BM:BG::BG:BL

d'où

BG' R' — r*

*** "^ BL ^ RcôsB-+-rcosD "^ ^P'

Le rayon p étant déterminé, on trace l'aube du centre C, situé sur BH, à la distance p de B.

Ce tracé s'appliquera, quel que soit le rayon intérieur de la roue, et l'on voit facilement que, u et &>R étant d'autant plus petits que R l'est lui-même, le terme soustractif

u} 4- M^R' — 2awRcos9

diminuera^ avec ce rayon. Toutes choses égales d'ailleurs» il conviendra donc de le faire le plus petit possible; mais on devra cependant avoir attention que la vitesse relative u, que conserve l'eau à sa sortie à l'intérieur de la roue, soit assez grande pour que, multipliée par l'aire de l'oriGce ou de l'intervalle libre entre les aubes à cette circonférence, elle donne un volume au moins égal à la plus grande quantité d'eau que l'on ait à admettre dans la roue, sans quoi celle-ci s'engorgerait : cela n'offrira d'ailleurs aucune difficulté.

Connaissant le nombre de tours que l'arbre vertical doit faire dans un temps donné, on aura la valeur de la vitesse an-

APPLIQUÉE AUX MACHINES. ao5

gulaire tù, et, comme V est donné par la chute disponible, on

déduira de la relation

correspondant au maximum d'effet,

le rayon extérieur de la roue sera donc déterminé dans chaque cas, et le rayon intérieur aura pour limite inférieure celle que nous venons d'indiquer.

On aura soin d'entourer la roue, vers la partie où l'eau y est introduite, xi'une portion de coursier circulaire, afln d'empêcher le liquide de s'échapper sans pénétrer dans la roue, et Ton facilitera, d'ailleurs, le dégorgement de l'eau dans le canal de fuite par des dispositions analogues à celles qui ont été prescrites pour les roues verticales à aubes courbes.

Ce système de roues n'a pas encore été soumis à l'expérience; mais il est probable qu'il rendrait, en pratique, autant que la roue verticale du même genre, c'est-à-dire environ o,65 à 0,75 de l'effet théorique, selon la grandeur de chute et la dépense d'eau.

Les exemples que nous venons de donner montrent comment et dans quel esprit on devra appliquer la théorie générale des récepteurs hydrauliques aux autres systèmes que nous n'avons pas examinés et qui pourraient se présenter (').

Roaes à aubes maes par on courant indéfini.

63. Description sommaire. — Ces roues ne diffèrent des roues à palettes ordinaires du n^ 20, qui se meuvent dans un coursier, qu'en ce qu'elles sont placées sur des cours d'eau dont la section excède de beaucoup la surface des ailes. On choisit ordinairement pour les établir les endroits du courant où la vitesse est la plus forte, et l'on monte ces roues sur les

(«) Foir, à la fin de la deuxième Section, la Théorie des effets mécaniques de la turbine de Foumejrron, par Poncelet (i83Ô). (K.)

ao6 COURS DE MÉGANIQUI

côlés d'un gros bateau ou entre deux bateaux» de manière que leurs aubes plongent dans Teau, ce qui les a fait nommer roues pendantes. Souvent aussi elles sont établies à demeure sur des pilotis, et Ton rétrécit le courant en avant des roues par une sorte de coursier qui laisse beaucoup de jeu aux aubes.

Dans tous les cas, la quantité de fluide qu'on peut faire agir sur la roue étant a peu près illimitée, la force de l'usine n'est bornée que par des conditions qui lui sont particulières; mais, en supposant les ailes construites, la quantité de travail transmise par la roue devient susceptible d'un maximum.

64. Formules par lesquelles on représente l* effort et le travail transmis aux aubes. — Nommons

12 l'aire de la partie des aubes qui plonge dans l'eau quand elles sont verticales;

V la vitesse du centre de cette aire;

V la vitesse du courant, en supposant la roue enlevée;

P l'effort exercé sur les aubes dans le sens de la circonférence décrite par le centre de l'aire plongée ;

A = — la hauteur due à la vitesse relative de l'aube cl

du courant; /r un coefficient numérique à déterminer par l'observation.

On suppose, d'après la théorie généralement reçue (*) aujourd'hui, que l'action de l'eau sur les aubes est analogue à celle qui aurait lieu dans le cas où l'on substituerait une seule aube verticale à toutes celles qui sont à la fois en prise, et si cette aube fuyait toujours devant le liquide avec la vitesse v; on admet, de plus, qu'alors le volume du fluide qui atteint la palette est proportionnel à la vitesse relative V — v et égalàû(V-(/).

Ces diverses hypothèses, sur lesquelles il est à désirer que l'expérience prononce d'une manière plus positive que le

(*) Architecture hydraulique de Bélidor, Nouvelle édition, note de M. Na- ▼ier, p. 407.

petit nombre d'observations que Ton possède jusqu'ici, conduisent à la relation

P=r k. 1000I2 = k. ioool2/{.

On en déduit, pour la quantité d'action transmise aux aubes dans une seconde,

Vv = A-.ioooii ^ '- V — k.ioooQhv^^"'.

Si l'on regarde le coefficient k comme indépendant de la vitesse c^ et comme constant, on trouve, en différentiamt le second membre par rapport à v, pour la condition du maximum d'effet,

ç^-ziy, et par suite P^^/i.ioooQ —

Vv=^V\ = ,\k.ioooil

^ff

65. Résultats d'expériences. — Les expériences de Bossut (') et une de M. Christian (') montrent que la valeur du

rapport ^9 qui correspond au maximum d'effet, est 0,40 au

lieu de o,3o, que l'on déduit des formules ci-dessus. C'est aussi ce que l'on conclut de l'observation de tous les moulins à bateaux du Rhône, où l'usage a conduit à adopter ce rap-

port ^g= 0,40 environ.

Avant d'indiquer les valeurs que l'on assigne à A*, d'après les observations que l'on possède, nous remarquerons que, à vitesses égales, ce nombre doit être plus grand pour les aubes qui ne sont qu'en partie plongées que pour celles qui le sont en entier, parce qu'il se forme, en avant des premiers, un remous qui augmente la hauteur du liquide sur la face d'amont, tandis qu'il se déprime toujours un peu sur la face d'aval.

(*) Hydrodynamique^ p. 382.

(*) Mécanique industrielle.

208 COURS DR MÉGANIQUI

D'après Bossut et une expérience de M. Boitard ('), k peut être regardé comme compris entre a et 3 pour les roues communément employées et qui ne plongent que du quart de lear rayon. Des observations, faites en 1825 par M. Ponceiet sur des moulins à bateaux établis sur le Rhône à Lyon, ont confirmé ces résultats. Les ailes ou aubes avaient de a",5o à a^jGS de longueur et plongeaient dans Teau de o™,65 à o^^^S, ce qui donnait une surface Q comprise entre i^'iyiôS et 2 mètres carrés; la vitesse du courant a varié de 1*^,30 à 2 mètres; celle du centre des aubes était moyennement 0,40 V. Dans ces circonstances, les valeurs de /r, déduites de l'observation des quantités de farine moulue, ce qui correspond à une quantité de travail assez exactement connue, ont été respectivement

dont la valeur moyenne est k := 2,8g. .

D'après cela on pourra admettre, quand la vitesse v du centre des aubes ne s'éloignera pas trop de 0,40 V, cette valeur moyenne k = 2,80 à 2,90.

66. Observations sur r incertitude des valeurs de k. — L'incertitude qui règne sur la valeur de k provientcde ce qu'il ne paraît pas que les hypothèses sur lesquelles «ei|Ëfondée l'expression du n" 64,

Przz/r.ioooû^'^ '

soient réellement admissibles. On femarquei

sont pas conformes au raisonnement du n** iO^^R^^ur l6;

cas d'une succession de palettes qui se substituent.^

aux autres dans le même lieu« en fuyant devint fS^^bide

avec une vitesse v dirigée dans le même sens que V^^us

donnerait ^^-^

iooôQV^^*^**»***" p^iooduir^y .

67. Comparaison des expériences de Bossut avec une autre formule déduite de celle du n? 10. — Or, en comparant entre

(*) Expériences sur la mairt'd' œuvre, etc, p. ya.

APPLIQUÉE AUX MACHINES. 20g

elles dix-sept expériences de Bossut rapportées page 382 , article 810, de son Hydrodynamique, et prenant pour abscisses d'une courbe les poids soulevés par la roue et pour ordonnées les vitesses v, M. Poncelet a trouvé que les points ainsi déterminés étaient sensiblement en ligne droite et que les résultats de ces expériences étaient représentés par les quatorze premières à i* près, et, pour les dernières, à ~ près,

par la formule

Dans ces expériences on avait

û =.0-^01 458, W^i^fiSS;

les aubes ne plongeaient qu'aux deux tiers de leur hauteur,

et la formule

p^ioooûV

g devient avec ces données

dont le rapport à celle que l'on déduit directement des expériences de fiossut est

On doit observer que Bossut a mesuré la vitesse à la surface à l'aide d'un moulinet, et que, par suite de la résistance de Tair sur les ailettes, il a obtenu une vitesse trop faible ; par ^nséquent, si dans la formule

p^ ioooQV g

on introduit la vitesse réelle à la surface, observée à l'aide d'un flotteur, on devra lui appliquer un coefficient plus petit que 1,04.

Les observations faites par M. Poncelet sur les trois moulins du Rhône dont nous avons déjà parlé indiquent aussi que, quand on prend pour V la vitesse à la surface, la pression I. 14

exercée sur le centre des aubes est exprimée assez exactement par

Ce résultat est d'ailleurs d'accord avec une expérience de M. Christian, Mécanique industrielle, t. P', p. 329, et d'après laquelle nous avons adopté (2^), pour la formule des roues à aubes tournant dans un coursier avec un grand jeu» le coefficient 0,75, qui, dans ce cas, est un peu plus faible que celui que nous venons d'indiquer, attendu que les aubes étaient beaucoup plus près du fond que de la surface do liquide dans lequel elles étaient entièrement plongées.

On pourra donc adopter avec confiance, pour l'expression de la quantité de travail transmise en une seconde au centte des aubes des roues pendantes, la formule

Il suit de cette discussion que les résultats de l'expérience sont beaucoup mieux représentés par la formule

^ Q loooûV.-. . „ , ioooi2,. ., P = o.8o (V — c} que par P — A* (V—c)',

quoique celle-ci soit plus généralement adoptée. Il est d'ailleurs facile de voir que, la première exprimant exactement ces résultats, pour que la seconde donnât les mêmes valeurs de P, il faudrait qu'on eût

d'où l'on voit que k varierait depuis /r=ri,6o, qui répond à f = o, jusqu'à /r = 00 , répondant h \ = v. Cependant, comme, dans la pratique, v s'éloigne peu de y à j de V, ce qui donne /r = 2,4o et A* = 2,60, on voit qu'on pourra aussi employer la formule le plus généralement admise, pourvu qu'on y fasse A* = a,5o, avec M. Navier, et que c s'éloigne peu de v = o,4V.

APPLIQUÉE AUX MACHINES. ail

68. Dimensions et proportions. — L'expérience a appris que, pour le meilleur effet des roues pendantes» les aubes doivent avoir en hauteur de 7 à 7 du rayon de la roue. Sur le Rhône^ cette hauteur varie de o",5o à o™,8o, et, de plus, leur bord supérieur est plongé de o™,5 au-dessous du niveau de Teau, ce qui est motivé sur ce que, le courant étant très-profond, sa plus grande vitesse répond à un point situé à une distance assez grande de sa surface supérieure. Quant à la longueur des ailes, elle n'est limitée que par les localités et la force que Ton veut donner à la machine.

L'emploi des rebords en saillie proposés par le chevalier Morosi, sur le pourtour de la face exposée directement à l'action du courant, ne peut être ici que très-avantageux pour l'augmentation de l'effet, de même que pour les roues à ailes qui se meuvent avec un grand jeu, dans des coursiers rectilignes.

Le nombre des aubes est ordinairement de douze; mais Bossut conclut de ses expériences qu'il faut le porter à dixhuit ou vingt-quatre. M. Navier conseille de faire leur écartement égal à leur hauteur, et de les incliner sur le rayon de manière qu'elles forment en avant de ce rayon un angle de 3o degrés quand la roue plonge de 7 à 7 de son rayon, et de i5 degrés quand elle plonge de 7 de son rayon, ce qui est la plus grande profondeur à laquelle la roue doive être immergée.

IL — Des moulins a vent.

69. Distinction entre les différents genres de moulins à vent. — L'action du vent comme moteur s'utilise au moyen de roues à ailes disposées de différentes manières, et qu'on nomme moulins à vent. Les uns ont leur axe de rotation vertical; dans les autres, il est à peu près horizontal et dirigé dans la direction du vent. Ces derniers sont, sauf quelques exceptions fort rares, les seuls dont on fasse usage dans la pratique, malgré les inconvénients qu'ils offrent à certains égards, parce qu'à dimensions égales ils sont susceptibles de produire un effet au moins huit fois égal à celui des autres. Cette diffé-

renée est due à ce que, dans le moulin à axe horizontal , la surface totale des ailes est en prise au vent et Test d'une manière utile pour refifet, tandis que dans le moulin à axe vertical il n'y en a qu'une qui reçoive directement l'action du vent, ou, si toutes sont en prise à la fois, elles occasionnent des résistances qui détruisent une partie de l'efTet; ce cas est» en particulier, celui des roues qu'on nomme panémores, dont les ailes sont formées de surfaces coniques, qui tantôl pré* sentent leur concavité à l'action du vent et tantôt leur convexité, de telle sorte que la roue ne marche qu'en vertu de l'excès de l'une des actions sur l'autre.

Dans les moulins dits à la polonaise^ l'axe vertical de la roue est armé de plusieurs ailes rectangulaires dont le plan comprend cet axe, et qui tournent dans une enveloppe cylindrique dont une partie est supprimée pour permettre l'accès au vent dans la direction la plus convenable. La disposition la plus ingénieuse des roues à axes verticaux est celle qui consiste dans des ailes rectangulaires qui reçoivent de l'arbre un mouvement tel, qu'elles s'orientent de la manière la plus avantageuse dans leur mouvement de transport autour de Taxe; mais ce système exige des appareils assez compliqués. Nous ne nous occuperons ici que des moulins à axe horizontal , dont l'ciTet a été particulièrement étudié par Smeaton (') et Coulomb.

70. Description sommaire des moulins à axe horizontal, — La roue, qu'on nomme volant, porte quatre bras ou rayons, sur chacun desquels est une aile à peu près plane, plus ou moins inclinée sur Taxe horizontal de la roue. On donne ordinairement à cette aile la forme d'un rectangle, et, au lieu de la composer d'un plan, on la construit en surface gauche dont les éléments sont perpendiculaires à la direction des bras co^ respondants; ce bras lui-même est à peu près rectiligne, de façon que la surface des voiles, appliquées sur les lattes qui représentent les génératrices de la surface, offre une certaine concavité à l'action du vent. La roue est orientée au moyen

( ) Recherches expérimentales sur l'eau et le vent, traduction de M. Girard*

d'un grand levier qui entraîne tout ou partie de la charpente qui contient la machine autour d'un axe vertical fixe; quelquefois le moulin est disposé de façon qu'il s'oriente de luimême ou par l'action du vent (*). Nous renverrons, pour les détails descriptifs, aux différents Traités de Mécanique pratique, l'objet de cet article, principalement extrait des Leçons llthographiées de M. Navier, à l'École des Ponts et Chaussées, étant seulement de faire connaître les conditions de l'établissement des volants des moulins à vent et ce que l'expérience a appris sur leur effet utile.

71. Théorie adoptée pour ces moulins, — On possède encore trop peu de résultats exacts sur la résistance des fluides pour qu'il soit possible d'établir une théorie complète de l'action du vent sur les ailes. Nous rapporterons en peu de mots celle que M. Navier a donnée, parce qu'elle est basée sur des considérations fort simples et qui s'accordent suffisamment bien avec les faits connus.

Les dimensions générales des ailes et de la roue sont ici censées données; car l'eiTet croîtra, toutes choses égales d'ailleurs, avec l'étendue de la surface de ces ailes.

Cela posé, nommons

V la vitesse du vent perpendiculairement au plan du mouvement de la roue ou parallèlement à l'axe;

o la surface d'un élément quelconque ab rectangulaire de l'aile compris entre deux génératrices de la surface, cet élément étant censé plan (^g*. 6i);

i' la vitesse circulaire du centre de l'élément ab;

n la densité de l'air ou le poids de l'unité de volume;

p l'effort exercé sur l'élément dans la direction mi/ de la vitesse de son centre;

k un coefficient constant numérique, censé fourni par l'expérience.

(*) Foir pour la description des moulins à vent : le Traité des Machines do M. Hachette, le Traité de Mécanique industrielle de M. Christian, la Mécanique appliquée aux arts de Borgnis.

ai4 COUES DB MËCAHIQDB

Vsin<p — ccoscp sera évidemment (iO) la viiesse relative du vent et de l'élément ab de l'aile, estimée suivant la perpendiculaire à cet élément. On suppose encore ici, avec plus

Fie. G..

jjj

mir

de raison que pour les roues hydrauliques mues par un courant indéfini (6V), que la pression dans celte même direction est proportionnelle au poids d'un prisme de fluide ayant o pour base, et pour liauteur celle due à la vitesse relative Vsinç — V cosç, c'esi-à-dire

„ (Vsina-croso)' Ho ■ )

quanlité que nous multiplions par le coefûcîenl k, à déier-

APPLIQUtB AUX MACBINBS* 21 5

miner d'après l'expérience, et dont la composante, dans le sens de la vitesse de rotation v de l'élément afr, sera ainsi

f n (V Sln <P — C COSQP

p = kUo ^ ^i-^cos9,

produisant, dans chaque unité de temps, la quantité de travail ou l'effet utile

, „ {Vsinç — vcosç)' pv = kUo ^-^i'cosç,

72. Conditions du maximum d^ effet. — Considérant d'abord ce qui concerne un élément plan en particulier (on suppose la surface de chaque aile réduite à cet élément), on remarquera que, la vitesse V du vent étanl toujours donnée, on ne peut faire varier dans cette expression, pour obtenir le maximum d'effet, que v et 9. Différentianl d'abord par rapport à v^ on trouve pour condition du maximum relatif

V ^, . * 4 7Tt V'sin»©

i/ = -jtang(p, dou pv = — kllo ^^ -,

faisant ensuite varier 9 jlans cette dernière expression, on trouve pour le maximum absolu

sin©:^!, d'où i'^x et pv^= — hUo

Ainsi la quantité d'action transmise à un élément quelconque sera d'autant plus grande que le plan de cet élément fera un plus petit angle avec celui du mouvement de la roue, ou, ce qui revient au même, que 9 sera plus grand et que la vitesse du centre de ce plan sera elle-même plus considérable.

73. Relation entre la vitesse des différents points de Vaile et l'inclinaison de ses éléments sur la direction du vent. — Cette analyse a été appliquée par M. Navier à la surface entière de l'aile, en la supposant plane, et, comme il le fait observer, les résultats qu'elle offre relativement au maximum d'effet sont suffisamment d'accord avec ceux des expériences qui seront rapportées plus loin. La décomposition de la sur-

2l6 COURS DE MÉCANIQUE

face de l'aile en ses éléments plans, pour la solution du problème, peut, comme l'a montré M. Coriolis (*), servir à faire voir pourquoi l'expérience n'est point entièrement d'accord avec les résultats ci-dessus, et pourquoi les éléments doivent former des angles de plus en plus petits avec le plan du mouvement à mesure que l'on s'éloigne du centre de la roue.

En effet, tous les éléments étant entraînés dans le même mouvement autour de Taxe, il n'est pas permis de supposer v et 9 arbitraires et indépendants comme nous l'avons fait; et, au lieu de considérer la quantité pv relative à un élément isolé, il faudrait considérer la somme de toutes les quantités d'action semblables pour la rendre maximum, problème dont la solution appartient au calcul des variations. Nommant

/ la largeur supposée constante des ailes,

r la distance de l'élément o à l'axe de rotation,

(ù la vitesse angulaire de la roue,

on aura

or= Idr, v = oùr, pv= (Vsîncp — o) r cos cp)' w cos <p rdr

et, pour l'effet utile total ou le travail transmis à la surface entière de l'aile,

kYLl

û)/(Vsin<p — wrcos<p)'coscprûfr,

intégrale qu'il faudra prendre entre les deux valeurs de r qui répondent aux extrémités de l'aile, et dont il s'agit réellement de rechercher la valeur maxima par rapport à 9, considéré comme une fonction de r à déterminer et pour une valeur donnée de oa.

Il faut, d'après les principes du calcul des variations et comme le fait observer M. de Coriolis à l'endroit cité, que la différentielle de la fonction sous le signe, prise par rapport à 9, soit égale à zéro, ce qui, en négligeant le facteur commun (Vsin 9— cacos 9 r)r, qui ne répond point à un maxi-

(') Du calcul de l'effet des machines, p. 3io et suiv.

APPLIQUÉE AUX HAGHIIfES. 21 7

mum, puisqu'il rend nulle l'intégrale, conduit à l'équation de condition

2(V cosç-f- 6)rsin9)cos9 — (Vsinç — cjcosf r)sîn9 = o

V(2 — lang*©) •+- 36>)rtang(p = o,

qui y étant résolue par rapport à tangcp, donne

3Mr /9 a)' r

^ng? = --vr-^\/7-w-^2,

attendu que tangç doit être ici positif. Or on voit que, V et &) étant donnés, tang(p doit augmenter avec la distance r de l'élément à l'axe, ce qui est conforme à rexpérience; on voit, de plus, que l'inclinaison de l'élément restera la plus avantageuse possible tant que la vitesse angulaire o) conservera un rapport constant avec la vitesse V du vent, c'est-à-dire si l'on fait tellement varier la charge p de la machine que la vitesse du vent soit en rapport constant avec le nombre des révolutions du volant, circonstance qui a également lieu dans la pratique, comme le démontrent les observations de Coulomb sur les moulins à vent des environs de Lille.

Pour achever la solution du problème, il resterait à substituer les valeurs de sincp et coscp en r, dans l'expression de l'effet utile total ci-dessus, puis à intégrer par rapport à r entre les limites convenables, et à difiTéreniier le résultat par rapport à w pour trouver la valeur de w qui répond au maximum; mais cela conduit, comme on peut le voir à Tendroit cité de l'ouvrage de M. Coriolis, à des calculs fort compliqués, et dont les résultats s'accordent d'ailleurs assez bien avec ceux de l'expérience, en prenant pour le coefficient k la valeur A* =: 3 adoptée par ce savant ingénieur, d'après des considérations théoriques qui lui sont particulières.

74. Résultats d'expériences. — Voici maintenant ce que les expériences de Coulomb et de Smeaton ont appris sur l'établissement des moulins à vent.

i** Figure des ailes. — Les ailes étant rectangulaires, la forme la plus avantageuse est celle des ailes dites à la hollau'

3l8 GOUU Dt MËCAIflQDI

daise, qui olTreni au venl une surrace légèrement concave, et dont les élémenis reciilignes sont disposés ainsi qu'il suiL Concevons le ra^on de l'aile partagé en ^o parties, prenons-en 10 à partir du centre au point t,qui désigne la première laite; puis porions-en6, de i à a, de 2 à 3, de 3 à 4> de 4 à 5, de S

à 6 {fig. 62). Les inclinaisons des lattes sur l'axe et sur le plan du mouvement doivent être réglées comme il suit :

Knmùroï <1« éièmPiils.

AnRlr r*il

IM le plan du m

uum «• nm.

La largeur de i'aile ne doit pas excéder f de sa longueur; elle en est ordinairement 7 ou -^ ; l'expérience a appris qu'on doit plutôt diminuer l'angle des éléments que l'augmenter.

D'après Smeaton, les ailes qui vont en s'élargissant vers leurs extrémités paraissent être plus avanugeuses que les autres à dimensions égales. La figure qui réussit le mieux en

APPLIQUEE AUX KACBIKEB. 319

grand est celle d'un trapèze formé en plaçant à l'extrémilé du

rayon un barreau égal au tiers du rayon, et partagé au puînloù

il le coupe dans le rapport de 3à s; ainsi, dans la^^. 63, on a

AB^fCO, BC = iAa, AC=^iAB.

Les inclinaisons des éléments transversaux restent les mêmes que ci-dessus.

Quanta l'inclinaison de l'axe par rapporta l'horizon, il est relatif à la nature des vents qui soufllent dans la contrée où il s'agit de faire l'établissement du moulin; dans les pays de plaine, tels que la Flandre et la Belgique, l'axe fait avec l'horizon un angle de 8 à 1 5 degrés, à peu près égal â celui du vent.

a" Viteisedes ailes par rapport à celle duvent. — Supposons les ailes construites comme ci-dessus, on doit, pour le meilleur effet, maintenir leur vitesse de rotation dans un rapport constant avec celle duvent; cette vitesse de rotation, mesurée à l'extrémité de l'aile, doit être, d'après Smeaton, égale à 2,6 ou 2,7 fois celle duvent, ce qui s'accorde exactement avec les expériences de Coulomh sur les moulins belges, desquelles on déduit le rapport 2,5 à a,6.

3** Quantité de travail transmise par les ailes. — Les ailes étant disposées suivant la méthode hollandaise, et leur vitesse étant dans le rapport assigné avec celle du vent, la quantité de travail transmise croit comme leur surface, et un peu moins rapidement que le cube de la vitesse du vent, de sorte que, celle-ci devenant double, il s'en faut de V^ que le travail transmis soit octuple. On peut négliger cette différence, et alors on. aura pour la quantité de travailtransmiseà chaque aile dans une seconde, d'après les expériences de Smeaton et de Coulomb,

Pi/ = ti,6 PV = o, i3 o V»»^»",

formule dans laquelle P est l'effort à l'extrémité des ailes et dans le sens du mouvement de rotation de cette extrémité, V la vitesse du vent en mètres, et o la surface d'une seule aile en mètres carrés. On n'a pas eu égard, dans les expériences, à la variation de densité de l'air selon la température, mais elle modifiera peu les résultats, qui seront toujours sufOsamment exacts pour la pratique. D'ailieurs, au moyen des données cidessus, on aura tout ce qu'il faut pour faire l'établissement des moulins à vent, quand on connaîtra la vitesse moyenne des vents régnants. La vitesse la plus convenable du vent pour le travail parait être celle de 6 à 7 mètres.

Smeaton a observé que, lorsque les ailes ne sont pas chargées ou tournent à vide, la vitesse que prennent leurs extrémités est en rapport constant avec celle du vent, de même que pour la charge qui répond au maximum d'effet; d'où il conclut an moyen assez simple de mesurer la vitesse du vent. Ce rapport est 4 pour les ailes hollandaises et élargies, c'est-à*dire que, pour avoir la vitesse du vent, il faudra diviser par 4 la vitesse de l'extrémité de l'aile.

in. — De l'emploi de la vapeur d'eau gomme moteur.

Notions générales.

75. Relations entre la densité y la température et la forée élastique des gaz. — Avant d'exposer les règles à l'aide desquelles on peut calculer la quantité d'action que développe la

vapeur dans les différents systèmes de machines» il est nécessaire de rappeler quelques notions physiques préliminaires relatives à sa densité, à sa température et à sa force élastique.

Si l'on renferme un poids donné d'un gaz permanent quelconque dans un vase, il résulte d'une loi établie par Mariotte qu'en faisant varier le volume qu'il occupe dans le vase» sans changer sa température, sa force élastique ou la pression qu'il exercera sur l'unité de surface variera en sens inverse du volume» ou, ce qui revient au même, proportionnellement à sa densité. Cette loi a été vérifiée dans ces derniers temps et étendue jusqu'à des pressions de 24 atmosphères, par MM. Dulong et Arago, à l'occasion de leurs belles expériences Sur la force élastique de la vapeur à différentes températures, dont nous donnerons les résultats.

D'un autre côté on sait, d'après une loi non moins importante, découverte par M. Gay-Lussac, que, si l'on fait varier la température d'un gaz, en maintenant sa tension au même degré, il se dilatera de manière que les augmentations de volume seront proportionnelles aux accroissements de température; de telle sorte que, le volume étant pris pour l'unité, à la température zéro, il sera i + 0,00875/ à la température de / degrés du thermomètre centigrade.

De ces deux lois il résulte un moyen très-simple de calculer le volume et la densité d'un gaz sous une pression et une température déterminées, lorsque l'on connatt l'une et l'autre sous une pression et une température différentes. Soient en effet

v' le volume du gaz;

n' sa densité ou le poids de l'unité de volume à la température V et sous la pression / ; les unes et les autres étant données par l'expérience ;

(^ et n son volume et sa densité à la température / et sous la pression p données.

Il s'agit de calculer (^ et n au moyen de /, /?, v\ H', /' et /?'. Pour cela, nommons encore Co» Ho, po le volume, la densité et la pression inconnus du même gaz à la température zéro ; nous aurons, d'après la loi de M. Gay-Lussac,

224 COUBS DE MÊGÀMIQUB

78. Application à la vapeur d'eau, — D'après cela, il sera facile de âentir dans quelles circonstances on pourra appliquer aux vapeurs les relations précédentes entre la densité, la température et la pression. On sait d'ailleurs, par expérience, qu'à la température de loo degrés C. et sous la pression at* mosphérique ordinaire, qui équivaut à i^So33 par centimètre carré, la densité ou le poids du mètre cube de vapeur d'eaa estons 588; faisant donc, dans la relation

Z'^ioo", p'=i^',o33, n'=o^s588, elle devient

et elle donnera facilement la densité ou le poids du mètre cube de vapeur et, par suite, le poids d'un volume quelconque, lorsqu'on connaîtra la pression par centimètre carré et la température.

Au moyen de cette relation, on trouvera facilement le poids d'un volume donné de vapeur à une température et une pression connues; en effet, en l'appelant gt, on aura

cj -: ne ;

on en tire

0,7827 Ts I-+- 0,00375/

cj — i — {—^pv ou ('— = 1^:1,277707 *—%

n-o,oo37D/^ n '" p

ce qui donne le volume d'un poids connu de vapeur en fonction de ce poids, de la température et de la pression par centimètre carré.

79. Relation entre la tension et la température de la vapeur d'eau. — Nous avons dit que, pour les vapeurs à l'état de saturation, il existait une relation entre leur tension ou leur force élastique et leur température. Cette relation a été l'objet de beaucoup de recherches de la part des physiciens et on la connaissait depuis quelque temps pour la vapeur d'eau sous

, APPLIQUAI AUX HACBmES. 225

les pressions le plus ordinairement employées dans la pratique, lorsqu'elle a été de nouveau déterminée avec le plus grand soin, jusqu'à des tensions très-grandes, par MM. Dulong et Arago, par une suite d'observations nombreuses, consignées dans les Annales de Chimie et de Physique y i83o, et dont voici les résultats :

Appelant

/ la tension ou force élastique de la vapeur exprimée en atmosphères de o",76 de mercure;

T l'excès de la température de la vapeur sur loo degrés, exprimé en fractions de la température loo degrés, prise pour unité.

Ces physiciens ont représenté les résultats de leurs expériences par la formule d*interpolation

T= ^-^~' , d'où /=( 1 + 0,7 i53T)'.

La pression atmosphérique prise pour unité, étant celle d'une colonne de mercure de o°»,76, revient, comme on sait, à i^«,o33 par centimètre carré, de sorte que, si nous désignons toujours par p la pression de la vapeur exprimée en kilogrammes et rapportée en centimètres carrés, nous aurons

/' = '"'*'33/ ou /=7n^;

de plus, / étant toujours la température centigrade de la vapeur, on a

en remplaçant donc /et T par ces valeurs dans la formule cidessus, elle devient '

relation qui donnera immédiatement la pression par centimètre carré en fonction de la température centigrade, et réciproquement.