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338 COURS DE HÊGAKIQUE
sant abstraclion du travail de la pesanteur : il viendra i^M(/<' - V) -+- ^dliT^i- (it = Vudt cos(//, P) -h Qufit cos(tf , Q).
Or on a, d'après la/J». 78,
cos(/<, P) = — sin(M, w) = -f
COS(//, 0) = -COS(f<, w) =--. ^ ;
d'où
«cos(tt, P) = — «'sinp, «cos(w, Q) — — (ft' — t'cosp).
L'équation ci -dessus devient, en observant que -j- = M',
^' (,,»VM-4-^^^----M'(Vsina-PsinB)P8inÔ
— M'{Vcosa-hPCosp— «')(«'— V cosp);
or on a, d'autre part,
w'= i;*H- «'' — ac'fv cosp, donc
' ' ' -- jM'[V*— c''— fi''-+-2C(vcosP-f-ac'sinP(psinp — - Vsina)
-+- a l' cos p («* cos P -H V cosa — «•) ~a«v(i'C0sp-+- Vcosa— »•)] = ^M'[V* — p' — <*^-h ap'-+-aV«'(cosaco8p — sinasinp)
— aivVcosan- acv*— apffcosp],
- ' = ;M'{V*-h«''-t-2Vi'C0s(a-Hp) — [alVcosa-t-PCOSP) — fv]«'{.
Cette expression montre que le travail absorbé se réduit à la force vive due à la vitesse relative, lorsque l'on a (v = o, c'est-à-dire lorsque le fluide finit par se réduire au repos relatif, comme dans presque toutes les roues à aubes planes. On obtiendrait le même résultat, si la vitesse finale iv acquérait une valeur double de la vitesse suivant le prolongement de Q, ou double de Vcosa -h f cosp.
Si la force Q est nulle, c'est-à-dire si l'on fait abstraction du frottement le long de la palette, et qu'on admette que le fluide puisse continuer à cheminer le long de la palette, sans que sa vitesse varie, la relation
Q = o donnera
«» = Vcosa -t-pcosp,
APPLIQUÉE AUX HAGHIIfES. 33g
et Texpression de la perte deviendra
|M'[V'H-p'H-2Vc(co8acosp — sinasinp) — (Vcosa-+-ccosP)*]
= |M'[V*-i-c*-+-2V»'(cosacosp — sinasinP)
— V'cos'a — p'cos'p — aVccosacosp]
= {M'(V'sin'a-t-f'sin'P~aVpsinxsinP)
= iM'(Vsin3t-PsinP)';
ce qui réduit la perte à l'expression donnée ( n** M ); mais il ne faut pas oublier que cette expression du n° il suppose que le fluide continue de circuler le long do la palette, avec la vitesse relative tangentielle initiale Vcosa-Hpcosp.
Remarque, ~ On parviendra aussi à Texpression générale ci-dessus, en réduisant la palette au repos et communiquant la vitesse v en sens contraire au fluide, puis n'ayant égard qu*aux vitesses correspondantes aux chemins relatifs, décrits par les points d'application de P et de Q.
in. — Note sur la détermination des conditions du maximum d*effet utile ^
déins les moulins à vent.
Cette question est traitée dans le texte (n**' 72 et 73, p. 2i5 et euiv.) Il ne paraît pas nécessaire d'avoir recours au calcul des variations, pour obtenir les conditions du maximum de rendement.
En effet, quel que soit f, il eJtiste une valeur de <p qui rendra maximum rexpre3sion du travail élémentaire pi> relatif à cette valeur de (', et la condition pour que le travail élémentaire ^t' soit un maximum est
//[(Vsinf> — pcosyl'cos^ï»] =o.
Il est clair que le travail total sera un maximum, si chaque travail élémentaire dont il se compose en est un lui-même. En dififôrentiant, il vient
a(V8inf — - pcos<p)(Vco3<p-f-PSiny) cos^ — (Vsin^ — i'COsy)'siny= o;
d*où, en supprimant le facteur ysin(p — pcos?, qui donnerait un travail
nul,
2(V cosïp-^ psin<p)c08f — (Vsiny— *'Cos<p)sin<p = o,
ou, en divisant par cos'<p,
a{V-hPtang<p) — (Vtangy— p)tang<p = o, V tang' <p — 3f tang<p = a V,
aa«
34o COURS D£ HÉGAMQUB
expression dans laquelle on doit prendre le signe + pour que tango soil positif.
En écrivant &>rà la place de v, il vient
3 Mr /q w'r'
L'équation précédente donne
Vsiny = |c'COS<î>-i- v/T«''-*-aV'coS(p
ou
V sinf — i'cosy = i i* cosf h- v/f«>^-T-2V*cosf, et par suite
(Ysinf — pco8<p)'cos(p = (-^ph- v^}p'-h2V')'cos'^,
(Vsin»— c'cos<p)'coscp =
('-f^-'Wir.-)"
ir. total - —
- w V I — ^ ~- T rar.
J (SV'n- >V'-+-3Vw/-v/-;wV=-raV')'
On facilitera l'intégration en exprimant plutôt rou c en fonction de?; en elTet, on a
3 tangy 3 ^^ ^
et il vient
(Vsin^ — f'cos^pj'cosf — Vsinç.— -- f sinç — a ^ j 1 cosf
- V'(!sin»(p -+-}cos'<p)'5^^?- - ^T -7-»
w/-= -- (tang^ — acoty),
w'/-*:::-- — (tang-^-h 4 cot'ç —a).
d'où
9 \cos'<p sin'^/ ;'
ÀPrUQUÉB AUX MACHlIfBS. 34
et, à cause de
tr. total= f^^ f± V i-'^-i '^) 4^-
les limites de Tintégrale étant déterminées par l'équation
3 wr /qw'H
dans laquelle on mettra, pourr, les deux valeurs limites de cette variable.
/i (f% 1 . /"lang? , I /• r/<j>
. ^— — - — tang»-t- / — — cos<pr/® = H / -^ sin^cos*<î' bin^ ^ J sin''<p ^ ^ cosfp J sinv
-/Sr"'"/™»(-T^^'")
/, I COS? r ^9
cosffd — — = -^— L^ / -^J-' ^ sin*3> sin*f J sm'<p
j sin-'y J bmy sm'cp ^m<p ^ J sin^'y ^
COt«p /*COS''p , COSy / * r/y /* f/y
siny J sin^y " ' sin'y J sm*y J siny'
J sm*f sin^y J
siny
j \sin<pcos''y sm^y / ^ cosy i J siny sin*y asin^y
J siny J sin^ycos^y J tang^y ^ ^'^*
, Aïli 1 f i 3 , ^ , cosy I cosreX
tr. total = — -- VM h- logtang^y h-— r- —7-) -+-const.,
gfti 81 \cos<p 2 ^ °'^ sm*y a sm'y/ '
expression où Ton peut substituer
, I — cosy lang{f= — -. — i.
°'^ siny
34^ G0UB8 DB MÉCANIQUE APrUQUÊB AUX MACHIIIES.
X'Il/ 1 Le travail total maximum sera obtenu en multipliant par — -- V
la diiïérenco des deux valeurs que prend la parenthèse, au moyen des deux
valeurs de y données par la relation tangy = - y" -^- 1/7 -yr "+'^»
lorsqu'on y mettra pour r chacune de ses valeurs limites. On aura, de cette façon, le travail relatif à une seule aile, et Ton pourra chercher ensuite quelle est la valeur de y qui le rend un maximum.
