II. i

194 COUBS DE HÉCANIQUB

le dernier élément de Taube avec rhorizon, aura pour va^ur

= V^tt*-+- v^ — 2ttvcoso;

au moyen de quoi l'équation générale du mouvement de cette roue sera

¥* me /JL » M(Vsîna — t'sinô)» 2

Pour rendre nulle la perte de force vive à rentrée de b roue, il suffira de faire en sorte (12) que

Vsinar^vsinp.

Quant à la vitesse Wy avec laquelle l'eau quitte la roue, elle ne peut être nulle généralement qu'autant que cos9 = i ei que M = (/; la première condition indique que l'aube doit avoir son dernier élément horizontal; la seconde revient à

(VcOSa -+- t'COSPJ^-h ^gZ -r (;».

En développant, puis remplaçant cos*a et cos^p par i — sin'a et I — sin'P, et retranchant des deux membres aVi'sinasin^, elle devient, toutes réductions faites,

V(/cos(a -f- P) -+-g(A -^ -z) = o;

d'où, en observant que a -h [3 = 180** — 0, en appelant l'angle de la vitesse V et de c' pris en sens contraire, on tire

Ycosô

Lorsque ces conditions seront satisfaites, on obtiendra le maximum d'effet théorique absolu

c'est-à-dire que ces roues, comme celles à augets et à aubes courbes, peuvent théoriquement transmettre toute la quantité de travail développée par la gravité sur l'eau dépensée; bien entendu qu'on ne prendra toujours pour h que la hauteur due à la vitesse que l'eau possède à son arrivée, après avoir subi les

ÀPPLIQUÊB AUX MACHINES. ig5

effets de la contraction et les différentes pertes qui peuvent provenir de la disposition de la prise d'eau.

Dans la pratique, il n'est pas possible de faire 9 = o, et l'on est obligé de donner à cet angle une ouverture d'au moins 3o degrés* comme dans les roues à aubes courbes ; mais il n'en résulte qu'une perte assez faible de force vive à la sortie.

On possède sur ces roues assez peu d'expériences propres à faire copnaître le rapport de l'effet utile pratique à l'effet théorique. Borda, qui en a donné une théorie, admet qu'il est égal à 0,75, et nous adopterons ce chiffre, en attendant des observations spéciales» de sorte que, dans le cas général, on aura pour formule pratique

Pv — 0,75 Mgr(A -f- 5) — — ^ î-^

et, dans le cas du maximum d'effet,

Pv — o,75Mg^(A 4- z) = 0,75 X ioooQ(A -4-2),

Q désignant, comme précédemment, en mètres cubes le volume d'eau dépensé en une seconde.

On remarquera que, dans l'établissement de ces roues, ii conviendra : 1° de faire z assez grand ou de diminuer A, afin que la vitesse d'introduction V ne soit pas trop forte, ce qii tendra à augmenter i^; i"" de diminuer, autant que possible, récartement des tambours concentriques qui envelopperont les aubes, afin que la vitesse v du milieu de ces aubes ne diffère pas trop de celle des circonférences intérieure et extérieure; 3" enfin, par la même raison, de faire la roue aussi grande que le comporteront les localités.

59. Turbine à axe vertical de M. Burdin. — M. Burdin, ingénieur des Mines, a proposé et construit des roues nommées par lui turbines, et dans lesquelles il a cherché à satisfaire aux conditions du maximum d'effet de la manière suivante. Le réservoir {fig. 67) est au-dessus de la roue, des orifices sont percés à son fond et prolongés par des tuyaux

ig6 COOHB DI MlClIdQDB

additionnels, dont le bas est horizontal et dirigé dans le sens de la circonTérence; la charge d'eau sur le centre de ces orifices est égale à la moitié de la chute totale et la vitesse de la roue au poiat où elle reçoit le liquide est celle due à celte

charge; l'eau atteint donc la roue à peu près sans vitesse relative. Elle s'échappe ensuite par des canaux renfermés dans deux enveloppes concentriques à l'axe et arrive au bas de la roue, après avoir parcouru une hauteur égale à l'autre moitié de la chute totale. Les extrcmiiés des canaux de fuite sont dirigées horizontalement et tangenliellementà la circonrérence dans le sens contraire à celui de son mouvement ; et, comme l'eau acquiert dans cette direction, en descendant, une vitesse due à la moitié de la chute, c'est-à-dire précisément égale à

APPLIQUÉE AUX HACHINB8. I97

celle de la roue, il s'ensuit qu'elle doil sortir sans vitesse absolue.

Dans une Note insérée dans les Annales des Mines, 2" série, p. 617, M. Burdin annonce que Teffet utile de ces roues est les o, 75 de la quantité de travail dépensée par le moteur.

60. Roues horizontales à axe conique. — Ce qui précède ne s'applique qu'aux roues cylindriques dans lesquelles le point d'entrée et celui de sortie de l'eau sont à la même distance de l'axe, de manière que sa vitesse ne peut être altérée par l'action de la force centrifuge; mais, quand l'eau entre dans la roue plus loin ou plus près de l'axe qu'elle n'en sort, cette force se joint à la gravité, pour changer la force vive due à la vitesse Initiale Vcosa + i'Cos{3, avec laquelle l'eau entre dans la roue.

Nommons

&) la vitesse angulaire constante de la roue ; R' la distance à l'axe du point d'entrée de l'eau; R la distance à l'axe du point de sortie;

La vitesse relative d'introduction sera

Vcosa-i- wR'cosp,

et la force possédée par l'eau à son entrée sera

M (V cos« -h wR' cos(3)^

En appelant u la vitesse relative avec laquelle l'eau s'écoule le long du dernier élément des aubes, sa force vive sera, à la sortie,

et, d'après le principe des forces vives, l'accroissement

M[a' — ( V cosa -f- wR' cos^)»]

devra être* égal au double de la quantité de travail due à la gravité pendant sa descente et qui sera

aMg-z,

augmentée ou diminuée du double de celle qui est dévelop-

198 COURS DE nÉGANIQUB

pée par la force centrifuge ('), selon qu'elle agit dans le sens

du mouvement de Teau ou en sens contraire; or la quantité

de travail total développée par la force centrifuge sur la

masse d'eau M passant de la distance R' à la distance R de

l'axe est (29)

Mw»(R^-R'^)

et, par conséquent, l'équation des forces vives relative à ce mouvement sera

M[w^— (Vcosa+wR'cosp)»] — 2Mg^z4-Mw'(R' — R"),

d'où l'on tire

II» — (Vcos a-!- w R'cos (3)' -^ 2 g^3H-&)^(R»— R'»).

En appelant toujours 9 l'angle de celte vitesse relative u ei de la vitesse coR de la roue au point de sortie, on aura, pour la vitesse absolue avec laquelle Teau quitte la roue,

et l'équation du mouvement de la roue sera, en désignant par V la vitesse d'un point quelconque et par P l'effort tangentiel exercé en ce point,

M(Vsina — wR'sinP)»

Vv-zMg{/i'\-z)'-

M(M» + 6)'R'— 2MwllC0S<p)

(*) On peut voir, par la Note du vS* 29, que ces considératiouSf doct à M. ^^avier {Architecture hydraulique de Bélidor, nouvelle édition, t. I, notera, p. t\oô)^ ne sont ici applicables que parce que l'axe de la roue est vertical, et qu'elles cesseraient de l'ùtre dans le cas où l'axe serait horizontal ou incliné, comme cela a lieu dans certaines roues fort ingénieuses, qui ont été imaginées par M. Burdin, et auxquelles il a appliqué cêncralement le nom de turbines, dans un Mémoire sur ces roues, présenté il y a déjà plusieurs années à TAcademie royale des Sciences de l'Institut. Cela pourra servir d'ailleurs à expliquer pourquoi les tentatives faites pour établir des turbines à axe horizontal ou incliné ont gv>néralement mal réussi, et je ne puis que me féliciter qu'en appelant en i83o l'attention de M. Coriolis sur cette fausse application du principe des forces vives il ait et • conduit à entreprendre sur ce sujet dct recherches dont il a été rendu, par MM. de Prony et Poisson, un compte très* favorable dans la séance de l'Académie des Sciences du 3i octobre dernier.

Les conditions du maximum d'effet seront encore

Vsina = wR' sin(3, 0059 == i et u = (ùK; la dernière donne

(Vcosa -f- wR'cos(3)* -+- !igz — &)*R'' = o, d'où l'on tirera, comme au n^ 58,

Vcos(a + P)"" VcosÔ '

en appelant 9 l'angle supplémentaire de a + ^, ou celui que la vitesse v de la roue fait avec celle de l'eau affluente.

L'établissement de ces roues est donc soumis aux mêmes conditions que celui des roues cylindriques, et l'on voit que, théoriquement, elles sont aussi susceptibles de donner le maximum absolu d'effet utile théorique. Dans la pratique, on admettra qu'elles réalisent 0,75 à 0,80 de cet effet théorique, jusqu'à ce que des expériences aient été faites.

61. Boue à réaction. — La théorie que nous venons de donner est due à M. Navier (') et convient particulièrement aux roues coniques ou à poires, ainsi qu'aux roues dites à réaction, telles que celles de Segner, de Manoury-Dectot. Dans cette dernière (Jig*58), l'eau entre dans la roue par la partie inférieure de son axe, qui est vertical; elle circule dans des canaux horizontaux perpendiculaires à cet axe et s'échappe à leur extrémité, en sens contraire du mouvement, par des orifices très-petits relativement au diamètre des tuyaux d'introduction. II suit de celte disposition que l'angle des viiesses V et wR' est à peu près droit, et que, d'une autre part, la vitesse V est très-faible ; par conséquent, la vitesse wR', relative au maximum d'effet, est inHnie, ce qui montre que ces roues doivent, au moins dans la pratique, marcher à de très-grandes vitesses. On observera, en leur appliquant la théorie précédente, qu'elles doivent être disposées de manière qu'il n'y ait dans les canaux où l'eau cir-

(*) Architecture hydraulique do BélidoFi 3* édition, p. 4^5.

COUBS DE MÉGAIVIQUI

cule ni étranglement ni coudes trop brusques capables de produire des pertes de force vive autres que celles dont nous

Fi{;. 58.

avons tenu compte. Il est facile, d'ailleurs, de voir que, Teau entrant sans choc dans la roue et ayant à sa sortie une vitesse relative égale à

H étant la hauteur de chute disponible au-dessus du centre de l*orifice de sortie, Téquation de ces roues sera

ou, en réduisant,

Pc = MwR(v/2grH-rw^' — û)R).

AftUQVtK AUX ■ACHINEg. 301

En différenliant le second membre on sérail conduii, pour le maximum d'effet, à la relaiion

qui ne peut évidemment être satisfaite que par uR = 90.

M. Navier admet que ces roues peuvent utiliser les 0,80 de l'effet théorique, et nous adopterons ce rapport, en attendant des observations dignes de confiance.

62. Nouvelle roue horizontale à aubes courbes, proposée en 1826 par M. Poncelet. ~ Dans ses Leçons de 1826, M. Poncelet a proposé une roue liorizontale (^g.Sg) analogue à sa robe

verticale à aubes courbes et dont l'équation s'établira Tacilement, d'après ce qui précède, en tenant compte de l'action delà force centrifuge. Dans celte roue l'eau arriverait à la circonférence extérieure langentiellemeni k des aubes courbes contenues entre deux plateaux horizontaux, puis circulant sur ces aubes, en vertu de la force acquise et sous l'action de la force centrifuge, sortirait de la roue par la circonférence intérieure avec une vitesse absolue qu'on peut rendre nulle ou très-petite.

En conservant toutes les notations précédentes, il est facile de voir que la perte de force vive à l'entrée sera nulle et

20a COUBS DE MÉCANIQUE

que la viiesse relative avec laquelle Teau entrera sur l'aube sera v -— cùK; de sorte qu'on aura, pour déterminer la vitesse relative u de sortie, l'équation

M((; - «R')' — Ma' r^: Mw^(R" — R»), d'où

L'équation du mouvement de la roue sera d'ailleurs, en faisant abstraction de l'action de la gravité sur l'eau pendant son passage dans la roue, parce que nous supposons que celle-ci n'a que peu de hauteur,

1^ «r Tï M(m' -hw'R»-- awwRcoso) Pv = Mgn ^^ — »

U étant la hauteur de chute disponible mesurée jusqu'au Olet moyen de la veine fluide à son entrée sur la roue. Le second membre sera encore un maximum quand on aura

cos9=^ I et wr= wR,

ce qui donne, pour déterminer (oR', la relation

Vr=2&)R' OU 0»R'--7

condition qui est la même que pour les roues à aubes courbes verticales. Dans le cas de maximum on a donc

c'est-à-dire qu'on pourrait théoriquement obtenir de ces roues le maximum absolu d'effet utile.

Dans la pratique on ne pourra pas rendre les aubes tangentes à la fois aux circonférences extérieure et intérieure, comme il serait nécessaire pour le maximum d'effet absolu, car l'eau n'entrerait ni ne sortirait avec la facilité convenable. On devra leur laisser faire avec ces circonférences un angle de 3o degrés à l'entrée et de 4^ degrés environ à la sortie; et comme, d'ailleurs, il est commode de leur donner la forme circulaire, leur tracé revient au problème suivant :

AfPLIQUtk ADX MACBINIS. ao3

Étant données deux circonférences concentriques, inaérer entre elles un arc de cercle qui, à sa rencontre avec chacune, fasse avec elle un angle donné.

Soient {fig. 60)

Fig. 60.

A le centre commun des deux circonférences;

AB = R, AD = r;

BC = p le rayon cherché de la courbure de l'auhe ;

ABH := B l'angle donné de l'aube avec la circonrérence extérieure ;

EDF::=D l'angle donné de celte aube avec la circonférence intérieure.

On aura, par les triangles ABC et ADC,

AC =R'-f-p' — 2RpcosB= r' + p'-(-2rpcûsD,

attendu que ABC = 180" — D ; on en tire

R* — f^ apfRc'osB -i- rcosD) et 2p = 77 ^ ^ ît-

f^^ ' '^ KcosB-t-rcosD

Pour construire celte expression, menez BG, tangente au cercle intérieur en G, vous aurez

2o4 COURS DE MÉGÀ1CIQ0I

projetez le centre A sur la ligne donnée AH, vous aurez

BH==RcosB.

Parle point H menez HI, faisant avec BH l'angle KHI = D; prenez HI = r; projetez I en K» vous aurez

HK=rcosD

et par suite

BK^RcosBh- rcosD.

Du point B comme centre et du rayon BK décrivez l'arc de cercle KL ; par sa rencontre en L avec la circonférence intérieure de la roue menez la sécante BL à cette circonférence, on aura évidemment