux, de façon que l'une des

parsTant, il viendra pour la perte cherchée, en négligeant les infiniment petits du second ordre par rapport à ceux du premier,

JMV sin' a — dMv* sin* fi — aM, vdf;

mais nous avons trouvé ci-dessus

M^dvz=dM(y BÏn a — V sin /3) sin ^,

ce qui donne finalement, pour la perte de force vive cherchée, l'expression

«/M(Vsin« — i'sin^)',

comme il s'agissait de le démontrer. «

On peut facilement, d'après ce qui précède, déterminer la valeur de la pression P exercée par le fluide sur la palette dans le sens perpendiculaire. En effet, dans le cas où une seule palette reçoit l'action du liquide, elle fuit devant lui, avec une vitesse i'COs(a + /3) mesurée dans le sens de V; et, par conséquent, la masse dtd, qui, dans chaque élément du temps, atteint la palette, a pour expression

</lVI = û- [V-+-»'COs(a-+-/3)]</f,

d'où l'on conclut

P= - Û[V -*- fcosCa -+- /3)1 (Vsin a— l'sin j3), o

relation qui, dans le cas où les angles sont égaux et a = 90®, donne

et, pour v = o, donne

P = anû— ;

mais, dans les roues hydrauliques, chaque palette étant incessamment remplacée

l4o COORS DB MiCÀlflQOB

composantes soit égale à v, l'autre composante se trouve naturellement dirigée suivant la palette; ou si, en formant le parallélogramme sur v et le prolongement de V, le côté vV est parallèle à AB; car alors il est clair, d'après l'inspection de \9ijig. 37, que les composantes de v et de V, perpendiculaires au plan AB, seront égales.

La condition Vsina^i^sin^ sera remplie en particulier quand Vsera égal à i^ et qu'on aura en outre sina =:sinPy ce qui correspond à a =: ^ ou k oc = 180"— (î. Dans le premier cas, V et i' forment des angles égaux de part et d'autre de AB; dans le second, v se confond en grandeur et en direction avec V, et alors la palette et le fluide sont animés d'un mouvement de transport commun.

Enfin, si l'on avait séparément sin a = etsin(} = o, la condition serait encore satisfaite; ce cas est celui où le fluide arrive sur la palette dans la direction de son prolongement et

au même lieu par une autre, tout le fluide vient successivement les rencontrer, et la masse élémentaire JM, qui perd dans chaque élément du temps la vitesse V sin a — y sin /3, a pour expression

ce qui donne, pour la pression P, la valeur

P = n ûVfVsin a — vsinâ), g

relaUon qui, pour 0e = /8 = 90**, donne

P = nûV(V-V), h'

et pour I' =

p = -ûv* = 2nû- .

Cette dernière formule, déjà trouvée ci-dessus pour le cas d'une palette isolée, est vérifiée par les expériences directes de Bossut et de Dubuat, pour lecas où le plan immobile offre une étendue telle que le fluide perde toute sa viteaae normale relative ; Texpérience apprend d'ailleurs que, lorsque l'aire de la palette diffère très-peu de celle de la veine, la valeur de la pression se réduit à la moitié de celle que donne la formule ci -dessus.

On pourra consulter sur ces différentes questions les n°^ 47, 104, etc., de rOttvra^ de M. Coriolis sur le Calcul de l'effet des machines.

APPUQUÉI ^UX MACHIlfBS. l4l

OÙ elle est animée d'une vitesse dirigée dans le même sens; il se présentera dans les roues à aubes courbes.

13. Perte de force vive quand la palette marche à la rencontre du fluide. — Si la palette se mouvait à la rencontre du fluide, il faudrait changer le signe de v dans l'expression de la perte de force vive, qui deviendrait

M(Vsina-f-c'sin(3)'

pour l'unité de temps et ne peut être nulle que par V = o et i; = o ou par sina = o et sinp = o.

14. Vitesse relative avec laquelle le fluide coule sur la pon lette. — Quant à la vitesse relative sur la palette, elle est Vcosa4- vcosp ou Vcosa — i'cosp, selon le sens de v, et c'est en vertu de cette vitesse initiale relative que le fluide coule sur la palette après le choc.

Lorsque Ton a sin a = o et sin ^ = o, on a vu ( 12 ) que la force vive détruite j)ar le choc est nulle. Dans ce cas, relatif aux roues à aubes courbes, si V et c' sont dirigées dans le même sens, on a cosa = i et cos^ = i, et par suite la vitesse initiale relative est

15. Réflexions relatives à l* influence des dimensions res^ pectives de la veine et de la palette. — Il faut bien se rappeler (10 et note) que ce qui précède suppose que la palette est entièrement libre ou isolée, ou plutôt que le fluide peut s'échapper librement à son pourtour; que de plus celui-ci a perdu tout l'excès de sa vitesse normale ; ce qui exige que cette palette ait une étendue convenable. Il faut aussi considérer que, si cette palette a une surface très-peu différente de la section transversale de la veine affluente, celle-ci conservant encore une portion de sa vitesse normale, la perte de force vive est moindre ainsi que la pression exercée perpendiculairement à cette palette et que par conséquent la force vive que le liquide conserve en quittant sa surface est plus grande.

16. Cas où la palette est contenue dans un coursier, qui forme une espèce de canal. — Si la palette est limitée de part

14^ COURS DE MÉGANIQUB

et d'autre par des faces latérales, ou renfermée dans un canal» de manière que le fluide ne puisse pas s'échapper latéralemem et soit obligé de couler le long de cette palette» il perd alors réellement presque toute sa vitesse normale relative

Vsîna — i^sin^y

et la perte de force vive, dans l'unité de temps, est, comme nous l'avons trouvé (11),

M(Vsina — t'sinP)»

M étant toujours la masse de fluide écoulé dans l'unité de temps, et les palettes se succédant les unes aux autres au même lieu sans discontinuité.

17. Cas où \ et V sont parallèles. — Si, en particulier, la palette se mouvant dans un coursier avec un petit jeu et une vitesse v dirigée dans le même sens que la vitesse avec laquelle le fluide afflue, il arrive qu'en avant et eix arrière de la palette l'eau ne se meuve plus qu*avec la vitesse v, et que le liquide ne choque plus réellement cette palette, mais la masse ou le remou qui est en avant, il perd toute la vitesse relative

et par suite la force vive

comme on l'a vu pour le mouvement de l'eau dans les canaux ou tuyaux de conduite. On remarquera que ceci est, jusqu'à un certain point, indépendant de l'inclinaison de la palette AB,

pourvu, toutefois, que le fluide ne puisse pas la déborder ni s'y élever sensiblement au-dessus de la section d'eau en aval.

APPLIQUÉE AUX MACHINES. l43

Ce cas est celui des roues à palettes planes, dont nous nous occuperons plus loin.

18. Cas oà le fluide rencontre successivement les différentes parois d'un vase. — Si, après avoir choqué la palette AB, le fluide en rencontre une autre BC (fig. Sg) ou une masse de

Fig. 39.

liquide déjà arrivée sur la machine, et qu'il se trouve ensuite contenu dans une espèce de vase ou d*auget, il se produira une nouvelle perte de force vive ; après quelques tourbillonnements, tout mouvement relatif sera éteint et le fluide ne conservera que la vitesse propre de Tauget. Dans ce cas, V et V étant toujours la vitesse du fliet à son entrée et celle de Tauget, en appelant y l'angle qu'elles font entre elles, la vitesse relative ou perdue sera

nin = u = ^V'-H v' — aVvcosy;

et la perte de force vive dans l'unité de temps aura pour ex^pression

M(V* -f- i*'— aVv cosy);

l44 GOOBS DB MÉGàNIQDI

quantité qui ne sera nulle en général que si Ton a

y = o ei V=:i';

c'est-à-dire que les vitesses devront être égales en direction et en intensité.

19. Discussion de la condition relative à la vitesse de sortie du fluide, — Examinons maintenant si l'on peut satisfaire i la deuxième condition du maximum d'effet, c'est-à-dire faire en sorte que la vitesse de sortie du fluide soit nulle» ou

D'après ce que nous avons vu ( 16), le fluide, après le choc, coulera sur la palette avec une vitesse initiale relative

Vcosa±:i'COs(3,

selon les cas ; ensuite, les forces accélératrices ou retardatrices agissant sur lui, il quittera la palette avec une autre vitesse relative, dont la direction sera le prolongement du dernier élément de la palette et que nous appellerons u' [fig. 4o).

V* étant la vitesse de la palette au point A de sortie ; f l'angle compris entre uf et le prolongement de la direction de «/; la vitesse absolue de sortie sera

W = ^U'^-J- (/' — 2 l«V COS9,

ÀPPUQUÊB AUX MÀCHIMES. - l45

laquelle ne sera généralement nulle que si Ton a simultanément

tt' = i»' et 9 == o.

Cette condition exprime que la vitesse relative du fluide, à sa sortie» doit être égale à la vitesse de translation de la palette et dirigée en sens contraire. Or il est impossible d'y satisfaire . tout à fait, attendu la difflculté qu'éprouverait l'eau à s'échapper ou à dégorger du récepteur ; l'angle 9 notamment ne paraît pas devoir être pris beaucoup au-dessous de 3o degrés; d'ailleurs il existe une relation nécessaire entre v>' et V, par suite de celle qui se trouve établie entre V et c^ et de la liaison des pièces de la machine; on voit donc qu'en général il ne sera pas possible d'avoir à la fois

M = o et iv = o,

et qu'on sera réduit à chercher un maximum relatif de la quantité Pi', ou un minimum relatif du terme

d'après les données de la question dont on pourra disposer, telles, par exemple, que la vitesse du récepteur ou celle V d'arrivée du liquide. C'est ce maximum que nous allons actuellement nous occuper de rechercher pour les différents récepteurs le plus en usage dans les usines.

Roues verticales à palettes planes.

20. Description sommaire. — Ces roues, malgré leurs défauts très-graves, sont encore le plus généralement employées dans ies usines, par suite de la simplicité de leur construction et de l'empire de la routine. Elles consistent ordinairement ijig' 4^) 6A deux ou plusieurs jantes circulaires en bois, soutenues par quatre, six ou huit bras assemblés sur l'arbre qu'ils traversent ou embrassent extérieurement. Des aubes ou palettes planes, ordinairement en bois, sont placées à la circonférence extérieure des jantes, et fixées sur les prolongements II. 10

l46 COUIS DB MÉGÀlflQUI

des bras ou sur des bracons assemblés dans les jantes. On donne assez généralement à ces palettes o<^y3o à o"y4o de

Fie» 4 » •

largeur dans le sens du rayon, on les écarte de o"*y3o à o",4o i la circonférence extérieure, et leur longueur varie avec la force du cours d'eau, ou celle qu'on veut obtenir du moteur. Un coursier, ordinairement rectillgne, embotte inférieuremeot les aubes, auxquelles on ne doit laisser, de côté et en dessous, qu'un jeu de o^^yOi à o^'yoa, mais que les charpentiers mal»* droits portent quelquefois de o<",o5 à o">,o6 et plus. La pente de ce coursier varie de {- à yï.

L'épaisseur de la lame d'eau qui sort de la vanne, ou plutôt celle qui s'établirait dans le bas du coursier si la roue était enlevée, ne doit être que de -j à 7 de la hauteur des aubes, dans le sens du rayon, afin que le remous qui se produit en avant ne puisse pas dépasser le côté intérieur de ces aubes.

La vanne est ordinairement verticale et à une certaine distance de la roue; sa largueur est le plus souvent égale à celle du coursier et, d'après ce que nous avons vu (Sect. I, n** 58 et suiv.), il en résulte une perte de force vive que nous avoss appris à calculer, ainsi que la vitesse V avec laquelle Veau reaconire la première aube qu'elle choque.

APPUQVÉB AUX MACBIIVIS. 14?

21 . Équation particulière à des roues à palettes planes. — D'après cela, conserrant les notations précédenleSy par lesquelles nous ayons appelé

P Teffort moyen exercé par le fluide à la circonférence de la roue qui passe par le milieu de la partie plongée des aubes, ou la résistance utile à vaincre;

V la vitesse à cette circonférence moyenne ;

V celle d'arrivée de l'eau sur les aubes;

M la masse d'eau dépensée en une seconde.

Il est clair, d'après la description succincte que nous venons de donner, et d'après ce qui précède (n** 7 et sutv.)» que l'on aura

et, comme nous supposons que Teau arrive sur la roue dans sa partie inférieure, on a

L'éqaaiion générale do n* 7 de>ient donc dans ce cas, et en supposant que le mouvement de la roue ait atteint Tuniformilé,

ou, en réduisant,

22. Condition du maximum d'effet relatif. — La valeur de l'effet utile P^ étant nulle pour V =: «^ ou pour v=zo, il doit exister entre ces quantités une relation qui la rende un maximum. Ici V est donné par la hauteur de chute disponible; cette quantité est donc constante, et, si l'on différentie par rapport à i^, on trouve, pour le cas du maximum^

et par suite, pour la valeur maximum de l'effet utile.

Le produit M^A du poids de l'eau dépensée par la hauteur de chute disponible est ce que l'on appelle la quantité de tra-

l48 COURS DB MÉCANIQUE

vail OU l'effet disponible^ quantité qui n'est elle-même qu'une certaine fonction de celle qui est due à la chute entière, comprise depuis le niveau supérieur dans le réservoir jusqu'au point du coursier où Teau s'éctiappe de la roue, et qu'on nomme Veffet utile absolu du cours d'eau; on voit, d'après ce qui précède, que, même dans le cas du maximum, l'effet utile des roues à palettes n'est théoriquement que la moitié de celui qui est réellement disponible à l'instant où l'eau atteint la roue.

23. Résultais de l'expérience et formules pratiques, — Les expériences de Bossut et de Smeaton ont montré que, dans la pratique, le maximum d'effet correspond réellement à la vitesse de roue

et a pour valeur

0,3 iM g^/i,

de sorte que l'effet utile pratique se réduit aux 0,60 de l'effet théorique; le même rapport s'applique aussi aux cas où les vitesses (^ et V ne sont pas dans les proportions ci-dessus, pourvu que cette proportion ne ^'écarte pas trop de celle qui se rapporte au maximum d'effet. D'après cela, on aura, dans le

cas général,

Pc -- o,6oM( V — v)v^i'^,

et dans celui du maximum,

Pt; — o,3oMgA'^«'".

Nous appellerons désormais Q le volume d'eau dépensé par seconde, exprimé en mètres cubes, et nous aurons par conséquent

locoQ^^f— M g;

ce qui donne pour les formules pratiques ci-dessus, dans le cas général,

dans le cas du maximum

Pv = o,3oX loooQM^in^

APPLIQUÉS AUX MACHINES. 'l49

desquelles on tire respectivement, pour la valeur de Teffort exercé par l'eau à la circonférence moyenne des palettes et . dans le sens du courant moteur.

ou P-r

SooQh^^

24. Cas où le jeu des aubes dans le coursier est très-grand. — Lorsque, au lieu de remplir exactement le coursier ou de n'avoir qu'un faible jeu, les aubes sont beaucoup plus petites, une portion considérable du liquide passe au-dessous et à côté d'elles sans agir : l'effet utile se trouve diminué de beaucoup. Dans ce cas, pour pouvoir faire le calcul avec quelque exactitude, il ne faut introduire, dans les formules ci-dessus, que le poids de la quantité d'eau qui agit directement sur la roue. Pour cela, connaissant, d'après les règles que nousA^hms établies (Sect. I, n**"" 73 et suiv.), le volume d'eau Q dépensé

par l'orifice et la vitesse V d'arrivée sur la roue, le quotient ^

donnera approximativement l'aire de la section d'eau abcd {fis* 7 ) ^^^^ '® canal, et par suite la hauteur ah du niveau

moyen sous la roue, pendant le mouvement, hauteur que, dans la plupart des cas, on pourra même mesurer directement quand les aubes seront enlevées,' ce qui vaudra mieux. Con-

l5o COURS DE MÊGàKIQOB

naissant a6 et le jeu inférieur des aubes dans le coursier» on connaîtra l'aire dVc'd' soumise directement à Faction da courant. Nommant A' cette aire» A Taire abcd^ on aura

par suite, les formules théoriques du n*'23 deviendront, pour le cas général,

„ loooA'V ,. . ,^ ^ loooA'V,-- ..

Des expériences de M. Christian (*) montrent que, dans ce cas, la vitesse de la roue qui correspond au maximum d'effet est encore

et q«'«lors l'effet réel est de 0,75 environ de celui que doime là formule ci-dessus quand les ailes sont entièrement plongées dans l'eau du courant.

35. Perfectionnementi proposée par divers auteurs» — Ainsi, dans la pratique cl dans les circonstances les plus favorables, ces roues transmettent moins que le tiers du travail absolu du moteur, et, dans les constructions ordinaires, l'effet utile est encore beaucoup plus faible et ne s'élève guère qu'aux 0,20 ou 0,25 de cette quantité.

Plusieurs auteurs ont cherché les moyens ^'augmenter l'effet utile des roues à palettes. Dcparcieux et Bossut, en inclinant les aubes vers l'amont d'un angle de 25 degrés sur le prolongement des rayons, ont obtenu une légère augmentation d'effet pour les roues emboîtées dans un coursier incliné à l'horizon ('). D'un autre côté, Fabre (•) a prescrit de pratiquer un seuil et un réiargissement au coursier sous Taxe de la roue, afin de faciliter le dégorgement de l'eau. On a aussi proposé de donner aux joues du pertuis la forme de la veine

(') Mécanique industrielle, t. I, p. 329.

(') Traité d'Hydrodynamique^ t. II, n** 812 etsutTants.

(') Estai tfw la eomstruction des machines hjrdraaliques

àPPUQUÉB aux IIA.CH11IES. l5l

fluide ei d'incliner la vanne le plus possible sous la roue, ce qui a pour effet, comme nous l'avons vu (Sect. I, n° 64), de diminuer la contraction et la perte de force vive dans le coursier, ainsi que l'effet de la résistance des parois. Enfin, d'après Morosi, on a ajouté, sur les côtés verticaux des aubes, des rebords ou liteaux d'environ o",o5 à o",o8 de saillie.

Les deux premiers moyens sont d'un assez bon effet; quant aux rebords, des expériences spéciales, faites sur un moulin à pilon de la poudrerie de Metz par M. Poncelet, prouvent que l'augmentation qui en résulte peut s*élever du douzième au quinzième de l'effet utile, transmis dans le cas où les palettes sont sans rebords. Tous ces moyens de perfectionnement ne sauraient, néanmoins, élever le maximum d'effet utile au delà des 0,35 de l'effet absolv. Ils ne pevrent donc remédier au défaut qa'om les roues à palettes planes de ne transmettre qu'une faible portioo du travail moteur, par suite des pertes de force vive dues aux chocs et à la vitesse que conserve l'eau après avoir agi. Néanmoins ces roues ont quelques qualités importantes pour l'industrie, et la principale, c'est la faculté de pouvoir prendre une grande vitesse sans que l'effet utile s'écarte du maximum qui leur est propre, ce qui dispense, dans beaucoup de circonstances, d'employer des engrenages multipliés. Dans la vue de conserver aux roues verticales à aubes ce précieux avantage, tout en évitant les perles de force vive dont il vient d'être parlé, M. Poncelet a Imaginé les roues à aubes courbes, dont nous allons donner la théorie.

Roues verticales à aubes courbes.

26. Description wmmaire, — Ces roues, destinées à remplacer partout avec avantage les anciennes roues à ailettes, et dont un grand nombre existent déjà en France ei à l'étranger, doivent leurs qualités i la forme des aubes et è un ensemble de dispositions pour lesquelles on a mis à profit les résultats de la théorie et de l'expérience, et sur lesquelles nous entrerons d'abord dans quelques détails.

Le pertuis est disposé de la manière suivante {Jig. 43) : le fond du coursier et celui du réservoir sont a peu près dans le

GOttBS DE MECkniQDB

prolongement l'un de l'autre ou raccordés laDgentiellemeni; les côtés verticaux sont garnis de parties arrondies, d'après ce

qui a été prescrit (Secl. I, n" 6V), et destinées à annulerli contraction latérale; la vanne est inclinée sous la roue, ordinairement n I ou 3 de base sur t de hauteur. Il résulte delà que la contraction est beaucoup diminuée et que le coefficient de la dépense est 0,75 ou 0,80, selon l'inclinaison plus ou moins grande de la vanne (Secl. I, n° 6V).

De plus, le coursier ayant exactement la même largeur que l'orifice, la veine fluide conserve à peu près les mêmes dimensions qu'à sa sortie, et il ne se fait presque pas de perle de force vive.

La pente du coursier, depuis rorifice jusqu'au-dessous de la roue, est de 77 à -i^ , afin de conserver à l'eau toute ta vitesse qu'elle a en sortant de cet orifice, ce qui, au surplus, n'est point indispensable.

APPLIQUÉE ÂCZ MAGHIKBS. l53

Le fond du coursier est tangent à la circonférence extérieure de la roue, sauf un petit jeu indispensable. Sous la roue et à partir du rayon qui est perpendiculaire à cette partie rectiligne du coursier, les aubes se trouvent emboîtées dans une portion de cercle concentrique à la roue et dont le développement est égal à l'intervalle de deux aubes consécutives, augmenté de o^^^oS à o^'yoô, afin qu'il en embrasse au moins deux y et que Teau ne puisse pas s'échapper par le vide qu'elles laisseraient entre elles et le fond du coursier, dans certaines positions, si ce fond éuit tout à fait rectiligne (*).

Cet arc de cercle se termine par un ressaut brusque dont le sommet doit être au niveau des eaux moyennes dans le canal de fuite et qui a pour objet de faciliter le dégorgement de la roue. Dans le même but» on donne à ce canal de fuite toute la section, c'est-à-dire toute la largeur et la profondeur qu'il peut recevoir dans chaque localité immédiatement à partir du ressaut.

Les aubes sont assemblées et contenues entre deux couronnes annulaires montées sur un certain nombre de bras et destinées à empêcher l'eau de se répandre latéralement, au lieu d'agir sur ces aubes. La largeur de ces couronnes, dans le sens du rayon, doit être le quart au moins de la hauteur de chute, comme on le verra plus loin. L'écartement intérieur des couronnes est ordinairement de o"',o6 à o"',io plus grand que la largeur de l'orifice et du coursier, afin que l'eau entre facilement dans les aubes. Les joues verticales du coursier ont, au-dessous de la roue, une échancrure circulaire concentrique aux couronnes, pour qu'elles puissent librement tourner sans permettre à l'eau de s'échapper par les côtés de la roue, qui, d'ailleurs, doit être entièrement dégagée latéralement et extérieurement.

La courbure des aubes est indifférente, pourvu qu'elle soit continue et se raccorde à peu près tangentiellement avec la circonférence extérieure des couronnes et qu'elle se termine sur leur circonférence intérieure à peu près à angle droit. On

(*) Voir, à la fin de la Section III, une Note sur les modifications apportées ultérieurement, par Poncelet, à ce tracé. (K.)

l54 COVHS DB MfiCÀlllQUB

la fait ordinairement circulaire, et, pour en déterminer le centre, on élève au point b (fig^ 4^), où ta surface de la lame d'eau rencontre la circonférence extérieure de la roue, use perpendiculaire sur cette surface ab^ puis on prend le centre en o sur cette ligne, près de la circonférence intérieure de b couronne, en dedans de cette circonférence si la largeur des couronnes est grande, en dehors si elle est petite, afin de ne pas donner aux aubes un développement inutile «t que levr dernier élément soit à peu près dirigé dans le sens du rajov. D'après cette construction, on voit que les aubes ne sont pas tout à fait tangentes à la circonférence extérieure, ce qui rendrait la sortie de l'eau difGcile, et le tracé montre que rinclinaison des deux courbes ou de leurs tangentes sera d'environ 27 degrés pour des lames d'eau de o'",^ à o'^yS d'épaisseur.

Quant au nombre des aubes, il est ordinairement de 36 pour les roues de 3 à 4 mètres de diamètre et de 4^ V^^ celles de 6 à 7 mètres. On les Tait en tôle de fer de 4 à 6 millimètres d'épaisseur, ou en bois comme les douves d'un tonneau, et on les assemble dans les joues. Les bords des aubes en bois doivent être terminés par une feuille mince de t6le, pour éviter le choc de l'eau sur la tranche.

27. Équation particulière des roues à aubes courbée. — D'après cette description, il est facile de concevoir les modifications à faire à l'équation générale (7) des moteurs pour l'appliquer à cette roue. Soient V la vitesse moyenneavec laquelle la lame d'eau arrive à la circonférence extérieure de la roue et qui, d'après la description du pertuis et du coursier, sera sensiblement celle due à la charge d'eau sur le seuil ; v la vitesse à la circonférence extérieure de la roue. Il est d'abord clair que les vitesses V et (^ étant dirigées dans le même sens, à très-peu près, il n'y aura pas de choc à l'entrée du Ouide dans la roue et qu'on aura u = o.

De plus, h' est nul aussi, puisque l'eau arrive à la partie inférieure de la roue et à peu près au niveau du bief inférieur.

Quant à la vitesse relative d'introduction de l'eau dans les aubes, elle sera évidemment égale à V — c^; et c'est avec cette vitesse que le liquide s'élèvera le long des courbes. Son mou-

APPLIQUte AUX HAOUIIES. l55

veinent sera d'abojrd retardé par la gravité et par la force centrifuge; niais» sans discuter encore, comme nous le ferons plus loin, les effets simultanés de ces deux forces» on voit facilenent qu'après être parvenue au point le plus élevé de sa course l'eau se trouvera soumise» en redescendant, aux mêmes forces» qui, pour chaque position» lui restitueront précisément la même vitesse qu'dle avait en montant. L'eau sortira donc de l'aube avec une vitesse relative tangente à sa courbure en son extrémité» à peu près tangente aussi à la circonférence de la roue et égale à sa vitesse d'introduction V — i/; mais comme» en vertu du mouvement de translation qui lui est commun avec l'aube» elle est» en outre» animée de la vitesse V en sens contraire de V» il s'ensuit que sa vitesse absolue de sortie» que nous avons désignée par w^ sera

D'après cela, l'équation générale du n*" 7 devient, pour cette roue,

P(; = ^MV'--i-M(V— avf ou ^ v = ^VL{\ — v)v .

Cette relation nous montre que l'effet utile théorique de cette roue est double de celui des roues à aubes planes ordinaires.

28. Condition du maximum d'effet. — La condition du maximum d'effet étant (v = o» ce qui revient ici à

V— 2f = ou (/r=r-}V,

elle est la même que pour les roues à palettes ordinaires; mais l'effet utile maximum est encore double et a pour valeur

P4^=:iMV'=MÉrH,

en nommant H la charge d*eau sur le centre de l'orifice» c'està-dire qu'il est égal au plus grand de tous les efforts possibles et que» théoriquement» cette roue transmet en entier la quantité de travail que la gravité imprime à l'eau dans sa descenle.

l56 COUIS DB MÊGANIQUB

29. Dimensions à donner aux couronnes. Effets de la force centrifuge. — La hauteur à laquelle Teau peut s'élever en glissant sur les aubes détermine la largeur à donner aax cou*^ ronnes ; il est donc important d'étudier un peu son mouvement d'ascension le long des courbes, dont jusqu'ici nous n'avons dit qu'un mot en établissant la théorie de la roue.

A cet effet nous remarquerons que, attendu que le chemin décrit par chaque point de la roue est sensiblement rectiligne et horizontal pour le temps assez petit où l'eau reste en contact avec une même aube, on peut sans inconvénient faire abstraction du mouvement de transport général de celle-^i pour ne s'occuper que de celui de l'eau qui la parcourt, pourvu qu'on tienne compte des effets de la force centrifuge dus à la rotation de l'aube.

Considérons donc un élément dM de masse d'un filet fluide montant sur cette aube. Soient

G) la vitesse angulaire de la roue;

r la distance de l'élément dM au centre de la roue;

la vitesse de rotation de l'élément dM. sera

wr et la force centrifuge qui tendra à l'empêcher de monter sera

^r^aM.ùyr.

Si cette masse parcourt, dans l'élément du temps dt, l'espace dr dans le sens du rayon de la roue, la quantité de travail élémentaire que la force centriruge développera sur elle sera

En désignant par R et R' les rayons extérieur et intérieur de la couronne, la quantité de travail total développée sur cet élément par la force centrifuge, depuis l'entrée jusqu'à la distance R', sera

Quant à l'action de la gravité, comme l'eau s'introduit par le

bas de la roue, le chemin parcouru dans le sens de sa direction sera simplement égal à R — R', et le travail total de cette force dans ce mouvement sera

g-dM(R — R')»^«'".

Si, parvenue à cette hauteur, la masse élémentaire JH a perdu toute sa vitesse, la variation de sa force vive sera

rfM(V-(/)%

puisqu'à l'entrée elle était animée de la vitesse relative V — v. Négligeant, d'ailleurs, dans ce mouvement la résistance des parois, qui doit avoir assez peu d'influence, le principe des forces vives donnera

( * ) Pour opérer d'une manière entièrement rigoureuse, on remarquera que la force motrice ou d'inertie due au mouvement relatif tangentiel de la molécule eiM sur la courbe des aubes, force que nous représenterons par

de* de

s étant l'arc décrit par dM. sur cette courbe et ic sa vitesso relative au bout d'un certain temps, on remarquera, dis-jc, que cette force motrice est égale à la composante de la force centrifuge ùt^rdM suivant l'élément ds de la courbe, augmentée de celle du poids gdîA suivant cette même direction ; nommant donc ^ et 9 les angles variables formés, à l'instant que Ton considère, par la force centrifuge et la gravité avec l'élément dsy on aura pour le mouvement relatif sur la courbe et dans la supposition où celui de la roue est donné ou

obligé

d's . ^ dr

---j.= ftt'rcos^ -f-^cosp = û»»r ^ -h^cos ç»;

attendu que ds cos tp=idr et que les composantes normales des forces ne contribuent en rien au mouvement sur la courbe et sont censées détruites par la réaction de la roue ou négligeables vis-à-vis des forces motrices qui animent ses différentes molécules.

Multipliant cette équation par ds et intégrant depuis R jusqu'à R', ou depuis /< = V — V jusqu'à une valeur quelconque u = u' répondant à r = R', on aura l'équation

M- — tt = = ûa*(R'- — R'*)-i-a^ I cosp^f.

Pour intégrer le dernier terme du deuxième membre, il faudrait connaître a priori p en fonction de x ; ce qui n'est pas, puisque s est lui-même fonction

l6o COURS DE MÉCANIQUE

o,65 de l'effet théorique; on a donc, pour le cas général,

Pi/ rtz I,3oM(V - i'ii'rtr I,3o ^^^( V — V)V^5™

ety pour celui du maximum,

Pv .— o,65Mg^H = o,65.ioooQH»^Kn..

Pour des chutes de i"*,5o et au-dessous, avec des orifices de o",2oào»3o d'ouverture, l'effet utile pratique est 0,75 de Teffet théorique ; et la formule devient, pour le cas général,

?v = i,5oM( V - u)v =: i,5o 122^ (V - v)v^tm

et, pour celui du maximum.

Pi; = o, 75 Mg^H = 75oQH»^6'".

En divisant les deux membres de ces équations par v, on en lire respectivement

Pz=zi,5o ^(^— f/' ou P=r75o-=

pour la valeur de l'effort moyen exercé horizontalement par l'eau à la circonférence extérieure de la roue.

On voit que les roues à aubes courbes transmettent des 7 aux 7 de la quantité de travail absolu développée par la gravité surle moteur, c'est-à-dire toujours plus du double de ce qu'on obtient des meilleures roues à aubes planes, tout en conservant l'avantage de pouvoir marcher à de grandes vitesses, sans s'écarter de leur maximum d'effet. Ces résultats ont d'ailleurs été vérifiés sur des roues à aubes courbes, exécutées en grand dans plusieurs contrées de la France et à l'étranger, où l'on a souvent obtenu un effet utile et net, c'est-à-dire abstraction faite de toutes pertes occasionnées par la résistance des tourillons, de Pair, etc., qui s'est élevé aux - de l'effet maximum et absolu qui se rapporte à la chute totale mesurée depuis le niveau du réservoir jusqu'au ressaut sous la roue.

APPLIQUER ÂDZ MACHDIBS.

BouAS de côté à palattaa emboitéas dans on coonler circulaire.

31. Description sommaire. -- On nomme ordioairement roues de côté (fig, 44) celles dont les aubes sont emboîtées

dans un coursier circulaire et entre ses parois verticales, et qui reçoivent 1 eau a peu près è la hauteur de leur axe, soit par une vaone ordinaire, son par un déversoir On ne laisse ordinairement entre le fond du coursier et ses parois qu'un jeu très-petit, qu'on doit tâcher de réduire ào^.oi ou o" ,02 au plus, pour éviter la Tuite de i'eau ; dans le même but, on ferme l'intervalle entre deux aubes, vers la circonférence intérieure, mais on laisse cependant entre ce fond et l'aube précédente un jour de o'",o4 à o",o8, pour que l'air contenu entre deux aubes consécutives puisse s'échapper, à mesure que l'eau y pénètre.

D'après cette disposition, on voit qu'à son entrée dans la roue l'eau choque les aubes, qu'elle rfescend ensuite vers le bief inférieur, et qu'elle en sort par le bas à très-peu près avec la vitesse de la roue. On doit d'ailleurs ici, comme dans les roues à aubes courbes, pratiquer sous la roue un ressaut et un

l63 COURS DB MÉCAKIQOB

élargissement brusque du coursier pour le dégorgement des eaux.

32. Équation particulière des roues de côté, — On dispose ordinairement la prise d'eau de manière que la vitesse d'arrivée y soit dirigée dans le sens de la tangente à la circonférence milieu des aubes ou de la vitesse Vj en admettant donc qu'il en soit ainsi, il est clair que la vitesse perdue par une masse d'eau quelconque à son entrée sera

l'eau descend ensuite, depuis son introduction jusqu'à sa sortie, d'une hauteur A', puis elle s'échappe avec une vitesse

D'après cela, l'équation générale des récepteurs hydrauliques devient, dans ce cas,

M(V — (')' Me'

P(:^7MV -r-Mg/l'-

ouy en réduisant,

Le deuxième terme du deuxième membre de cette équation est précisément l'eiTet utile dû au choc de l'eau, comme nous l'avons vu pour les roues à palettes ordinaires (21), et le premier terme est la quantité de travail développé par la gravité sur Teau dépensée, pendant sa descente de la hauteur k'.

33. On ne peut obtenir de ces roues le maximum absolu d'effet utile. — Pour comparer l'effet utile Pi' à la quantité de travail absolue du moteur, nous remplacerons V' par ^gA, et l'équation deviendra

Pt/ : Mgifi -?- /i') - ;m [(V — c)»-r- v'']^*"\

Il est alors évident que, la hauteur totale h + A' étant donnée et constante dans chaque cas, le maximum d'effet aura lieu si

ou si l'on a séparément

\ = V et (' = 0.

APPLIQUÉS AUX MACHINES. l63

On voit donc que, dans ce cas, il n'est pas possible d'obtenir le maximum absolu d'effet utile, mais qu'on en approchera d'autant plus que la vitesse v de la roue sera plus faible, ainsi que V.

34. Conditions du maximum d'effet relatif. — A défaut du maximum absolu, il faut au moins chercher à obtenir un maximum relatif, et 11 se présente deux cas distincts, que nous allons examiner.

Si le pertuis est établi, ainsi que la roue, la vitesse d'arrivée y est donnée ; il ne restera de variable que v\ égalant donc à zéro le coefficient différentiel du deuxième membre pris par rapport à (^, on a pour la condition du maximum

comme pour les roues à aubes planes ou courbes, où Y était aussi donné par la nature de la question. L'équation de la roue devient alors

Lorsqu'au contraire on a, par des considérations particulières relatives à la vitesse nécessaire pour le service de l'usine, fixé a priori la valeur de c, il s'agit de déterminer V; mais, comme la hauteur totale de chute h -h h' est constante, quoique h et h' séparément puissent varier; la différentiation du second membre de l'équation ^

M donne pour condition du maximum relatif d'effet utile

et pour cet effet utile

1?v = Mg{h+h'}—-i'\

Ainsi, dans ce cas, la perte de force vive ou d'effet utile n'est produite que par la vitesse que l'eau conserve en sortant de la

t64 COUBS DE MÉCANIQUE

roue» et l'on voit» comme précédemment, qu'il y a avantagea faire v aussi petit que le permettent le service de Tusine et l'uniformité du mouvement.

35. Résultats de V expérience relativement à la vitesse* — L'expérience montre que, pour des roues bien centrées, construites en fer, par conséquent peu sujettes à varier de densité dans leurs différentes parties et dont le moment d'inertie est considérable, on ne peut guère donner à v une valeur au-dessous de

i^ = o",6o ou c^o", 80 par seconde,

et que pour les roues ordinaires en bois, qui par la porosité de- la matière peuvent cesser d'être centrées» ce que les praticiens appellent acquérir du pesant, on ne peut pas faire v plus petit que

v — i" à r",5o par seconde.

V étant connu, on en déduit V et, par suite, la hauteur A génératrice de }a vitesse V. Dans le cas où c = V = i", on trouve h =o»",o5 environ; ce qui montre que la charge d'eau doit toujours être très-faible : aussi emploie-t-on alors des vannes descendantes ou en déversoir qui s'abaissent pour laisser arriver l'eau.

On ne peut pas toujours se renfermer dans la limite ci-dessus sans être exposé par^uite à donner des dimensions exagérées aux roues dans le sens de leur axe, mais on limite cependant la plus forte épaisseur d*eau sur la vanne à 0^^,20 et, quand on a une masse d'eau considérable à dépenser ou un moteur puissant à établir, on augmente en conséquence la longueur de la roue parallèlement à l'axe. On voit souvent de ces roues de côté qui ont 637 mètres de longueur horizontale.

36. Cas où les directions des vitesses Y et u font un angle sensible, — Nous avons admis précédemment que la vitesse V était dirigée dans le même sens que v et que, par suite, la vitesse perdue était V — i^; mais il arrive souvent qu'il n'en est pas ainsi. Alors, d'après ce que nous avons vu dans la théorie générale des moteurs hydrauliques (18), en appelant 7

APPLIQUÉS AUX MAGHllŒS. l65

Tangle des deux vitesses Y et v» la perte de force vive due au choc à l'arrivée sera

M(V'-+- i^— 2Vvcosy), et, si Tangle y est droit, cosy = o, et elle devient

C'est aussi ce que Ton trouve directement, en observant que le fluide arrivant sur la roue perd d*abord, contre le fond, sa vitesse V et la force vive MV% puisque, l'aube suivante le rencontrantavec une vitesse v perpendiculaire à la sienne propre, c'est comme si le fluide la choquait en sens contraire du mouvement avec cette même vitesse, ce qui occasionne une nMvelle perte de force vive Mc^S et par suite la perte totale éJn-

On devra donc tenir compte de cette circonstance dans les levers, aOn d'estimer convenablement la perte de force vive à l'entrée du fluide sur la roue dans tous les cas où la hauteur

h = — t c'est-à-dire la tète d'eau et la vitesse de la roue se*

raient assez fortes pour que la perte de force vive du liquide à l'entrée sur la roue devint appréciable.

37. Résultats d'expériences et formules pratiques. — L'efTel utile théorique étant en général

Pv=Mg^/l'-+-M(V — i')i',

il nous reste à indiquer les modiflcations que l'expérience a conduit à y apporter.

Des observations (*), faites en 1828 à l'aide du frein de M. de

(') Dans l'édition de i836, ce passage a été modifié comme suit : « Des observations faites en i8a8 à l'aide du frein de M. de Prony, sur une des grandes roues en fonte de la manufacture d'armes de Chatelleraut , sur celle de la fonderie de Toulouse et sur celle de la sécherie artificielle de la poudrerie de Metz {Expériences sur les roues hydrauliques ^ par A. Morin, capitaine d'artillerie), montrent que, pour des vitesses comprises entre »*= 0,70 et y = 3,3o, le rapport de l'effet utile réel à l'effet disponible est 0,74, et que le

l66 GO ORS DE MÉCàKIQOB

Prony, sur une des grandes roues en fonte de la manufacture d*armes de Chalelleraut ( * ), montrent que le terme M( V — v)v, qui provient de la perle de force vive, à l'entrée, et de celle que l'eau conserve à sa sortie de la roue, ne doit être corri{^ par aucun coefQcient, ce qui prouve que ces deux pertes de force vive sont bien estimées par la tliéorie. Quant au premier terme Mg^A', huit expériences, où la vitesse v de la circonférence moyenne des aubes a varié de i mètre à 2°',3o, montrent qu'il doit être multiplié par le coefficient o^fiS ào"',go, ce qui donne, par la formule pratique relative à ces roues,

P*' =:= o,85M^A' H- M( V — vy^-".

On remarquera que, dans ces roues, comme dans toutes celles du même genre qui sont construilesavec soin et un jeu très-faible, la hauteur du niveau du réservoir au-dessus du point d'entrée de Teau n'est qu'une petite fraction de la chute

rapport ne varie pas sensiblomont tant que celui de c à V est compris entr« 0.33 et o,G6, ce qui donne pour la formule pratique relative à ces roues

» On remarquera que, dans ces roues, comme dans toutes celles du même (;enro qui sont construites avec soin et un jeu très-faible, la hauteur du niveau du réservoir au-dessus du point d'entrée de l'eau n'est qu'une petite fraction de la chute totale, ce qui diminue l'influence du terme M(V — p)i'sur les résultats.

» Les roues sur lesquelles ont été faites les expériences que nous venons de citer sont dans ce cas : les aubes tournaient dans les coursiers avec un jeu de o"*,oi au plus sur le fond et sur les côtés, l'eau s'échappait facilement en aval, et c'est à la réunion de toutes ces circonstances que l'on doit attribuer les bons résultats qu'on en obtient. Dans la pratique ordinaire, où tous les détails d'exécution ne sont pas aussi soignés, le coeflicient du terme Mffh' descend jusqu'à 0,65, et même plus bas, si le jeu dans le coursier excède o°',oa, et c'est d'après l'cxamun de la machine que l'on devra lui assigner la valeur convenable.

» En se rappelant que Mff^= ioooQ^S,Q étant le volume d'eau dépensé par seconde, la formule ci -dessus revient à

( » ) Mémorial de V Officier d'artillerie, n« 3.

totale, ce qui diminue l'influence du terme M(V — v)c sur les résultats.

Les roues sur lesquelles ont été faites les expériences que nous venons de citer sont dans ce cas : les aubes tournent dans un coursier en fonte avec un jeu de o"'yOi au plus sur le fond et sur les côtés, Teau s*échappe facilement en aval, et c'est à la réunion de toutes ces circonstances que Ton doit attribuer les bons résultats qu'on en obtient. Dans la pratique ordinaire, où tous les détails d'exécution ne sont pas aussi soignés, le coefficient du termie Mgh^ descend jusqu'à 0,75 : c'est d'après l'examen de la machine que Ton devra lui assigner la valeur convenable; dans le cas le plus fréquent, on pourra prendre pour formule pratique des roues de côté

Pt/ — o,8oM^A'-t- M(V — v)v,

lorsque le jeu des aubes dans le coursier ne dépassera pas o*",of à o",o2, que la vitesse n'excédera pas 2 mètres à a'^jSo par seconde, et que la charge d'eau sur le point d'entrée n'excédera pas 7 ou 7 de la chute totale. En se rappelant que Mg^= loooQS Q étant le volume d'eau dépensé par seconde, la formule cidessus revient à

Enfin, pour les anciennes roues de côté mal construites, dans lesquelles la hauteur de la portion circulaire qui embofte la roue est souvent au-dessous du quart de leur chute totale, on ne devra pas s'attendre à ce que l'effet utile s'élève beaucoup au-dessus de celui que donne la formule

Vv= 1000

dont le maximum répond à v = [Y.

Cette formule pratique est d'ailleurs conforme aux résultats d'observations directes faites sur ce genre de roues, notamment sur l'une des roues du moulin à pilons de la poudrerie de Metz.

l68 COURS DB MÉCANIQUE

38. On doit comparer la capacité des augèts au volume d'eau introduit, — Une circonstance qu'il faut observer avant d'appliquer ces formules, c'est le rapport de la capacité des augets ou de l'intervalle compris entre deux aubes au volume d'eau qui doit y être introduit; car il faut être sûr que tout le fluide qui s'écoule ou doit s'écouler par l'orifice peut étreylmis sur la roue. On y parvient facilement en observant que» si l'on désigne par

n le nombre des aubes de la roue;

q la capacité disponible de l'intervalle compris entre deux

aubes consécutives, leur fond et le coursier circulaire; u. le nombre des révolutions de la roue dans une minute:

-T-^le volume d'eau qui peut être admis dans la roue en une

seconde ; Q le volume d'eau dépensé par l'orifice, calculé par les formules données pour l'écoulement des fluides,

on doit toujours avoir

Q< -g-^ ou au plus Q= -tt-^-

Lorsque, au contraire, on trouvera que Q>--t.— >le volume d'eau introduit sur la roue ou dépensé par l'orifice ne

sera plus Q, mais -r^jct l'on aura alors

^ oo

-- looo nixq g ^o

D'ailleurs il se forme alors, près de la prise d'eau, un remous ou gonflement qui altère le mode de l'écoulement et ne permet plus de calculer la dépense, comme si l'orifice versait librement dans l'air (i;o/rSect. I, n*' 58 et sulv.).

Dans cette même circonstance on pourra négliger le terme M( V — i/)v de l'équation générale, qui se rapporte à l'action due au choc de l'eau sur la roue, et prendre simplement

APPLIQUÉS AUX MACHIIIES.

si l'on est certain, d'ailleurs, que l'eau remplit, en effet» l'intervalle disponible entre les aubes.

Roues à angets.

39. Description sommaire. — Ces roues diffèrent des précédentes en ce que l'eau qui les fait mouvoir, au lieu d'être contenue entre les aubes, les parois et le fond d'un coursier circulaire, est reçue dans des pots ou augets disposés à leur circonférence {fig. 45). Le fluide y entre ordinai-

Fig. 45.

rement vers la partie supérieure, prend la vitesse de la roue et descend, avec les augets qui le contiennent, jusqu'à une certaine hauteur, où son niveau atteint le bord de l'auget. A partir de cette position l'eau commence à sortir et le versement continue jusque vers le bas de la roue. Dans les grandes roues qui marchent lentement, la vitesse avec laquelle le li-

170 COURS DE MÉGiMIQUB

quide sort des augels est sensiblement celle de la roue» ei d'ailleurs le versement commence très-bas: c'est pourquoi, dans la théorie ordinaire de ces roues, on admet que l'eau ne les quitte qu'après être descendue de toute la hauteur h! du point d'introduction au-dessus du bief inférieur ou du bas de la roue.

M. Équation particulière des grandes roues à augets à petite vitesse et recevant l'eau par le sommet. — Dans ces suppositions, la théorie de ces récepteurs est la même que celle des roues de côté.

Si les vitesses V et (^ sont dirigées dans le même sens, la vitesse détruite par le choc est V— v, et la perte de force vive est

M(V-c)'; la vitesse de sortie

et par suite l'équation de la roue à augets est

ou, en réduisant,

et, si Ton veut comparer l'efTet utile de la roue au travail absolu du moteur, on peut, en remplaçant V par sa valeur 7.gh, mettre l'équation sous la forme

Ces équations, dans lesquelles il faudrait d'ailleurs remplacer V par Vcosy, si la vitesse d'arrivée de l'eau formait (36) un angle y assez grand avec la circonférence ou la vitesse v de la roue; ces équations, disons-nous, sont identiquement les mêmes que celles des roues de côté, et, en cherchant le maximum d'effet, on trouve encore que le maximum absolu ne peut avoir lieu que pour

\zLzv et cmo;

ce qui indique qu'il n'en existe pas, mais qu'on s'en approchera le'plus possible en faisant marcher la roue très-lentement.

41. Conditions du maximum d*effet relatif. — Pour le maximum relatif on trouvera, de même qu'au n** 34,

quand V est donné ou que la prise d'eau existe, et

quand on peut régler V à volonté, v devant toujours être trèspetit.

42. Résultats d'expériences et formules pratiques^ relatifs 41UX grandes roues bien réglées. — Les grandes roues à augets qui sont construites de nos jours réalisent à peu près les hypothèses sur lesquelles se fonde la théorie précédente; elles admettent facilement l'eau dépensée par le pertuis, et celle-ci y perd réellement la force vive M(V — vY; le mouvement étant, de plus, assez lent, la vitesse avec laquelle l'eau quitte la roue est aussi celle même de cette roue, de sorte que le terme M(V— v)v représente exactement les effets dus à la vitesse d'introduction et de sortie du liquide. La seule différence notable ne peut provenir que du versement de l'eau qui se fait au-dessus du bas de la roue, d'où résulte que la hauteur parcourue par le liquide n'est pas tout à fait égale à A'. On conçoit que le versement commencera d'autant plus tôt que le volume d'eau introduit dans les augets sera plus grand par rapport à leur capacité et que le rayon de la roue sera plus petit. C'est pourquoi on a soin, dans les bonnes constructions, de ne verser dans les augets que la moitié au plus de l'eau qu'ils pourraient contenir et d'augmenter le rayon de la roue en y faisant arriver Teau au-dessous du sommet.

Dans ces circonstances (•), des expériences faites, en 1828,

(' ) Dans rédition de i836, la fin du paragraphe est modifiée comme suit : « Dans ces circonstances, des expériences faites en 1838 sur une grande roue de 10 mètres environ do diamètre, établie à Guebwiller, et en i834 et i835

l*]2. COURS DE MÉCANIQUE

sur une grande roue à augets en fer de lo mètres environ de diamètre, établie à Guebwiller, département du Haut*>Rhin (*), ont montré que le terme M^^-A' de la formule devait être affecté du coefficient de correction o,85 à 0,90, et qu'alors la formule pratique

Pt; r= 0,85 M^A' -T- M(V- (/)(;»^«'"

représentait bien les résultats de Texpérience.

Dans cette roue la hauteur du niveau du réservoir au-dessus de Tauget qui recevait Teau n'était guère que de -pj à tj de la chute totale; de sorte que le terme M(V~i')i' avait très-peu d'influence sur les résultats.

Lorsque la charge d'eau au-dessus du point d'admission sera égale à l ou ^ de la chute totale et que la roue n'aura que 5 à 8 mètres de diamètre, on représentera les résultats de l'expérience par la formule

Pi; = 0,80 Mgh' 4- M( V-~ (;)v^8.n,

en admettant toujours que la roue marche^lentement, que les augets ne sont qu'à moitié remplis et reçoivent l'eau vers le sommet de la roue.

43. Résultats des expériences en petit de Smeaton pour les dispositions les plus ordinaires ( '). — Smeaton a fait en Angle-

sur des roues de 3*P,^25, a*", 38 et a™, 74 de diamètre (Expériences sur les roues hydrauliques, par M. A. Morin, capitaine d'artillerie), ont montré que lo terme filgh' de la formule devait être affecte du coefficient de correction 0,78, et qu'alors la formule pratique P»' = 0,78 Wgh'-^ M{\ - - f)*^ représentait les résultats à ^ près.

» Dans les trois premières roues, la hauteur du niveau du résenroir au-dessus de Taugct qui recevait Teau n'était guère qu'une petite partie de la chute totale, de sorte que le terme M( V — t')v avait très-peu d'influence sur les résultats. »

(») Mémorial de V Officier d* artillerie, n® 3.

(*) Dans l'édition de i83G, le paragraphe 43 est remplacé par le suivant:

« 43. Observations sur l'application de la formule pratique précédente, — Dans l'application de la formule précédente, on devra rechercher préalablement, par la méthode indiquée au ti9 38, le volume d'eau admis dans chaque auget et «'assurer qu'il ne dépasse pas do beaucoup la moitié de leur capacité.

> Il faut de plus que, 'pour les petites roues de a°*,5o environ de diamètre, le

APPLIQUÉE AUX MACHIMBS. lyS

terre (*) des expériences sur un modèle de roues à augets de o'^yôa de diamètre, dans lesquelles la chute ou tète d'eau audessus du sommet de la roue a varié depuis 7 jusqu'à près de Y de la hauteur de cette roue, et qui, par conséquent, se rapprochent beaucoup des circonstances dans lesquelles se trouvent placées la plupart des anciennes roues d'usines. Les résultats moyens, pour le cas du maximum d'effet et des petites vitesses de roues, en sont assez fidèlement représentés par la formule

P(; = o,79Mg/i'-f o,i5Mgf/i =Mg(o,79A'-+-o,i5A),

Il étant la hauteur du niveau supérieur de l'eau dans le réservoir au-dessus du sommet de la roue, et la vitesse de celle-ci étant comprise entre o~,55 à o™,65 par seconde.

L'énorme déchet éprouvé ici par la portion de chute /i, qui constitue la tète d'eau, ne peut évidemment provenir que de la mauvaise disposition du pertuis, du coursier et du mode d'admission du liquide sur la roue, par suite de laquelle la composante Vcosy de la vitesse V de ce dernier dans le sens du mouvement de la roue (36) se trouve elle-même réduite dans des proportions d'autant plus fortes que la chute h est plus grande. Aussi ne saurait-on être étonné de voir que les

vitesse v ne dépasse pas i mètres par seconde et, pour les ^andes roues de 3 à 4 mètres et plus, qu'elle n'excède pas 2<",5o.

» Le rapport des vitesses v et V peut d'ailleurs varier depuis o,3o jusqu'à 0,80 sans que l'effet utile éprouve d'altération notable, ce qui offre le grand avantage de pouvoir faire fonctionner ces roues à des vitesses très-différentes selon les besoins de travail de l'usine. *

• Les formules théorique et pratique précédentes supposent d'ailleurs que l'eau soit admise convenablement et tangentiellement dans les augets, et qu'il n'y ait aucune sorte de rejaillissement; mais, s'il en est autrement et que notamment la vitesse d'arrivée du liquide forme un angle y avec la circonférence moyenne des augets, on devra adopter la formule théorique

Pi* = M^fc-i-M( Vcosy — v)v,

à laquelle on appliquera le coefficientjmoyen 0,78, qui se déduit du résultat des expériences sur une roue de 3°*, 34 de diamètre et pour laquelle on avait cosy = 0,98. »

(') Recherches expérimentales sur Veau et le vent y traduction de M, Girard, de l'institut; Bachelier, Paris, 1827, a* édition, p. 25. .

174 C0UB9 DE MtCANIQUB

résultats obtenus par Smeaton ne puissent être représentés approximativement par la formule du n® kO ci-dessus, même pour les vitesses médiocres qui correspondent au maximun» d'effet de la roue. Néanmoins, comme les usines présentent un grand nombre de roues à augets dont le mode d'admission de l'eau n'est pas plus favorable, on pourra se servir de la formule ci-dessus pour en calculer l'effet utile dans le cas du maximum et de vitesses à la circonférence comprises entre o'",6 et i",5 pour les plus petites roues, o™,6 et 2 mètres ou 2", 5 pour les plus grandes.

Ces formules supposent, d'ailleurs, que l'eau soit admise convenablement et tangentiellement dans les augets et qu'il n'y ait aucune sorte de rejaillissement ; mais s'il en est autrement et que, notamment, la vitesse d'arrivée du liquide forme un angle y avec la circonférence moyenne des augets, on devra adopter la formule

Pc .- : Mgh -h M(V cosy — t')^>

à laquelle on appliquera le coefficient moyen 0,8, qui se déduit du résultat des expériences en petit de Smeaton ( *), pour le cas où la vitesse de la roue n'est pas fort grande et s'écarte peu de celle qui convient au maximum d'effet.

4^. Quant au cas où le point d'admission de l'eau sur fa roue se trouve situé beaucoup au-dessous du sommet de celle-ci, il n'existe aucune expérience qui mette en état d'apprécier la valeur que doit prendre alors le coefficient de la formule du n'' 4.0. On pourra admettre, en attendant qu'il ait été fait des expériences spéciales, que le coefficient du terme Mgh ' est d'autant plus réduit par le versement de Peau que la hauteur du point d'entrée sur la roue est plus abaissée, et que, notamment, quand ce point est situé à la hauteur de l'axe de la roue, le coefficient se trouve réduit à 0,6 au moins. En effets si nous représentons par nD la fraction du diamètre de la roue qui représente la portion de chute perdue par ce ver-

(') Recherches expérimentales sur Veau et le vent, traduction do M. Girard» do l'Institut; Bachelier, Paris, 1837; 3^ édition, p. 35.

APPLIQUÉE kVX HAGHIKBS. 176

sèment, celle qui est utilisée parle poids de l'eau se trouvera généralement exprimée par la formule

h' — nD.

Or nous savons que, quand A'— D, on a environ

A'— nD = o,8A', d'où « — 0,2, et partant

la chute utile sera mesurée par

comme cela a été avancé ci-dessus.

Ces considérations, qui montrent tout le désavantage des roues à augets prenant l'eau de côté, ne sont point, d'ailleurs, applicables aux roues de cette espèce emboîtées dans des coursiers circulaires, et pour le calcul desquelles on pourra procéder ainsi qu'il a été expliqué à l'occasion des roues à aubes également emboîtées.

45. Cas où les roues à augets marchent à de grandes vitesses, — Il existe dans beaucoup d'usines des roues a augets qui sont bien loin de permettre les hypothèses sur lesquelles se fonde la théorie du n® 40 : telles sont presque toutes celles qui font marcher les marteaux de forge et, en général, les roues à augets à grande vitesse. Dans ces circonstances, le diamètre étant en outre assez petit, la force centrifuge exerce une action qu'il n'est plus permis de négliger à cause de sa grande influence.

46. Détermination de la courbure que la surface de Veau orend dans les augets. — Considérons, en effet, une masse élémentaire dm de fluide contenue dans un auget. Soient 'fig. 46) r sa distance Cm à l'axe; 6) la vitesse angulaire de la roue; la force centrifuge qui agira dans le sens du rayon pour éloigner cette masse sera

rfm.ck)'r; d'une autre part, elle est sollicitée par son poids gdm.

Il est facile de voir que la résultante de ces deux forces viendra couper la verticale CI du centre en un point I tel, qu'on aura la proportion

(ù^r:g::r:Cl, d'où CI = 4'

g ei(ù étant constants pour une même roue parvenue à son

Fig. 46. ^

état de mouvement uniforme, il s'ensuit que la force répulsive (*), qui tend à faire sortir le fluide des augets, passe constamment par le point I; ce qui indique, d'après les lois connues de l'équilibre des fluides, que la surface de l'eaa dans l'auget sera cj^lindrique et concentrique à I dans toutes les positions.

Par conséquent, dès que la surface de niveau passera par le bord de l'auget, l'eau commencera à se déverser, et il est évi-

(*) En nommant p la distance ml du centre de répulsion à la masse «/m» A est aisé de voir aussi que l'intensité do cette force a pour eiprcssion trèi-

simple la quantité

poi^fintf

qui, intégrée en décomposant la niasse du liquide par couches concentriqoei de niveau, donnera la loi des pressions dans toute retendue du vase et de* parois.

APPLIQUÉE AUX 1IAGHINB8. I77

dent, d'après la valeur de CI, que, pour un volume donné introduit dans Tauget, le déversement commencera d'autant plus tôt que la roue marchera plus vite.

VI. Introduction de Veau dans les augets. -- Mais la force centrifuge n'agit pas seulement sur Peau après son entrée dans les augets, elle peut même empêcher tout à fait son introduction. Examinons, en effet, ce qiii se passe au moment oii la veine fluide vient rencontrer un auget.

Soient (fig. 47 )

Fîg. 47.

abc l'auget;

V la vitesse d'arrivée du fluide;

V la vitesse de la roue, mesurée à la circonférence moyenne

des augets.

Nous avons vu (12) que, pour éviter le choc perpendiculairement à la face aft, il fallait qu'en décomposant la vitesse V en deux autres, dont l'une soit égale à t^, la seconde fût naturellement dirigée suivant une parallèle ab\ or cela démontre bien clairement que, pour que le liquide ne soit pas repoussé par la palette antérieure de l'auget, de manière à être rejeté hors de la roue, il est nécessaire que cette seconde composante, qui représente la vitesse relative d'introduction de l'eau, forme avec les vitesses V et c de plus petits angles que ceux amV, amVy qui répondent à la direction de ah^ de sorte que le fluide soit contraint d'agir sur la face intérieure