NOTBS DIVERSES

Notice historique sur les roues hydrauliques à aubes courbai,

par M. le général Didion, Correspondant de l'Institut.

Les principes les plus féconds, les idées les plus heureuses, ne produisent pas immédiatement tout ce qu'on en peut obtenir avec le temps et la réflexion. C'est ce qui a eu lieu pour l'idée ingénieuse de Poncelet, qui consiste à remplacer la roue hydraulique à palettes planes, que l'eau frappe en dessous, par une roue à aubes courbes. lia voulu ainsi, en conservant à ce genre de roues ses propriétés, faire disparaître les pertes de forcea vives dans le choc de l'eau contre les palettes.

Pour obtenir ce résultat, Poncelet eut l'idée de courber les aubes, de régler la vitesse de la roue et de diriger la lame d'eau de façon que le liquide arrivât sur l'aubo sans choc et sortit presque sans vitesse.

Celte idée de Poncelet date de 1823, alors qu'il était capitaine du Génie, à Metz. Le a4 mai 1824, dans la séance générale de la Société des Lettres, Sciences et Arts de Metz, dont Poncelet était président, le rapporteur •s'exprimait en ces termes ( ' ) : « M. Poncelet nous a fait part d*un projet de roue hydraulique, dont il a déjà fuit construire un modèle en petit; il se propose de faire incessamment des expériences directes sur ce modèle, afin d'en constater les avantages d'une manière positive et indépendamment des données théoriques qu'il a pu suivre dans la construction. Les avantages du nouveau système consisteront particulièrement en ce qu1l ne sera pas nécessaire de changer les dimensions principales des anciennes roues, ni leur vitesse, et que l'eau agira toujours en dessous, bien que sans choc »

L'année suivante ('), on y donnait l'analyse du Mémoire de Poncelet sur la roue verticale à aubes courbes, mue par-dessous, lequel avait valu à l'auteur le prix de Mécanique que décerne annuellement Tins li tut (prix Montyon).

Dans ce Mémoire, avec Planches, Poncelet fait voir que les modifications proposées par divers auteurs aux roues à palettes planes n'ont que peu d'efficacité, qu'il faut avoir recours aux aubes cylindriques, dont le premier élément se raccorde tangentiellement avec l'élément de la roue; Teau arrivant sur ces surfaces courbes dans une direction à peu près tangente à leur premier élément doit s'y élever, sans les choquer, h la hauteur due à sa vitesse relative et redescendre en acquérant de nouveau la vitesse perdue qui se retrouvera alors en sens contraire de celle de la roue, de sorte que cette vitesse sera nulle si la vitesse du premier élément des aubes est moitié de celle du courant; mais, dans la pratique, la lame d'eau devant avoir une certaine épaisseur, il faut, pour la partie supérieure de celle lame, que l'élément de l'aube soit incliné sur la tangente à la circonférence, d'où résulte qu'à la sortie la vitesse ne pourra pas être nulle; il y avait donc nécessairement des pertes de forces vives. Des expériences faites sur un assez grand modèle de roues ont montré qu'on obtenait 0,67 de la force motrice absolue de l'eau.

Une nouvelle édition de ce travail, augmentée d'un second Mémoire sur les expériences en grand, et contenant une instruction pratique sur la manière de procéder à l'établissement des roues à aubes courbes, parut à Metz en 1827 (in-4**).

Les dispositions prescrites sont un coursier plan ayant une inclinaison au 77, pouvant être beaucoup moindre pour des lames d'eau épaisses. À cause de cette épaisseur, l'aube, à son origine, doit être inclinée sur la

(*) Société des Lettret^ Sciences et Arts de Metz^ année iSiS-tSs^f p* 5i. (') Séance de la Société de Metz du 9 Juin i8a5, année i8a4-i825, p. 54*

324 COUES DB MtCARIQUE

circonférence. (La figure indique une inclinaison de 24 d^;ré8.) L'élévation de i>au dans l'aube étant, au maximum, le quart de la hauteur de b chute, détermine la largeur que doit avoir la couronne. Le rayon de l'aube circulaire est donné par une perpendiculaire qu'on élève à la partie sapé-< rieure de la lame d'eau et qu'on prolonge au delà de la circonférence intérieure de la couronne d'une quantité égale à un septième de la lai^ geur de celle-ci. Ce tracé donne ainsi la courbure de l'aube.

Poncelet détermine ensuite le tracé du coursier. La ligne de pente do profil de ce coursier doit être tangente à la circonférence de la rooedaBS sa partie inférieure (sauf un petit jeu indispensable). D doit être suivi d'un arc de cercle d'une étendue telle qu'il embrasse plus d'un intervalle d aubes jusqu'à un ressaut au-dessus du bief d'aval, ressaut d'au moins 8 centimètres, qui peut être porté à o™,3o ou o",4o avec avantage. L'arête du ressaut doit être au point où Teau commence à sortir des aubes: t Or, dit Poncelet, la détermination de ce point a priori parait très-diflScile, va qu'elle dépend du temps que l'eau emploie à monter et à descendre le long des courbes et de l'espace parcouru pendant ce temps par la roue. L'appréciation de ce temps est, comme on sait, très-diflScile, pour ne pas dire impossible, môme en supposant que l'on connaisse bien la loi du mouvement dans les courbes, ce qui n'est pas. »

Poncelet indique que,'pour éviter le choc de l'eau contre l'épaisseur des couronnes, leur distance intérieure doit être plus grande que la largeur de la vanne et que le canal de fuite doit avoir beaucoup plus de largeur. 11 rapporte les expériences qu'il a faites avec un modèle de roue de o™,5oo de diamètre, un coursier au -^ suivi d'une partie circulaire avec ressaut et une vanne inclinée à 4^ degrés.

Les expériences ont été continuées en 1846, sur une roue de 3~,575 de diamètre (* ), réglée pour donner le maximum d'effet aux basses eaux. D a reconnu que la vitesse de la roue doit être o,55 de celle de l'eau à son arrivée sur l'aube, et que l'effet utile, déduction du frottement des tourillons, était 0,60 de l'effet total de l'eau. Il donne ensuite une ôttinictioD pratique sur le tracé de la roue et ses accessoires.

Poncelet a reproduit la théorie des roues à aubes courbes dans les leçons préparatoires au lever d'usine, formant les sections VI et Vn du Cours de Mécanique appliquée aux machines lithographie de l'École d'Application de rArtillcrie et du Génie à Metz, en 1 83 1-1 832. Elle figure également dans le cours lithographie en i836 et se trouve reproduite dans la présente édition, p. i5i et suiv. Le coursier au V; ou -;^ est déterminé conune pré-

(*) Roue motrice de la scierie de M. de Nicéville, à Metx ; expérienees tuxquelles je participais. (^Société des Lettres f Sciences et Arts de MetZp i8a6-i837>

cédemment et la largeur de )a couronne est augmentée pour parer au cas où la vitesse de la roue est moindre que la vitesse normale.

Poncelet avait reconnu que, par son tracé, les filets fluides parallèles au fond du coursier venaient rencontrer la circonférence de la roue et l'aube sous des angles différents et produisaient des pertes de forces vives. Pour y remédier, il substitua une spirale d'Archimède à la ligne droite inclinée au dixième, depuis le point où elle laisse sous la roue une distance égale à l'épaisseur adoptée de la lame d*eau. Il décrivait et donnait un dessin de ce nouveau tracé pour une roue de 4 mètres de diamètre, dans une lettre du 3o septembre 1844 à des industriels du Nord, et en préconisait les avantages. L'inclinaison de Taube à son origine, déterminée comme précédemment, était de 'jq degrés. Il montre par le parallélogramme dès vitesses la condition à remplir pour que Teau arrive sur Taube sans choc. Il pense que, dans ces conditions, les roues donneront 66 pour 100 de la force motrice de l'eau.

Dans une seconde lettre, en date du 2 avril 1846, à un constructeur, il reproduit à très-peu près le même tracé ; mais il détermine directement l'inclinaison de l'aube par la condition que, la vitesse de la roue à la circonférence étant moitié de celle de l'eau, le fluide arrive sur l'aube sans choc. Il constate que, d'après les expériences de M. Morin, par la substitution du coursier en spirale au coursier rectiligne, leffet utile est augmenté d'un sixième ; enfin il indique que, si l'on voulait plus de précision dans le tracé de la courbe du coursier, on adopterait une développante du cercle au lieu d'une spirale.

Cependant il y a lieu de remarquer que, par suite de la position du point où l'eau arrive sur l'aube et de la direction de bas en haut du filet inférieur de la lame d'eau, on était conduit à augmenter la largeur de la couronne et la grandeur du rayon de l'aube. Il en résultait que, dans quelques cas, le rendement restait notablement au-dessous du maximum dont nous avons parlé et que, dans la mise en train delà roue, l'effort, à la circonférence, était souvent inférieur à celui qu'il eût été nécessaire d'atteindre.

Un très-grand perfectionnement allait bientôt se réaliser, et j'ai été heureux d'en avoir reçu la communication du savant inventeur lui-même et d'avoir pu en faire le premier l'utile application, après en avoir complété l'étude.

Étant, en 1848, à la Direction des poudres, chargé du tracé de plusieurs roues hydrauliques en projet, je priai le général Poncelet de m'honorer de ses conseils et de m'indiquer les derniers perfectionnements qu'il avait apportés au tracé de ses ingénieuses roues à aubes courbes; il voulut bien me faire connaître le tracé nouveau, de beaucoup supérieur au précédent.

3^6 GOUaS Dl MÊCANIQUI

Dans ce tracé, cessant de s'astreindre à faire entrer Teau par la partie inférieure, comme cela résultait de la simple substitution des aobes courbes aux palettes planes, il adopte, pour le lieu où le filet moyen de la lame entre dans la roue, un point plus élevé du côté d'amont; il donne à Faube l'inclinaison et le rayon de courbure les plus convenables pour le dégagement suffisamment rapide de Teau, et cela indépendamment de répaisseur de la lame d'eau et de la largeur de la couronne. Il adopte un angle de 26 degrés pour finclinaison du premier élément de Taube sur la circonférence extérieure de la roue. Il donne à Taube, au moins à l'origine, un rayon de courbure assez petit qui, pour une roue de i",75 de rayon et une hauteur de chute de i^^So, se réduisait à o",5o.

La position du point d'admission du filet moyen étant fiiée, la vitesse de celui-ci dépendant de sa dislance à la surface du niveau d'aval était par cela môme déterminée; quant à sa directionnelle doit être prise de façon que le filet moyen arrive sur l'aube sans choc; elle est déterminée par la diagonale d'un parallélogramme dont le sommet est au point d'admission de l'eau, un côté sur la tangente au cercle de la roue, et dont la longueur représente sa vitesse à la cir^nférence ; le côté adjacent est parallèle à la tangente à l'aube, à son origine, et sa longueur est déter* minée par la condition que la diagonale représente la vitesse du filet moyen. La direction de celui-ci se trouve ainsi fixée. La longueur du côté tangent à l'aube représente la vitesse relative du filet moyen sur l'aube à son origine.

Le filet moyen, depuis le point où la lame d'eau atteint la roue, devant suivre une développante de cercle, le fond du coursier qui doit se trouver à une demi-épaisseur de lame de ce filet est par cela même déterminé, comme dans les tracés antérieurs que Poncelet avait proposés dès i838.

Poncelet indiquait bien que le point d'admission du filet moyen devait être élevé et avancé du côté d'amont, mais il ne précisait pas de quelle quantité. Il reconnaissait que la position de ce point aviii la plus grande influence sur la trajectoire de chaque molécule d'eau. H avait déjé reconnu dans son second Mémoire (voir la citation ci -dessus) Futilité et la difficulté de déterminer cette position; il avait essayé de le faire par l'analyse, mais la solution, môme entre ses mains habiles, avait échappé aux ressources qu'elle présente; il me disait n'avoir obtenu quelques résultats que dans le cas d'une aube plane. M. Resal, qui s'est paiement occupé de cette question, a bien voulu me communiquer à ce sujet la note suivante : « Poncelet a dû poser l'équation différentielle du mouvement d'une molécule sur une aube; il m'a dit l'avoir intégrée dans le cas d'une aube plane, mais n'avoir pu Tintégrer que par approximation dans les autres cas, résultats que j'ai retrouvés plus tard. »

Cependant la détermination de la trajectoire des molécules d'eau est indispensable pour choisir le point d'admission, puisque de là dépend

APPLIQUta AUX MAGBINE8. 3^7

Faction de Veau sur les aubes ainsi que les pertes de forces vives à la sortie de la roue.

C'est dans ces circonstances que j*ai entrepris de résoudre ce problème difficile. Je Tai essayé par des tracés géométriques, et je suis parvenu à une solution assez simple pour les applications et Tétude des diversed questions qui s*y rapportent. Je me suis servi d^ailleurs d'un théorème que Poncelet, dès Tannée iSSi, avait appliqué aux roues à augets à grande vitesse. Ce théorème consiste en ceci, que la c-omposante des deux forces auxquelles est soumise une molécule d'eau, placée sur Taube d'une roue animée d'un mouvement de rotation uniforme, savoir la pesanteur et la force centrifuge, passe constamment par un point situé sur la verticale du centre de la roue, à une distance égale au quotient de l'accélération de la pesanteur par le carré de la vitesse angulaire de la roue, (^o/rpage 175, n*» 46.)

J'ai pu ainsi déterminer, dans chaque cas, la trajectoire d'une molécule du filet moyen, sa vitesse en chaque point, la durée de son parcours, le point le plus près du centre de la roue, ensuite le point de sortie, son élévation au dessus du niveau d*aval, la grandeur et la direction de sa vitesse, par suite U perte de force vive, et par conséquent le rendement théorique.

Il m'a été possible, à l'aide des études dont il est question, de démontrer que pour le rendement il y a avantage à élever le point d'admission de l'eau tant que cette élévation n'entratne pas d'inconvénient par la trop grande inclinaison du coursier, que l'accroissement du rayon de l'aube éloigne le point de sortie de l'eau et augmente la perte de forces vives, et que le rapport de la vitesse de la circonférence de la roue à celle de filet moyen le plus favorable au rendement est égal à o,55, comme Tavaient démontré les expériences antérieures. Ce travail ( ' ) a paru causer une grande satisfaction à l'illustre inventeur.

Des applications de ce nouveau tracé ont été faites en vue de modifier des roues à aubes courbes de diverses poudreries et d*une usine à Metz, et en outre à une roue neuve de la poudrerie d'Angoulème. Partout le but a été atteint, notamment pour la dernière roue, où l'on a obtenu, en certains cas, un rendement de 78 pour 100, constaté par des expériences au frein dynamométrique.

(*) Ce travail, sous le titre; Etudes sur le tracé des roues hydrauliques à aubes courbes du général Poncelet, t été présenté à HAcadémie des Sciences dans les séances des 3 juin et 3o septembre 1867. L'Académie, sur le rapport d'une Commission composée de MM. Poncelet, Piobert et Morin, rapporteur, dans la séance du 1 décembre 1867, en a Toté l'impression dans le Recueil des Savants étrangers, 11 a été publié en 1870, grand in-4° avec planches.

328 COURS DK MÉCANIQUE

D'après ces études et ces résultats, je suis arrivé aux règles à suivrA ci-après, pour l*établissement des roues hydrauliques à aubes courbes.

Le rapport de Télévation du filet moyen de la veine fluide à la hauteur de la chute totale doit èlre de> ^ à j. Le rapport de la vitesse de la circonférence de la roue à celle du filet moyen est de o,55 ; mais, si le rayon delà roue était notablement moindre que la hauteur de chute, on pourrait réduire ce rapport à o,5o et prendre Tinclinaison de Taube sur la circonférence égale à 27 ou 28 degrés au lieu de 26. Le rayon de l'aube doit être égal au tiers de la hauteur de la chute mesurée du niveau d*aroont au point d'admission de l'eau sur la roue, au moins sur j de circonférence; au delà on peut employer un rayon plus grand. Le point inférieur de la roue peut être au-dessous du niveau d'aval de -pr ^ tt ^^ ^^ hauteur de la chute. On obtient ainsi facilement un rendement de 75 pour 100 et souvent davantage. De plus, les roues marchent facilement noyées lorsque le niveau d aval s'élève.

Lorsqu'on eut à établir la roue en fer de la poudrerie d'Angoalèroe, on dut prévoir le cas où la roue devrait avoir une vitesse très-faible, telle que iV <^^ ^ vitesse habituelle, et celui où la roue devrait marcher noyée d'une grande quantité par l'élévation du niveau d'aval et du niveau d'amont, et où il convenait de pouvoir verser une grande quantité d'eau sur la roue. Le général Poncelet indiqua, pour cette exigence particulière, l'établissement d'une ouverture supérieure en déversoir, indépendante de la première et dont les ajutages seraient dirigés de façon que l'eau arrivât sur les aubes courbes sans choc.

Ce dispositif eut un plein succès. L'ouverture supérieure permit, par son action seule, de faire marcher la roue comme une roue à augets, l'eau en dessus, avec la faible vitesse demandée ; et, en la combinant avec une faible ouverture de la vanne d'en bas, on arrivait à des vitesses beaucoup moindres et presque insensibles.

En second lieu, elle permettait de verser au besoin de très-grandes quantités d'eau pour augmenter de beaucoup la force de la roue ; enfin, par l'ouverture simultanée des deux vannes, elle permettait encore de faire marcher la roue noyée sur le tiers de son rayon.

Mais les aubes courbes se trouvaient assez bien combinées pour qne, par l'emploi de la vanne inférieure seule, on obtint ces avantages à un degré un peu moindre (').

Les derniers principes du tracé des roues à aubes courbes du général Poncelet, bien appliqués, sont, comme on le voit, une précieuse ressource pour l'industrie et pour utiliser des chutes d'eau depuis les plus faibles

(^) Foir le Mémoire de M. le capitaine Ordiuaire de Lacolonge, publié dani la rcviie ie Génie industriel, 1854.

jusqu'à celles de 3'",5oet au delà, avec des dimensions de roues en usage. C'éfait un vœu exprimé par Poncelet. On doit regretter que ces principes ne soient pas plus généralement appliqués et que le savant et regretté général n'ait pas pu, dans ses dernières années, diriger la construction de ces ingénieuses machines.

(Octobre 1875.)

Note BUT on frein à denx leviers parallèles, constndt d'après

les indications de Poncelet,

par M. E. Rolland, Membre de l'Institut.

En 1859, j'ai fait construire, d'après des indications très-préi||||^ qu'avait bien voulu me donner Poncelet, un frein à deux leviers {ràrallèles, qui présente des avantages marqués sur les modèles de freins généralement employés.

Deux leviers parallèles prolongés d'un même côté de l'arbre maintiennent les mâchoires; ils sont solidement reliés à Tune de leurs extrémités; le serrage se fait près de l'autre extrémité, à laquelle est suspendu le plateau. L'effort de serrage se trouve ainsi notablement réduit; l'opérateur est commodément placé, loin de l'arbre tournant, près du plateau qui reçoit les poids; la position du centre de gravité de l'appareil, qui est sur l'horizontale de l'arbre, permet une précision que l'on ne peut pas obtt^nir avec les freins à un seul bras. Poncelet n'a publié, à ma connaissance du moins, aucune Notice relative à cette disposition; on peut eu trouver la description dans le Mémoire sur les conditions à remplir dans Vemploi du frein djrnamométrique, par M. Kretz.

Notes relatives anx Leçons préparatoires an lever d'asines,

par M. Yvo:< Villarceac, Membre de Tlnstitut.

Poncelet m'avait prié, en 1845, de revoir la rédaction lithographiée des Leçons qu'il avait pressées à l'École d'applieation de Metz, et dont il se proposait de faire ta publication. Mon entrée à l'Observatoire de Paris, en 1846, ne m'a pas permis de continuer ce travail; mais j'avais déjà rédigé, à ce sujet, un certain nombre de Notes dont une partie se trouve textuellement reproduite ci-après.

L — Note relative aux pertes de force vipe dans les conduites.

Avant de traiter la question de l'écoulement d'on^l^de d'un réservoir dans un autre, n** 30, p. ii/]e vais établir une proposition préliminaire.

Voici comment il faut entendre le principe des forces vives.

L'accroissement des forces vives, augmenté du travail moléculaire résistant, est égal au travail moteur (*), diminué du travail résistant. Le travail moléculaire négatif peut se déduire de Tobservation dc^Ia force vive détruite ou dissimulée, sans Tintqfvention d'un travail dû è des forces extérieures.

Exempl/s: Masse d*eau agitée, sans que son centre de gravité se déplace, et bientôt réduite au repos apparent.

La force vive détruite ou dissimulée est ici, en la prenant négativement, Texpression du travail moléculaire développé.

On peut aussi déduire ce travail de la comparaison de deux expressions qui le renferment.

CherolU)ns le travail moléculaire développé dans le passage de l'eau, de l'oriûce ab dans le vase k'Wab (jîg, 76).

Fig. 76.

Soient

p la pression atmosphérique ;

P la pression dans la veine;

U la vitesse dans cette veine;

il' la section horizontale du vase inférieur

V la vitesse en A'B';

P, la pression sur le fond du vase;

n le poids de l'unité de volume du liquide.

Appliquons le principe du mouvement de centre de gravité à la masse contenue dans le vase inférieur, et considérons ce mouvement dans le sens vertical de bas en haut. Les forces qui agissent dans ce sens sont les pressions n'P,, — il' p et te poids — n'n^, du liquide. Si nous admettons que le mouvement par filets parallèles soit établi dans la tranche A'B', Tao-

(') Ici le travail moteur comprendrait letraYail moléculaire positif, tice dernier devait effectirement se développer.

APPLIQUÉI AUX MACHIHBS. 33 1

croissementde quantité de mouvement vertical pendant le temps t sera

g d'où l'équation

Appliquons maintenant le principe des forces vives au même système : nous aurons

n 9l. v't(V"~ U') h- ir.mol. rés. =- nn'V'r./i ^(P-^p)a'\'r

, , V"-U^ tr. mol. rés. , P-p

Ajoutons les équations (i), (2] et réduisons, il viendra

V'^H-U' tr. mol. rés. , , P,-P

2^ mvv'T • n

Or, nous pouvons supposer le fond CD' assez éloigné de Torifice pou r que le trouble ne pénètre pas jusqu'en CD'; et, comme il ne se manifeste qu'à une certaine distance de cet orifice, il est permis de supposer que les pressions se transmettront de ab en CD' comme si le fluide était en repos. On aura donc alors

P, = P-t-ri(^, -/*) ou ^, -/*- ^lZL? = o;

ce qui donnerait

. tr. mol. rés . V-i-U'

^ ' mi'V'T ~ ^g

Au moyen de cette valeur Téquation (a) deviendra,

d'où Ton tire

L'équation (3) montre que la perte de force vive est, ici, égale à la somme des forces vives dues aux vitesses initiale et finale et non pas à la force vive due à la différence de ces vitesses.

33a couBs VB mBcakiqub

On peut dédaire ce riâultat d'une proposition plus générale, que nous

allons démontrer.

Soient {fig. 77 ) 7 l'angle des directions initiale et Qnale d'un courant amujetti à circuler dans deux portions de conduite séparées par une

rie. 77-

plaque percée d'un orifice de section u' ; m' le coefficient de contraction. La section contractée a'i' sera m'a'.

Soient D' la vitesse dans cette section; U' la vitesse dans la section 11 de A'B', dans laquelle on suppose que le

parallélisme des filets soit rélabl^; h', h' les ordonnées des centres de gravité de u' et n au-dessous d'un

plan horizontal 6xe.

Appliquons te principe du mouvement du centre de gravité au système compris entre a'b' et A'B*. Pour cela, projetons les forces et tes vitesses sur l'Bse X du tuyau d'aval.

On pourra considérer la pression dans la section A'B' comme ne yariani qu'à raison des différences de niveau des dilTérents points de cette section.

Soient donc P et P" les pressions moyennes dans les sections o' 6' et A'fi'; M eur distance. Pourèlre plus rigoureux, il eùlfallu no passupposer nécessairement l'orifice a'b' sur le proloogement de ra»e X ; mais on serait parvenu au même résultat que ci-dessus, h' et A' représentant les < ordonnées des centres de gravité des orificeâ. Les projections des forces extérieures sur X multipliées par un temps t seront

(P'-P-jUT-t-im/^lç^T.

L'accroissement des quantités de mouvement projetées sera, wx bout du

temps T, en observant que la masse écoulée dans ce temps est - iiU*T,

îînU''T(U''-U'cos7); g

on a donc, en égalant ces expressions et divisant par nxir,

Appliquons maintenant Téquation des forces vives au même système : il viendra

- n aUVlU"'- U")-h ir. mol. ré8.= ilU''T(/>'- P'JH-imU'Tl^"- h')

U'^-U" Ir.mol.rés. F- P" ,. ,,

(7) -T^ -^ nau'T = ,— ri- ^ ^' "-^''

J'ajoute ces équations membre à membre, et je trouve, toutes inductions faites,

tr.mol.rés. U^^-hU^' U'U^cosy

iiaU^T ~ 2^ g ^

ou bien

tr.mol.rés. U'^- aU^U^côsy-^ U^'

^ ' nnU'T - 'ig

On remarquera -que la quantité

U'^-^U'U^cosY-f-U"'

n'est autre chose que le carré de la résultante des vitesses initiale et finale — U' et U"; donc ici le travail moléculaire résistant est égal à la force vive due à la vitesse relative.

Lorsqu'on suppose 7 = o, on trouve l'expression ordinaire

pour 7 = go** comme ci-dessus, il vient

ce qui est conforme à l'expression (3).

Appliquons ces résultats à la ques^n du n** 30 du texte, et considérons le système limité aux plans AB, A'B' (Jf%. 76 ).

334 COURS DE MÉCANIQUB

Il viendra^en conservant les notations des n*^ 24, 28 et 29, en observant que le travail moléculaire résistant se compose de deux parties : i^ Pour le passage de la section &>' à la section il,

2° Pour le passage de ab à À'B',

il viendra, dis-je, en divisant en outre^par ITXIUt,

— (V- Vn -4- — (U'- 1/)'-+- — (U'-+. V'=)

'^ff ^g ^g

En réunissant les termes de même espèce, il vient d'ailleurs

or on a ^

il s'ensuit

ou bien

) /■■ Il P— /? 2trL , . û s\ f = ^g(H- h] -h ag^ -j^ — (af/H-p«*).

^K/rf démonstration. — Appliquons Téquation des forces vives au système compris entre AB et ab {fig, 76).

Le travail moléculaire résistant sera encore, pour le passage de la section w' à ft.

Désignons par P la pression dans la section contractée ab ; le travail des

pressions sera

ftaT(P-P),

celui de la pesanteur sera

IIÛttTH,

et réquation des forces vives, en divisant tous les termes par uaur, deviendra

(lo) — (U*- V') ^ -L (U'- ny=--n H- ?-=^ - ^- (oLU H- SttM. liais on a (5), pour le cas qui nous occupe,

ajoutant membre à membre et réduisant, il vient

L[U'- V'+(U'- «y+ ^V"] = H -/,+ LZL? - ^ (a« + p«')

ou bien

équation identique avec l'équation (8 bis) trouvée ci-dessus. Discussion, — Reprenons Téquation (9)

Soient, en premier lieu, k et rp négligeables devant Tuni té. Supposons,

en outre, que la conduite ait le même diamètre que Torifice d'introduction a'b' ou »' = n, et de plus les pressions P et /? égales entre elles ou à la pression atmosphérique; on aura

Si de plus, o> = a, la contraction est nulle à la sortie de la conduite; il vient /7< = I , /i = U, et Téquation se réduit à

U'[i-f-(^,-iy] = aj?(H-A)-î5i(«U+fU').

Cette équation et la précédente n'offrent pas l'inconvénient, comme

celles correspondantes du texte, de donner U =00 ,dans l'hypothèse m'=\.

Pour déduire de la formule (9) l'équation relative au cas où l'extrémité

336 COUES DE MÉCANIQUE

ab déboucherait dans l'air, il faudra faire h = o, et faire disparaître de la formule (8 bis) les termes relatifs à la deuxième perte de force vive, et qui sont U' et V'^ puis aussi faire V = U, ce qui revient à retrancher aV"; il vient ainsi

Le mâme résultat se déduit immédiatement de Téquation (lo) spécialement applicable à ce cas, en y faisant P = /?.

Si Ton a ensuite P =/?, ^ = o, w = w'= U; on en déduit //r = i, w = U,

et il vient

II. — Note relative à la perte de force vive au moment où ieflidde

atteint le récepteur.

Cette Note se rapporte à la question traitée par Poncelet dans les n*" 10 et 11, p. i35 et suiv.

Il est facile de voir que, si le fluide, après avoir choqué la palette, 6nit par prendre le mouvement môme de cette palette, comme cela a lieu dans le plus grand nombre des cas, le travail absorbé par les tourbillonnements est égal à la force vive due à la vitesse relative de Teau et de la palette à l'instant de leur rencontre : il a pour expression, dans le cas actuel,

iM[V' -^ P^-i- 2 Vrcos(a -f. P)].

En effet, le travail dont il s*agit ne dépend que des circonstances du mouvement relatif, et nullement des vitesses absolues, de sorte que, si Ton communique à la palette et au fluide une vitesse égale et de sens contraire à celle du fluide, la palette sera réduite au repos et l'eau animée de la vitesse résultante de v en sens contraire et de Y, résultante dont le carré est égal au facteur de j M dans l'expression ci -dessus. Or, le travail absorbé par les tourbillonnements est nécessairement égal à la force vire possédée par Feau dans son mouvement relatif, pui;»que Teau qui posséderait, dans le mouvement absolu, la vitesse de la palette, se trouverait réduite au repos dans le mouvement relatif. c. q. f. d.

Expression générale du travail absorbé dans le cas oîi le fluide n^est pas finalement réduit au repos relatif, — Soient {fig, 78)

Fig. 78.

dM. la masse du fluide qui s'écoute pendant le temps at ; — = M' la vitesse qui s'écoule pendant Tunité de temps;

V la vitesse de la palette ;

V la vitesse du fluide avant le choc;

w la vitesse relative le long de la palette après le choc ; n la vitesse absolue des molécules fluides après le choc; P et les composantes normale et tangentielle de l'action résultante.

exercée sur la masse fluide DA, tant par la palette que par le fluide avec

lequel la masse DA peut être en contact.

Ces actions ne dépendent que du mouvement relatif : communiquons la vitesse p au fluide en sens contraire de la vitesse v de la palette; nous pourrons considérer la palette comme étant en repos, et les vitesses relatives seront :

SalTftDt P. SuiTant Q.

Avantlechoc csinp -Vsina, - (Vcosa 4- ^ cosf),

Après le choc

Appliquons le théorème du mouvement du centre de gravité au mouvement de AD suivant les axes P et Q; il viendra

P^ — — </M(('sinp--Vsina), Qdt = rfM(— w-+- Vcosa -+-PCOsP),

d'où

P==M'(Vsin5c~ l'sinp),

Q = M'(Vcosa-f-pco8p — cf):

ces équations sont faciles à interpréter.

Actuellement, nous allons appliquer le principe des forces vives, en fai-