II. la
de Tauget. II faut, de plus, que cette vitesse d'introduction ne soit pas trop faible, condition qui, réunie à la précédente, exige évidemment que la vitesse absolue V du liquide surpasse sensiblement celle v de la roue, en ne formant pas un trop grand angle avec elle; mais cela ne suffit pas encore pour que Teau soit introduite dans Tauget : il faut, de plus, que la force centrifuge ne la rejette pas au dehors dès qu'elle a atteint la face ab. Or, d'après ce que nous avons vu (16), en appelant « et p les angles que les vitesses V et c font avec «6, la vitesse relative ou d'écoulement de l'eau dans le sens ab sera
Vcosa — (^cos(3,
et la force vive correspondante d'une masse rfM admise sur la roue aura pour expression
JM(Vcosa — v cos^y.
Nous avons vu aussi (29) qu'en appelant R et R' les rayons correspondant aux extrémités a et ^ de la face ab, le travail total développe par la force centrifuge sur la masse rfM, dert en b, sera
Enfin, si nous nommons z la hauteur du point d'admission de (IM au-dessus du fond de l'auget, la gravité ajoutera à celte force vive, d'après ce qui a été observé dans la noie du n*» 29 déjà cité, la quantité
2gzdM,
en supposant, d'ailleurs, que la roue ne décrive qu'un pclii angle pendant que la masse rfM chemine sur la palette fli- Par conséquent, pour que celle masse atteigne le fond do l'auget, il faudrait qu'on eût
rfM.a)»(R= — R'-)< rfM( Vcosa — v cos(3)' -h 7.gz dU.
Si l'on connaît R, R', V, a, v et ^, on pourra facilement déterminer la plus grande valeur de &>, au delà de laquelle la masse
APPLIQUÉE AUX HAGHIlfES. I79
</M, non-seulement n'atteindrait pas le fond de Tauget» mais en serait bientôt repoussée.
48. Position de Vauget la plus favorable pour V introduction de Veau. — La quantité d'eau qui peut être introduite dans les augets est importante à connaître, et la position du centre I des courbes de niveau peut servir à la déterminer plus simplement que le calcul. En effet, il sera toujours facile de mesurer Taire comprise entre les faces des augets et lé cercle tracé du rayon a\ {Jig. 48), et en la multipliant par
Fig. 48.
la longueur des augets on aura le volume cherché. On voit, d'ailleurs, que, toutes les fois que l'angle lab sera droit ou obtus, il pourra s'introduire de l'eau ; mais, si cet angle est aigu, le cercle de la surface de niveau passant en dehors de aby on sera sûr qu'il n'en entrera pas du tout. C'est ce qui arrivera toujours pour le premier auget placé sur la verticale, quand le centre I sera en dedans de la circonférence extérieure de la roue. Le deuxième auget pourra tout au plus commencer à en recevoir, si la face ab est perpendiculaire à al, et ce n'est guère que vers le troisième ou le quatrième qu'il s'introduirait assez d*eau pour faire marcher la roue. Dans tous les cas, la position du point I fera connaître l'auget vers lequel il faut diriger l'eau, pour qu'elle puisse être admise le plus avantageusement possible*
ia«
l8o COURS DE MÉGÀlflQOB
49. Cas où le centre de répulsion est en dehors de la circonférence. — Ce que nous venons de dire suppose que le point I se trouve en dedans de la circonférence intérieure de la roue» ce qui arrive souvent pour les roues de marteaux de forge, qui marchent avec une vitesse de 3o à 35 tours par minute : aussi observe-t-on que, dans ces roues, l'eau n'arrive guère que vers le troisième auget à partir du sommet. Si le centre de répulsion I est en dehors de la roue (fig. 49 )> le
Fîg. 49-
volume d'eau qu'un auget peut recevoir croît avec l'angle lam^ et, par conséquent, son maximum correspond à l'auget supérieur. Aussi, dans la plupart des roues où la vitesse n'est pas très-grande et où le centre I se trouve en dehors de la circonférence extérieure, on est dans l'usage d'admettre l'eau au sommet de la roue.
50. Détermination du point où le filet moyen rencontre la circonférence extérieure de la roue. — Pour s'assurer que l'eau peut être admise dans la roue et connaître la quantité qui y est reçue, il est donc nécessaire de déterminer le point où la lame d'eau qui s'échappe de l'orifice atteint la circonférence extérieure : cela n'offre aucune diffîculté, En effet, d'après ce que nous avons vu (Sect. I, n** 73 et suiv.), on pourra toujours calculer approximativement la vitesse u à l'extrémité du coursier qui amène l'eau sur la roue, d'après les circon-
APPLIQUÉS AUX MACHINES. l8l
Stances de récoulement et les données locales. La pente du coursier étant aussi connue, appelons 9 (fig. 5o) l'angle que
Fig. So.
fait sa direction avec l'horizontale et considérons la trajectoire du filet moyen. On aura pour la déterminer, en prenant pour son origine l'extrémité inférieure du coursier et comptant les y dans le sens vertical et les x dans le sens horizontal,
dl
d'où
v=2 — \- utsmB et x=^utcosB.
On pourrait combiner ces équations avec celle de la circonférence extérieure de la roue, rapportée à la même origine; mais, comme le calcul serait compliqué, on arrivera au but avec une exactitude sufiisante par le tracé d'une portion de la trajectoire, qu'on exécutera ainsi qu'il suit : on se donnera différentes valeurs successives de x, qu'on portera sur l'axe des x\ on conclura de la seconde relation ci-<lessus les valeurs de / qui leur correspondent, et on les substituera dans celle qui donne y. On aura donc les valeurs de y correspondant aux valeurs de x qu'on s'est données, et l'on obtiendra ainsi autant de points de la trajectoire qu'on voudra; puis par ces points on fera passer une courbe dont l'intersection
l82 COURS DB MÉCANIQUE
avec la circonférence extérieure sera le point cherché. Par le calcul ou simplement à la règle on mènera en ce point une tangente à la courbe, et Ton aura la direction de V. On s'assurera alors qu'elle est dirigée sur le côté intérieur de la face ab de l'auget, et que l'eau peut être admise dans la roue. On pourrait se proposer le problème inverse, c'est-à-dire, étant données la vitesse de la roue, la forme et la position de l'augel oii l'eau doit arriver, la direction et l'intensité de V, déterminer la direction et l'intensité de u; la solution, un peu compliquée par le calcul, se simplifierait par des méthodes de tracé suffisamment exactes pour la pratique.
51 . Théorie des roues à augets à grande vitesse. — Nous avons beaucoup insisté sur les circonstances de l'introduction de l'eau dans les augets, parce qu'elle est d'une grande importance pour les roues à grande vitesse. Examinons actuellement comment on peut tenir compte du versement de l'eau dans le calcul de TefTet utile de la roue.
Conservons les mêmes notations que précédemment, et désignons de plus par
y l'angle des deux vitesses V et i';
q* le volume d'eau introduit dans chaque auget;
n le nombre d'augets de la roue;
a le nombre de révolutions de la roue en une minute;
Q le volume d'eau dépensé par l'orifice en une seconde;
A' la hauteur dont le centre de gravité de q' est descendu
depuis l'instant de son introduction dans la roue jusqu'à la
position où l'eau commence à se déverser; q le volume contenu dans un auget quelconque après que
le versement a commencé; h la hauteur du centre de gravité de ce volume au-dessus du
niveau du bief inférieur ou du bas de la roue; M la masse d'eau reçue en une seconde sur la roue.
La force vive de l'eau à l'entrée est
celle qu'elle perd par le choc dans l'auget est (36)
M(V'-+- i^— aVt/cosy);
APPLIQUfiB AUX MAGHIIIBS. l83
celle qu'elle conserve à sa sortie successive des augets
La quantité de travail développée par la gravité sur le volume introduit q' pendant sa descente de la hauteur A' est
looog'/i'*'»";
et, comme en une seconde il passe -^ augets , la quantité de travail correspondante en une seconde sera
iooo^g'A'^'5-.
oo ^
Lorsque toute Teau fournie par l'orifice sera reçue par la roue, on aura
et, par conséquent, cette quantité de travail sera alors
loooQA'*^»'".
Quant aux augets qui versent Teau, le travail élémentaire de la gravité, sur l'un deux, sera
I ooo q d/i ,
et, pour toute la durée de sa descente, depuis le moment du versement jusqu'à l'instant où il n'y a plus d'eau dans Tauget, on aura, pour la quantité de travail développée par la gravité,
looofqdh
à prendre entre des limites convenables. Le nombre d'augets qui passent dans une seconde étant -rr-i le travail de la pesanteur par seconde, dans la période du versement, sera
HfJ.
looo^/gdfA*^»'".
l84 COURS DB MtCANIQUB
Enfin le travail de la résistance ou l'effet utile dans une seconde étant
réquation des forces vives sera
Mt^»— MV— M(V'-+- c»— iVi'COsy) =z iX iooo-T^(g'A'-4-/grfA) — aPv;
d'où, en réduisant, on tire
P(; = looo -^{q' h' -^ Jqdh] A ^(Vcosy — v)c.
Lorsque y = o ou qu'il est assez petit pour qu'on puisse prendre cosy = i, cette équation se réduit à
Pc, = ,000 ""^{q'h'^fqdh) -f- .^^^ (V- sf)v.
52. Méthode approximative de calcul. — Dans le second membre de cette équation il n'y a d'inconnues que A' et la valeur totale defqdh; on peut les déterminer par le calcul, en tenant compte de toutes les circonstances du versement de l'eau; mais les formules auxquelles on parvient sont trop compliquées pour pouvoir servir aux applications, et l'on peut y suppléer par des méthodes approximatives que nous allons exposer.
La première chose à déterminer, c'est la position de l'auget où l'eau commence à se déverser : pour cela, ayant fait un profil de la roue, on tracera par le bord de chaque auget U courbe circulaire de niveau qui lui correspond; puis on che^ chera par tâtonnements, en mesurant le profil du volume d'eau contenu dans quelques augets, vers quelle position ce volume est égal à celui qui a été introduit. Si le commencement da versement ne correspond à aucun des augets tracés, on décrira au-dessus ou au-dessous de celui qu'on aura reconnu le plus près de cette position quelques arcs de cercle concentriques à I (fig. 5i] et assez rapprochés les uns des autres.
APPLIQUÉS AUX MACHINES. l85
Aux points où ils rencontreroni la circonférence exlérieure, on tracera des profils d'augets, et l'on calculera le volume qui correspond aux courbes de niveau qu'on s'est données. Après
Fig. 5i.
trois ou quatre tâtonnements au plus, on trouvera avec une exactitude suffisante la hauteur du bord de Tauget, où Teau commence à se déverser, au-dessous de celui où elle a été reçue. Cela fait, on sera en état de calculer le terme q'h^.
Quant au terme fqdh, ne pouvant recourir aux méthodes ordinaires d'intégration , on emploiera celle qui résulte du théorème de Thomas Simpson. A cet effet on partagera en un nombre pair de parties égales la hauteur (Jig, 62) du bord de l'auget qui commence à perdre son eau au-dessus du niveau du bief inférieur ou du bas de la roue; par les points de division on mènera des horizontales qui rencontreront la circonférence extérieure de la roue; par ces intersections et du centre I on décrira les courbes circulaires du niveau et l'on tracera le profil correspondant des augets. On calculera alors les valeurs successives du volume 9; en les désignant par 91, Ç:» 93» ^é» - • . et appelant m le nombre pair des parties de /ii, chacune d'elles
sera égale à — » et l'on aura, avec une approximation suffi-
l86 COURS DE MÉCANIQUE
santé pour la pratique,
/grfA=^[5f.-f-2(g3-+-5f»-f-ÇT-l-...)-f-4(?»-^?4-^--0-t-?«-Hi].
Dans la plupart des applications, il suffira de faire m — 4, et Ton aura alors
Jqdh ^ -^ [7. 4- 2(?,-f- 4 (?,4- Î4) 4- ?sj V";
d'ailleurs g, = q' et gs — o, puisqu'au bas de la roue il ne resle plus d'eau; il pourra môme arriver qu'il en soit ainsi de 94, ce qui ne changera rien au calcul ; mais alors il faudrait prendre un plus grand nombre de positions pour avoir une valeur assez approchée.
^^ Fig. 5a.
On voit donc que l'on pourra, dans tous les cas, tenir • compte des effets de la force centrifuge et du versement de l'eau, sans difficulté et par des calculs très-simples. Il sera indispensable de recourir à cette méthode toutes les fois que la rapidité du mouvement l'exigera, et c'est ce que Ton reconnaîtra de suite lorsque la valeur — de la distance CI sera telle
qu'il ne soit plus permis de regarder les surfaces de niveau dans les augets comme sensiblement horizontales.
53. Résultats d'expérience relatifs à cette formule. — Des observaiions faites sur une roue à grande vitesse d'une scierie des Vosges» et sur une roue à faible vitesse et de très-grandes dimensions, ont montré que cette nouvelle formule des roues à augets, où Ton tient compte de toutes les circonstances du mouvement y donne des résultats entièrement conformes à l'expérience, et que, par conséquent, elle n'a pas besoin d'être corrigée par un coeflicient numérique; on l'emploiera donc telle que la théorie la donne.
Les pertes principales des roues à augets étant dues au versement de l'eau pour les roues à petite vitesse comme pour celles à grande vitesse, on en diminuera l'effet en donnant aux augets une capacité triple ou au moins double du volume d'eau qu'ils doivent recevoir, ce qui est facile. Dans la pratique, le profil des roues à augets (/Ig. 53) offre quelques
Fig. 53.
dimensions à peu près constantes; ainsi Técariement des augets à la circonférence extérieure varie entre o™,3o et o",4o, la largeur des couronnes ou joues dans lesquelles ils sont assemblés est aussi de o'^jao à o^jSo, le fond bc est dirigé vers le centre de la roue et le bord de Tauget suivant a'b'c\ bc = ^ a'c. Quelquefois, et notamment dans les forges, le fond est perpendiculaire à ab, ses faces ab et bc sont ordinairement planes et en bois ; mais, dans les grandes roues en fer, on leur donne une légère courbure pour arrondir l'angle b et ne pas rompre, en la ployant, la tôle dont on les fait.
l88 COURS DB HÉGANIQUB
Des roues hydrauliques à axe Tertical. .
5i. Nous n'avons parlé jusqu'ici que des roues hydrauliques dont i*axe est horizontal et qui sont le plus en usage ; mais il ne sera pas inutile de montrer comment les principes que nous avons établis s'appliquent au cas où l'axe est vertical, parce qu'on rencontre quelquefois celte disposition particulièrement dans les moulins à farine, où elle a l'avantage de dispenser de toute communication de mouvement.
55. Roues horizontales à palettes planes. — Considérons d'abord le cas d'une roue à palettes planes {Jig, 54)» mue
'rr-î
uniquement par le choc de l'eau, et dont l'axe soit vertical. La théorie de cette espèce de roue, supposée parvenue a l'eut de mouvement uniforme, est la même que celle des roues verticales à palettes planes. En effet soient
V la vitesse avec laquelle le filet moyen de la veine d'eau affluente atteint la palette plane A6;
a l'angle que cette vitesse fait avec la palette;
V la vitesse horizontale du point choqué de la palette, lorsque le mouvement de la roue est devenu sensiblement uniforme ;
|3 l'angle de cette vitesse avec la palette.
La direction de la vitesse V est ordinairement comprise dans le plan vertical tangent à la circonférence décrite par le point choqué C, ainsi que la vitesse v. Cela posé, il résulte des prin-
cipes établis au n** 11 et en admettant que l'étendue des palettes soit assez grande pour que le liquide ait perdu l'excès de sa vitesse normale sur celle de ces palettes, que la perte de force vive subie par la masse d'eau dM, qui afflue sur la roue dans chaque unité de temps, aura pour mesure
M(Vsina— vsin^Y;
après le choc, le fluide coulera le long de la palette avec une vitesse relative (16)
Vcosa-4- f cosp,
puisque la composante de la vitesse de la roue dans le sens de la palette est dirigée en sens contraire de celle de V; par conséquent, si l'on fait abstraction de l'action de la pesanteur, pendant que l'eau glisse sur la palette, ce qui est permis ici, vu le peu de hauteur de ces palettes, la vitesse absolue avec laquelle l'eau quittera l'aube sera
w= ^/(Vcosa -f- f cos(3)*-i- f'— ai'( Vcosa -+- (/cosP)cosp.
L'équation du mouvement de la roue sera donc MV» M(Vsina — (/sînô)»
M[(Vcosa-f-i'CosP)'-+-i''— 2f(Vcosa-i-c'cosP)cosP)]
OU simplement, en réduisant,
Pi;=:M(Vsina — f sinjîji'sinp.
Le second membre de cette équation contient quatre quantités variables V, v, «et p. La première a pour limite la vitesse due à la chute disponible au-dessus de la roue; et, comme il est d'ailleurs évident que Teffei utile théorique augmente avec V, on devra prendre cette quantité aussi grande que possible, c'est-à-dire diminuer la hauteur de la roue, en augmentant ses autres dimensions, s*il est nécessaire, pour qu'elle puisse recevoir toute l'eau à dépenser. Regardant donc V comme déterminée par des considérations de localité et de construction, il faudra faire successivement varier dans le second membre i^.
190 COURS DE HÊGÀIIIQUB
a et j3, pour obtenir les conditions du maximum relatives à
chacune de ces quantités, et voir si l'on peut les accorder entre
elles. On obtient ainsi les relations suivantes, en diflérentiant
par rapport à v :
Vsina — 2(/sin(3=:: o;
d*oii, pour le maximum,
V sina 2 sin(3
En différentiant par rapport à a,
V cos a — o, d*où a = 90°,
et par suite
~~ 2sin|3
En différentiant par rapport à ^,
Vsina — 2i'sin(3 = o,
d'où, comme en premier lieu,
. ^ Vsina sinS = •
Cette dernière relation étant la même que la première, on voit que l'angle (3 demeure indéterminé, de sorte qu'on a simplement, pour assurer le maximum d'eiîet relatif,
a r^ 90" et V'-^ :— ô ï
^ 2Sinp
conditions auxquelles il est toujours possible de satisfaire. 11 en résulte de plus que Ton pourra toujours aussi donner à la roue la vitesse que l'on voudra, puisqu'il sufQra de déterminer en conséquence l'angle (3, d'après la deuxième condition. Lorsque les relations ci-dessus ont lieu, la valeur de l'effet utile transmis par la roue est
si l'on désigne, comme précédemment, par h la hauteur de
chute disponible au-dessus du point où Teau rencontre les aubes.
Ainsi, dans ces roues, le maximum de l'effet utile théorique est encore la moitié du travail total développé par la gravité sur le poids d'eau dépensé.
56. Rapport de Veffet utile pratique à l'effet théorique. — Dansia pratique» l'effet utileestnécessairementau-dessous de ce qu'indique la théorie; il est même douteux que les roues ordinaires de ce genre réalisent, comme les bonnes roues verticales à aubes, les | de l'effet théorique. Cependant, si les aubes ont une surface beaucoup plus grande que la section moyenne de la veine fluide à son entrée, si elles sont enfermées dans un coursier qui leur laisse peu de jeu, ou mieux encore entre deux tambours cylindriques, on pourra admettre, d'après des expériences faites en 1820 sur une des roues du moulin des Minimes à Toulouse, sur le canal de Languedoc, par MM. Tardy etPiobert, capitaines d'artillerie, avec un frein analo gue à celui de M. de Prony, que le rapport de l'effet pratique à l'effet théorique varie de 0,70a 0,75 ; mais il faut observer que les palettes de cette roue sont légèrement concaves. Ces ex-
périen ces ont aussi montré que le maximum d'effet correspond
dans la pratique, à très-peu près, à la relation v — — ^— r > ainsi
que l'indique la théorie.
D'après cela, la formule pratique à employer serait alors, pour le cas général,
Pc -- o,7oM (Vsina — ^sin^ji^sin^,
d'où
P — o,7oM( Vsina — c'sinlîjsinp,
et, dans celui du maximum d'cflet,
Une circonstance qu'il importe d'observer dans les roues dont on veut apprécier l'effet utile, c'est la manière dont l'eau s'en échappe; il arrive, en effet, souvent que l'intervalle entre
iga COEIBS DB MËCiniQUI
les aubes vers le bas de la roue n'est pas assez grand pour que le liquide sorte librement. Alors il s'accumule dans la roue et dansKespècedecylindreou d'entonnoir dans lequel elle tourne, s'y élève, sous l'aclion de ta gravité et de la force centrifuge, en forme de paraboloïde, jusqu'à ce que la pression qui en résulte sur l'orifice ou l'intervalle inférieur des aubes soit sufTisanie pour que le fluide affluant puisse s'écouler. Nous n'entrerons pas dans l'examen détaillé de ce qui se passe alors dans ces roues, et nous nous bornerons à Indiquer le moyen d'éviter cet inconvénient lors rie leur établissement. Pour cela, négligeant toujours la bauteur de la roue dans le sens vertical que l'on doit restreindre le plus possible, on aura dans te casdu maximum d'effet où cosec est sensiblement nul, pour la vitesse relative avec laquelle l'eau coule le long de l'aube,
c cos^,
ei, en la multipliant par l'aire libre par laquelle l'eau s'écoule vers le bas des aubes, on déterminera celle-ci ou l'angle p, de manière que le produit soit au moins égal au volume d'eau qui arrive sur la roue dans une seconde.
ST. Roues à patelles creuses. — Lorsque, au lieu d'être planes, les aubes présentent une forme concave [Jig. 55}, ce qui est
le cas des moulins du Basacle i Toulouse, et du moulin des
APPLIQUÉE AUX MACHINES. ig3
Trois-Tournants à Meiz, el que l'eau peut s'échapper librementy l'effet utile doit, toutes choses égales d'ailleurs, èire un peu plus grand que pour les aubes planes. Mais, comme dans ces roues on n'a pas évité le choc à l'entrée, ni la perte de force vive à la sortie, on ne peut guère espérer que la différence soit très-sensible. Dans les usines que nous venons de citer, le coursier qui amène l'eau sur la roue est presque ho* rizontal, l'échappement ne se fait pas librement, l'eau s'ac-* cumule dans la roue, et, d'après des observations faites par M. Poncelet, celles de Metz aux moulins des Trois-Tournants et des ^Quatre-Tournanis ne rendraient guère que le yï ^u travail absolu dû à la chute totale de l'eau dépensée.
58. Roues horizontales cylindriques à palettes courbes. — On dispose quelquefois les roues horizontales (Jig. 56) de manière que l'eau y agisse à son entrée par le choc et ensuite
Fig. 56.
par son poids, en descendant le long des aubes. Dans ce cas, la hauteur de la roue ne peut plus être négligée, el, en la désignant par z, il est facile de voir qu'en conservant les notations précédentes la perte de force vive à l'entrée sera encore (11)
M(Vslna — (/sin(3)^ La vitesse relative de l'eau au bas de la roue sera
v/(V cosa -h t^cosj3j'-h 2gz = u, et sa vitesse absolue de sortie, en nommant <p l'angle que fait
