fixation de la hauteur du point de contact des poulies

APPLIQnfiB ALI MACHINES. 89!

extérieures et des chaînes. — La tension T" n'étani point nulle, ni les grosses chaînes totalement repliées vers la fin du mouvemeni du tablier, 11 faudra encore s'occuper de mettre en équilibre, pour cet insunt, la tension T* avec le poids des armatures supérieures, celui des plaques non repliées ei desportions de petites chaînes MF (Jîg. io3) pendantes sous les poulies D.

Or, comme il pourrait arri^ er dans certains cas et notamment pour certaines, dispositions des poulies extérieures C, que le poids seul des armatures dut surpasser h tension T", on voit qu'il n'y aurait aucun moyen de mettre le système en équilibre, pour la position dont il s'agit, si l'on prêiendaiinerien changer à la disposition de ces poulies et du poin t d'attache B du tablier; c'est pourquoi il sera à propos de régler à l'avance ces objets pour satisfaire aux conditions de l'équilibre. Soient donc q le poids des portions de petites chaînes MF, suspendues verlicalement sous la poulie D, g' le poids présumé des armatures en F, augmenté de la moitié du poids des premières plaques de grosses chaînes, qui s'assemblent sur ces armatures et qu'on suppose ici horizontales pour la position verticale du tablier; on aura, pour déterminer T", la relation

en négligeant l'action du poids des portions de chaînes BI et IM. Mais, comme il reste toujours quelque inceriilude sur le

3ga COURS db mêcaiiiqui

poids véritable de ces différentes parties, sur celui du tablier, etc. , Usera bon de prendre le poids 9' plutôt trop fort que trop faible, afin de n'avoir rien à retrancher sur celui des armatures et des premières plaques lors de leur mise en place; peut-être même serait-il convenable de supposer un système de plaques tout entier suspendu aux armatures, afin d'augmenter la pression et le frottement des petites chaînes sur la gorge des poulies D, et d'éviter ainsi un glissement qui s'opposerait à la manœuvre du pont vers l'instant que nous considérons.

Maintenant, pour déterminer la hauteur du point de contact moyen I de la poulie antérieure, on remarquera que le poids P du tablier a pour bras de levier la distance GLde son centre de gravité à la verticale de l'axe A des tourillons, tandis que celui de T'' est égal à la perpendiculaire AK abaissée, du même axe, sur sa direction IB; en sorte qu'on a

P.LG = Ï^AK, d'où AK=|^LG,

ce qui fixe la position de IK quand B est donné, et par suite celle de I.

35. Idée de Vinjluence de la constitution physique Ves chaînes. — Les observations qui précèdent suffisent pour prouver que le système de contre-poids mis en usage pourra remplir convenablement les conditions du problème dans le cas où le point I sera pris sur la verticale de l'axe des tourillons A; cependant on conçoit aisément que l'équilibre ne pourrait avoir lieu rigoureusement pour toutes les positions du tablier qu'autant que les chaînes du contre-poids auraient une forme exactement continue ou que ses articulations seraient infiniment rapprochées; mais comme, au contraire, la distance des boulons a été supposée de o"", 11, on voit qu'il n'y aura qu'un certain nombre de positions d'équilibre rigoureux; par exemple, si la portion L'— L" de chaîne extérieure qui passe sur la poulie est seulement de 5°", !2o, la longueur des grosses chaînes susceptibles de se replier sera

APPLIQOtB AUX MACBIHU. SgS

ce qui ne comporte environ que 35 ou 26 articulations, en comptant celles des extrémités, auxquelles d'ailleurs, comme cela parait évident a priori, il doit correspondre tout au moins a4 positions d'équilibre du système, en ne comptant pas les articulations extrêmes.

Cet aperçu est déjà sans doute bien rassurant pour ceux qui se proposeraient de mettre le pont-levis qui nous occupe en pratique; mais en examinant, comme on l'a fait dans les articles 55 et suivants du Mémoire déjà cité, Sur le ponl-levii à contre-poids variables {Mémorial de COf/îcier du Génie, n" 5), en examinant, dis-Je, ce qui se passe lorsqu'un même système de plaques se replie vers la partie inférieure des grosses chaînes, on trouve que, non-seulement il y a rigoureusement équilibre dans la position horizonule de ces plaques, mais encore dans celles où elles prennent, par rapport à la verticale, une position symétirlque à l'égard du système de plaques qui les suit ou qui les précède immédiatement; d'où il résulte qu'il y a, non pas seulement 34 positions d'équilibre, mais bien 48. De plus, le calcul démontre que le plus grand elTori relatif aux différences d'équilibre, qui ont lieu dans les

positions intermédiaires, ne s'élève pas à ii^*,5o pour un poids de tablier supposé de 3ooo kilogrammes et en ayant

$94 COURS DB MÉCAIflQUB

égard au système total des grosses chatnes qui forment le contre-poids. EnOn, dans le cas où les chatnes sont disposées de façon que, les prenant deux à deux, la plaque inférieure de Pune soit horizontale [fig, io4), quand celle de l'autre est inclinée à 3o degrés environ sur la verticale, on trouve qu'il y a naturellement alors un nombre double de positions d'équilibre, c'est-à-dire, environ 96; ce qui, certes, est plus que suffisant pour assurer la réussite de ce système de pont-levis sous le rapport de l'équilibre.

Néanmoins il est à remarquer qu'on n'a pas tenu compte, dans ce qui précède, de l'influence du poids des petites chaînes du pont, lesquelles, pesant environ 6 kilogrammes par mètre courant, peuvent occasionner des différences d'équilibre, qui vont jusqu'à 60 et même 70 kilogrammes vers la position horizontale ou verticale du tablier. Ces différences exigeant l'effort de plus d'un homme méritent d'être prises en considération; or il sera facile de tenir compte de ce poids des petites chatnes, dans les- calculs relatifs aux grosses chatnes du contre-poids.

36. Manière de tenir compte du poids des petites chatnes. — Supposons le tablier parvenu à une position quelconque AB {/ig. io5), nommons p le poids du mètre courant des pe-

Fig. io5.

tites chatnes; celui de la longueur BI de la chaîne extérieure sera p/, qui doit être censé concentré au point et qu'on

APPLIQUÉE AUX MACHINES. SgS

pourra décomposer en deux, l'un p - agissant au poini de con-

tact I de la poulie, l'autre p - agissant au point d'attache B du

tablier, lequel s'ajoute à la composante p de son poids, de

sorte que

/)-+-ip/

sera l'effort total qui agit en B. Maintenant^ si l'on décompose la force verticale -yp/ appliquée en I en deux, l'une agissant normalement à la gorge de la poulie et qui sera détruite par la résistance des tourillons C, l'autre agissant suivant la direction IB, pour entraîner le tablier dans le sens de p, on prouvera facilement que ce dernier effort est équivalent au poids d'une portion de chaîne ayant pour longueur la projection rO'... de 10 sur la verticale du point d'attache F du contre-poids Q, et finalement on conclura qu'en vertu du poids des petites chaînes le contre-poids Q se trouve augmenté de la quantité p.O'F égale au poids de la portion de chaîne O'F, qui représente la différence de hauteur du point milieu de BI et du point d'attache F du contre-poids. Et comme on aura encore

/ : D 4- |p/ :: BI : AT, d'où / = l ^'^J^K

il est clair que la valeur du contre-poids Q, rectifiée d'après les nouvelles hypothèses, sera

Sx xl

quantité que l'on calculera facilement pour chaque position particulière du tablier, ce qui donnera la loi exacte suivant laquelle doivent varier les épaisseurs correspondantes des grosses chaînes du contre-poids, si l'on a soin de changer le signe de O'F quand la hauteur du point F devient supérieure à celle de ou 0'.

37. Construction définitive des chaînes du contre-poids, pour le cas où la poulie antérieure répond à taxe du tablier.

396 COOBS DE MSuniQDB

— On trouve ainsi (') que ctiacune des grosses chaînes doBi il s'agit doit se constituer de deux parties, l'une qui a un poids uniforme el qui se construit facilement, l'autre dont le poids doit aller en augmenunt, à compter de l'armature supérieure, suivant les termes de la progression arithmétique i, a, 3, 4.—: ce qui assigne au tout une forme trapézolde abcd (fig. 106]

Fig. 106.

qu'on obtieni en ajoutant aux divers boulons des rondelles ou de petites plaques, dont le poids augmente convenablement de l'armature supérieure à l'armature inférieure. Hais on démontre, parles mêmes calculs, qu'en se contentant de donner aux chaînes du contre-poids une épaisseur uniforme a'b' moyenne entre celles afr el cd que doivent recevoir leurs extrémités, d'après l'équaiion ci-dessus, l'équilibre ne sera nullement troublé pour les positions initiale et finale du u-

° s du Uémorial de l 'Oficier du Gtaie, page* 96

▲ PPLIQUÉB AUX MACHIKBS. 897

blier, et que, dans les positions intermédiaires, les altérations totales d'équilibre ne s'élèveront pas au delà de 1 4 kilogrammes pour des tabliers qui en pèseraient 3ooo; quantité qu'on peut ici négliger sans inconvénient, attendu que, pour les positions intermédiaires dont il s'agit, la puissance appliquée aux grandes poulies de manœuvre n'a à vaincre qu'une partie des résistances passives qui correspondent à la position horizontaie du tablier.

D'après cela, nommant Q' et Q'' les valeurs de Q relatives à la plus grande et à la plus petite longueur L'et L^ des chaînes

extérieures BI, le poids total des grosses chaînes sur la hau-

£' Ijf

teur devra être pris égal à Q' — Q"; ce qui fixera entièrement les dimensions de ces dernières chaînes, en supposant qu'au préalable on ait réglé convenablement le poids des armatures supérieures et la position du point I, conformément à ce qui a été indiqué précédemment.

38. Cas général où la poulie antérieure a une situation quelconque. — Le calcul du poids des grosses chaînes et leur construction ne sont guère plus difficiles pour le cas où le point de contact moyen I [/ig. 107) de la poulie antérieure a

Fig. 107.

une situation quelconque que pour celui où il se trouve sur la verticale même de l'axe A des tourillons, si Ton continue toutefois à supposer que ce dernier, le centre de gravité du

398 COURS DE MÉGANIQUE

tablier et le point d'attache B des chaînes soient situés sur une même ligne droite.

Prolongeons, en effet, la verlicale du point I jusqu'à sa renconlre en H avec la droite AB du tablier; nous avons déjà trouvé que le poids qui agit en B, eu égard au poids des petites chaînes du pont, est

ainsi la tension / de la chaîne extérieure qui maintient ce poids en équilibre s'obtiendra par la proportion suivante :

/:p-+-|/::BI:HI, d'où /=z:L-+.£Ai,

expression facile à calculer par la considération du triangle BIH, ou par des opérations purement graphiques; car, si l'on porte de I en S, sur la verticale IH, un nombre de millimètres ou de centimètres égal au nombre de kilogrammes contenus

dans /> + -/, puis qu'on mène SL parallèle à BH, IL exprimera

évidemment, dans les mêmes unités, le nombre de kilogrammes de /. Pour obtenir ensuite k valeur totale de Q, on projettera, comme on l'a expliqué ci-dessus, le point milieu de BI en 0' sur la verlicale du point d'attache F des grosses chaînes, et l'on aura, pour la position actuelle de F et de 0,

Q={p-^pi)-^-p.O'F,

relation qui donnera rapidement les valeurs de Q qui répondent aux différentes positions du tablier, et qui permettra ainsi de calculer les dimensions de chaque partie des grosses chaînes qui constituent le contre-poids.

39. Construction des chaînes du contre-poids pour le cas général. — Considérant d'abord le tablier dans la position où il bat contre les montants verticaux de la porte, et nommant Q'^ la valeur correspondante de Q, qui sera essentiellement positive, si l'on a convenablement fixé la hauteur du point I

appuquBb aux lAcniitis. 39g

des poulies antérieures, aiosi qu'il a élé déjà expliqué pour le cas précédent, on réglera les dimensions ei le poids de l'armature, etc., d'après la supposition que le premier rang de plaques a,a, l^fig. 108) qui s'y assemblent soil dans une si-

tuation horizontale, et observant que la moitié seulement du poids de ces plaques agit sur F, Considérant ensuite le tablier dans laposilion où le système de plaques suivant a, a, est, à son tour, devenu horizontal et où il pèse par la moitié de son poids en F, augmentée du poids des seconds boulons, la valeur correspondante de Q, diminuée de Q", donnera précisément cette moilié de poids, etc.

Considérant pareillement le tablier dans la position où le système suivant 0,0^ de plaques est à son tour horizontal, on déterminera de même leur poids et celui du troisième boulon, et ainsi de suite jusqu'à la position horizontale du lablier.

On remarquera, lors du calcul des valeurs successives de Q, que, si l'on nomme c l'intervalle compris entre les centres des trous de boulons d'une même plaque, augmenté du jeu de ces boulons, la grosse chaîne du contre-poids s'allonge, à chacune des opérations ci-dessus, de la quantité c, tandis que la

4oO COURS DB MÊCllfIQUB

petite chaîne extérieure s'allonge du double ou de 2c, en sorte que, L" étant la valeur de / qui répond à Q =Q'', les valeurs de Q, successivement considérées, répondront à

Ayant construit ainsi, de proche en proche, toute la partie des grosses chaînes qui répond au mouvement effectif et total du tablier, on les prolongera, vers le bas, par un ou deux systèmes de plaques, afin de donner une certaine stabilité à leur seconde branche, qu'il faudra d'ailleurs replier convenablement lors de la mise en place et selon que l'exigent les condition^ de l'équilibre. Quant au moyen pratique de corriger ou de construire directement les chaînes sans recourir à aucun calcul, il est facile à deviner d'après ce qui précède, et on le trouvera d'ailleurs exposé à la un du Mémoire déjà souvent cité.

Galcnl des résistances passives dans les ponts-levis à cliaines.

40. Calcul du frottement des tourillons du tablier et de ses points d'attache. — Il est utile de savoir calculer l'effort que la puissance, appliquée à la manœuvre d'un pont-levis, devra exercer dans les diverses positions du tablier et principalement dans la position où la somme des résistances devient un maximum d'après la constitution du système. AGn de donner au moins une idée de la manière d'effectuer le calcul dans tous les cas, nous considérerons le pont-Ievis à chaînes qui nous a occupé en dernier lieu, en supposant qu'il soit rigoureusement en équilibre dans toutes ses positions, abstraction faite des résistances passives, et que le point de contact I (Jig, 187) des chaînes et de la poulie extérieure soit sur la verticale AI des tourillons; nous négligerons d'ailleurs toute la partie des frottements qui provient des pressions exercées sur les appuis par le poids des petites chaînes, ces pressions n'étant point appréciables par rapport à celles qui proviennent des diverses autres pièces mobiles du système. EnGn nous supposerons, pour la simplicité des calculs, que

APPLIQUÉK ÀUl UAGHIICBS. 4^1

le centre de gravité G du tablier, que le centre A des tourillons et le point d'attache B des petites chatnes soient sur une même ligne droite.

Cela posé, nommons y l'angle AIB; a et (3 les angles que AB, parvenu à une position quelconque, fait avec la verticale AI et la direction BI de la chaîne; P le poids du tablier agissant au centre de gravité G; faisons