o,5ia

formule où nous nous contenterons de substituer, pour x, les valeurs 0,2, 0,7, 1,8, et qui donne respectivement :

Pour N = 33,84 révolutions à la minute... - ,.- — = o,845

PourN= 62,80 » • ... ^''^' = n.Q^^R

0)/igii '^

PourN=ioi,5i » ... — :=z==i,ii5

On peut voir encore, par le tableau des pages 46 et 47 du Mémoire souvent cité, concernant Torifice do o",2o diouverture, que ces résultats suivent la mémo marche que ceux de Texpérience, quoiqu'ils les surpassent généralement à nombre égal de révolutions de la roue. De plus, la formule qui les donne montre qu'ils tendent sensiblement à décroître,

avec la valeur du rapport ^r-, des orifices, ce qui ne paraîtrait pas avoir

(* ) En supposant, en effet, le rapport y- des oriOccs réduit à la moitié de

la valeur qu'on lui a attribuée ci-dessus, on trouve que le maximum de

devient 0,59 environ, et le nombre de tours correspondant 48, à peu prés comme l'indique rcxpcrience.

]ieu, à beaucoup près, avec la même rapidité, d'après la comparaison des données fournies par les tableaux relatifs aux levées de vanne de o™,o5 et o",a7, qui montrent, d'ailleurs, que le terme w*(R"— R"'), dû à la force centrifuge, exerce, en réalité, une influence bien moindre pour les petits que pour les grands oriQces. Mais, je le répète, de pareilles différences n'ont rien qui doive surprendre, puisque, indépendamment des résistances passives auxquelles la turbine se trouve soumise quand elle est noyée dans Teau du bief inférieur, le mouvement du liquide y éprouve diverses modifications dont on a négligé la considération dans ce qui précède, quoiqu'il ne soit nullement impossible d'y avoir égard dans l'établissement des formules.

En effet, nous avons jusqu'ici admis que l'intervalle compris entre le réservoir et la roue ne communique avec le milieu ambiant que par les' conduites formées par les aubes de cetle roue. Dans le fait, cet intervalle est entièrement séparé du fluide extérieur par la couronne qui sert de fond à la turbine et qui se prolonge jusqu'à son axe vertical sans aucun jeu appréciable; mais il n'en est pas ainsi de la couronne supérieure, qui laisse entre elle et le réservoir un espace annulaire par lequel le fluide peut s'échapper ou être introduit, selon que la pression />' surpasse la pression extérieure /> + n/i ou en est, au contraire, surpassée, circonstance qui altère nécessairement d'autant plus les effets que la lame d'eau affluente a moins d'épaisseur et que la vitesse angulaire est ellemême plus grande.

Nommant

j la largeur horizontale du jeu dont il s'agit;

o = 2 0R'7 l'aire du vide qu'il forme autour du réservoir cylindrique de la turbine;

w la vitesse avec laquelle le liquide tend, en général, à franchir ce vide, soit du dehors au dedans, s'il y a aspiration ou que la pression/?' se trouve être inférieure à n -f- /?/*', soit du dedans vers le dehors, s'il y a refooleuient ou que p* surpasse cette même pression.

Enfin, désignant par q =■ A\ow le volume, et par m = -A\ow la masse

du liquide expulsé ou introduit pendant une seconde au travers de o, dans le cas où la turbine est censée tourner sous l'eau du bief inférieur, A^ représentant d'ailleurs le coefficient de contraction qui se rapporte à l'ouverture annulaire o, on aura :

1° Pour l'équation du mouvement au travers des orifices du réservoir,

3o8 COURS DE MfiCÀNIQCE

2? Pour celle qui se rapporte à Pécoulement par Touverture o^ du dedans vers le dehors, ou si Ton a />'>/? 4- n/*',

du dehors au dedans, ou si Ton a, au contraire, p'<.p + nh\

ce qui donne simplement, d'après Téquation ci-dessus,

le signe négatif de w^ correspondant à la seconde hypothèse, qui est celle de l'aspiration ;

3** Pour l'équation qui se rapporte au mouvement relatif dans Tintérieur des conduites de la roue, lesquelles donnent toujours lieu à une dépense de fluide 0'u\ par seconde,

w"= c^'»- p« ^ ag-H - (i -t- K)U'

— Ôv r ' Ir ^*"'?-"'' "" ^^'V' sin^sina.Ua'j.

D'ailleurs on n'aura plus ici simplement la condition OU = OV, nuds bien cette autre relation

qui, avec les trois précédentes, suffira encore pour déterminer les vitesses d'écoulement U, «', «', les dépenses OU, O'i/', Â\ow^ ainsi que la pression inconnue /?', le signe inférieur de Â\ow se rapportant toujours au cas de l'aspiration. D'après cela, on n'éprouvera aucune difficulté à établir Téquation relative à l'cflet utile de la roue, si l'on observe, comme on vient de le faire pour établir l'avant-dernière des équations ci-dessus: I** qu'il n'y a pas lieu, dans le cas présent, de tenir compte de Tinfluenoe de la force vive /if«'*, qui est entièrement perdue pour cet efifet, puisque sa direction est perpendiculaire à celle du mouvement de la roue; ^"^ qu'on doit seulement avoir égard à l'accroissement ou à la diminution subie, selon les cas, par la dépense qui se fait au travers des orifices d'évacuation 0' de cette roue.

Toutefois, les résultats auxquels on sera ainsi conduit seront fort compliqués, puisqu'ils dépendent, en général, d'équations d'un degré élevé, et ne pourront être obtenus, dans chaque circonstance, que par la méthode des approximations successives.

Lorsque la turbine se trouve divisée par un diaphragme, une cou*

ronne intermédiaire, en deux parties dont la plus basse a pour hauteur tf', et que le fluide, animé de la vitesse U, afflue du réservoir sous une épaisseur e ou ke qui surpasse e\ les choses restent à peu près dans Tétât où l'on vient de les considérer ; mais il n'en est plus ainsi lorsque Tinverse a lieu, et les équations relatives au mouvement du liquide, comme celles qui se rapportent à l'effet utile même de la roue, doivent alors se partager en deux groupes distincts, ou plutôt on doit considérer séparément ce qui a lieu pour la capacité inférieure et pour la capacité supérieure où les circonstances du mouvement seront très-différenles, puisqu'il s'y fera généralement une aspiration plus ou moins puissante qui modiûera complètement la loi des eflV>ts.

Soient, pour cette même capacité, o,, C,, p\^ «',, m^ et «', les quantités analogues à celles que nous avons précédemment désignées par o, 0', p\ u, m et w, et qui, désormais, seront relatives à la capacité inférieure où Feau afflue d'une manière directe; on aura d'abord, pour remplacer l'équation en w^y posée ci-dessus,

tv^-

relation qui, à son tour, se rapporte au jeu de la couronne intermédiaire, et à laquelle il faudra joindre les trois suivantes :

"'î = *^ (n - 4) :^ *«''''' "■" = "" - "^^ -^ ^fi" (4 - n) - ''sf'',

en ayant soin, en outre, de considérer comme perte, dans l'équation rela- . tive à l'effet utile de la roue, la force vive ( /w h- /w, ) ( «',* -4- i>'^—7.u\ v' cosy) que possède la masse de liquide m h- m^ à sa sortie de la division supérieure de celle roue.

D'ailleurs la question, bien que plus compliquée, n'en sera pas moins susceptible d'une solution sufflsamment approchée pour le but à remplir, et dont ce qui précède servira à donner au moins une idée^ en montrant la nature des considérations sur lesquelles on doit l'appuyer.

Enfm si, dans la vue d'apprécier avec une plus rigoureuse exactitude encore les effets de la machine, on voulait tenir compte de la résistance qu'elle éprouve à se mouvoir dans l'eau du bief inférieur, on remarquerait qu'il n'y a pas lieu de s'occuper ici de celle qui peut provenir du choc sur la convexité extérieure des aubes, puisque le fluide moteur les occupe en entier et déplace continuellement celui du milieu ambiant, mais qu'il est, au contraire, indispensable d'avoir égard à la résistance qui s'opère sur les faces extérieares et horizontales des couronnes. Or on sait, d'après les ingénieuses expériences de Coulomb, que cette résis-

3lO GOUfiS DB MÊGAlflQUI

tance peut être représentée, pour Tuiiité de surface, par une expresàon de la forme a'c-^ 6'i''; a' et b' étant des coefficients à déterminer par Texpérience, et ("= &>R la vitesse du point de la couronne qui est situéeà la distance quelconque R de Taxe de la roue. On aura conséquemmcnt, et en observant que les surfaces frottantes sont au nombre de deux : I® Pour la résistance totale,

av — a 6) •- - — h aw -o w ; ;

a* Pour la perte de travail correspondante par seconde,

n , .aR'^-R"* II,, .aR'* — R"'

acr — /i w — , . -w w >-, >

Cette perte devant être introduite, parmi les autres, dans Téquation relative à Teffet utile de la roue, donnera lieu, pour les hypothèses qui nous ont d'abord occupé et après avoir été divisée par M.çH, à un terme soustractif de la forme

-O'gUu' S

5cr^/'(aR"-R''Mw2-H4cr//(aR"-R''M«*

qui compliquera beaucoup l'expression de cet effet, et dont on appréciera d'ailleurs l'influence avec une approximation sufTisante, du moins dans le cas des grandes vitesses, en négligeant la partie qui a pour coefficient a\ et qui devient alors très-petite vis-à-vis de l'autre, dont le facteur constant // pourra être pris égal à o,oo3C environ, d'après les recherchesde notre illustre confrère M. deProny, sur les lois qui régissent le mouvement uniforme de l'eau dans les canaux.

La perte proporlionnelle ou relative de travail, occasionnée par la résistance du liquide dans lequel la roue est plongée, se réduira ainsi à Fexpression

o,oii3i(aR'^-R''Mj''

4 /'rl-ï^O-^