CHAPITRE PREMIER

Transmissions télédynamiques.

2. — Notice historique. — Ferdinand Bim chercha en 1850 à s'affranchir des inconvénients que présentent les transmissions composées de longues lignes d'arbres; indépendamment des difficultés de pose et du coût de premier établissement, le frottement des coussinets multipliés occasionne une perte de rendement- Moll et Reuleaux calculent que ces frottements absorbent entièrement le travail moteur lorsque la distance de transport atteint deux kilomètres, c'est-à-dire que la limite d'emploi du système s'arrête beaucoup en dessous de ce chiffre. Hirn employa un ruban sans fin en acier passant sur deux poulies en bois de deux mètres de diamètre placées à 80 mètres de distance, pour transmettre une puissance de 12 chevaux à un atelier de tissage dans une usine, de Logelbach (Alsace). Ce ruban fonctionnait comme une courroie, sauf que la tension nécessaire pour empêcher le glissement était due au poids du lien plutôt qu'à son élasticité.

Après un service de 18 mois, le ruban, qui avait l'inconvénient de donner prise au vent, fut remplacé par un câble métallique de S millimètres de diamètre qui resta en usage pendant longtemps. Les difficultés les plus grandes provenaient des poulies, dont les gorges s'usaient rapidement et qui usaient le câble; ce n'est qu'après beaucoup de tâtonnements qu'on songea à ménager au fond des gorges une rainure en queue d'aronde dans laquelle fut tassée une garniture en cuir.

Les transmissions ainsi disposées se développèrent rapidement ; dans une notice publiée en 1862, l'inventeur en cite déjà des centaines d'applications, et notamment les suivantes :

Comimont (Vosges) ... 50 chev&nx transmis » 1150 mètres.

Oberurael (Francfort) ... 100 » » 966 >

Emmendingen 60 » > 1200 »

Kayaereberg (Colmar). . . 60 > > 342 >

Des transmissions très importantes furent bientôt exécutées à Schaf-

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fouse, Fribourg, BeUegarde, etc., par la maison Rieter, de Winterthur, sous la direction de l'ingénieur Ziegler, qui créa des règles presque toujours suivies aujourd'hui pour le calcul des câbles, et perfectionna de nombreux points de détail ; on lui doit l'idée de comprimer les cables au préalable pour éviter l'allongement après la pose, celle de diviser la distance en relais avec câbles séparés, les diverses dispositions de poulies devenues classiques, les garnitures en cuir formées de morceaux en forme de trapèze, découpés à l'emporte-pièce dans de vieilles courroies, et tassés de champ dans les gorges des poulies. Rieter a employé pour la première fois à la transmission de Schaffouse, une travée à deux câbles jumeaux avec un moyen ingénieux pour égaliser leurs tensions.

Le tableau renferme quelques données sur les transmissions les plus connues.

Dans le domaine théorique, il faut surtout citer les travaux de M. H. Léauté, qui a étudié les oscillations auxquelles les câbles donnent lieu lorsque la puissance ou la résistance varient, et qui a donné d'élégantes méthodes de calcul applicables à tous les cas (').

Étant donnés les progrès de l'électricité, il n'est pas probable que l'on établisse encore à l'avenir des installations complètes pour le transport et la distribution par câbles de la force motrice produite dans une usine centrale (') ; mais la transmission télédynamique parait être la meilleure solution lorsqu'il s'agit de distances modérées (30 a 200 mètres), et de forces peu considérables (5 à 100 chevaux), comme c'est souvent le cas lorsqu'il faut actionner par un moteur principal un ou plusieurs ateliers secondaires d'une usine.

3. — Nature des câbles. — Les câbles sont composés de six torons au moins, formés chacun de fils enroulés autour d'une âme en chanvre ; le centre du câble entre les torons est lui-même rempli par une âme en chanvre (fig. 1). Le nombre des fils dans chaque toron varie beaucoup, sans être inférieur à 6 ; dans ce qui suit, le diamètre d du câble, est

1. Théorie générale des transmissions par câbles métalliques, par H. Léauté (Gauthier- Vil lars, 1881).

Transmittions par câbles métalliques, par H. Lôautô et A. Bérard (Encyclopédie scientifique des Aide-mémoire).

2. L'installation importante de BeUegarde était près qu'entièrement transformée en I8U7 ; sur le total de 3.100 chevaux développés aux turbines, 600 seulement étaient encore transmis par câbles, le restant était distribué par courants triphasés. Pour la comparaison entre les résultats obtenus, voir Engineering, 1897-1-636 et 701.

TRANSHISSIONS PAR CADLBS 5

celui du cercle circonscrit aux torons, ! est le diamètre des fils, n le nombre de ceux-ci.

Les âmes en chanvre ont pour objet de donner de la souplesse aux câbles, mais dans les premiers temps delà pose, la compression de ces âmes résultant de ia tension des brins donne i

un allongement permanent ; on réduit beaucoup cet inconvénient en faisant subir aux câbles avant leur pose une sorte de laminage. Le câble de Fribourg a été réduit par ce moyen de 29,5 à 27 millimètres de diamètre, en subissant un allongement de 0,835 pour cent (Àchard).

La section métallique du câble est :

et si l'on désigne par p le poids en kilogrammes par mètre courant, on a approximativement pour tous les câbles :

m étant exprimé en millimètres carrés,

La tension de sécurité admise au point de plus grande fatigue est de 15 à 18 kilogrammes par millimètre carré pour le fil de fer, et de 30 à 40 kilogrammes pour l'acier fondu; --»c'est, pour les deux i"élaux, environ [ le quart de la charge de la rupture. /si,,

4. — Condition d'adhérence. — Le 4câble portant surla garniture du fond 3+'-*-7' de la gorge (fig. 2), il n'y a pas lieu ici " J- ' de tenircomptedu coincement comme pour les cordes (1" fasc, n° 95), la condition d'adhérence sur chacune des poulies est la même que pour les courroies (1" fasc, n° 97) :

1 = tt 7 = ï < < t

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lorsque la vitesse est assez grande pour que la force centrifuge exerce un effet appréciable, la condition devient (\" fasc, n° 101) :

On rappelle que dans ces formules, T est la tension du brin conducteur au point où il se détache de la poulie, t est celle du brin conduit au point où il s'enroule, f est le coefficient de frottement du cable sur la garniture, d l'angle embrassé mesuré par le rapport de l'arc de contact au rayon, v est la vitessedulienenmètresparseconde. On admet d'ordinaire /■=0.24; comme l'arc embrassé est très peu inférieur à la demi-circonférence, on a approximativement :

D'ailleurs, en appelant Q l'effort, à transmettre rapporté a la circonférence des poulies, les résistances passives étant négligées, on a :

Pour une même valeur de Q, on établit (\ a fasc, n" 97), que le minimum de T est obtenu lorsque [test aussi grand que possible, c'est-à-dire égal à % sa limite supérieure.

5. — Vitesse pour laquelle la puissance transmise est maximum. — Lorsque la vitesse augmente, la force centrifuge abaisse le rapport des tensions T et t dans la condition d'adhérence (éq. 2) ; la différence de ces tensions diminue si l'on conserve à T la même valeur, et par conséquent, il en est de même de l'effort circonférentiel transmis; les deux facteurs de la puissance Qv varient donc en sens inverse, et le maximum du produit répond à une certaine vitesse v„ donnée par (1 er fasc. n°102) :

-Vh

t étant la tension en kilogrammes par millimètre carré qui peut être admise au point où la fatigue est la plus grande. En faisant usage de la valeur donnée plus haut pour -, il vient :

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Si l'on n'avait pas à tenir compte de la fatigue due à l'incurvation du câble sur la poulie, la valeur de t serait la tension que l'on peut admettre avec sécurité pour le métal des Sis; il en serait ainsi si les poulies étaient infiniment grandes relativement au diamètre du fil dont le câble est formé. Pour les courroies ou les cordes en matières textiles, la fatigue d'incurvation est presque nulle, même sur des poulies de petit diamètre, à cause de la faible valeur du coefficient d'élasticité, et l'on n'en tient pas compte.

Lorsqu'on enroule un fil de diamètre S sur un tambour de rayon r, il subit une flexion uniforme qui détermine dans sa fibre extérieure la tension :

E étant le coefficient d'élasticité qui peut être pris égal à 20.000. Au point où le brin conducteur du câble est tangent à la poulie, il est soumis à la tension générale T, qui détermine la fatigue t par millimètre carré de section ; la fatigue totale est donc :

ti = t -\- ii

C'est la fatigue totale qui est réglée par la résistance du métal. Ainsi, 2r pour — = 2.500, on aurait :

x t = S kilog.

et si l'on adopte pour le fil de fer t,= 1S, il vient t= 1, d'où l'on tire :

Pour le fil d'acier où ti = 30 et dans les mêmes conditions de diamètres, on aurait x = 22, et :

Dans la réalité, la vitesse n'est jamais aussi grande; elle est d'environ 20 mètres pour les transmissions citées précédemment, elle atteint 28 mètres pour un eàble monté en 1887 à Gokak (Inde anglaise) par la maison Escher Wyss de Zurich ('). Diverses raisons pratiques limitent

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H TRANSMISSIONS PAR GABLES

les vitesses que l'on peut adopter; les poulies sont ordinairement en fonte, et bien que la résistance de ce métal place vers 60 mètres la vitesse à laquelle elles pourraient encore résister à la force centrifuge si elles étaient saines, on se tient en dessous de cette limite pour tenir compte des tensions du retrait. Lorsqu'on donne aux câbles de très grandes vitesses, les irrégularités des gorges ou du câble et celles de l'enduit dont on les garnit pour diminuer l'usure amènent des trépidations qui nuisent à la bonne marche.

À la vitesse de 20 mètres par seconde, la force centrifuge sur les brins enroulés n'est pas négligeable, et il y a lieu d'en tenir compte dans la condition d'adhérence; ainsi, en admettant pour un câble en fer-r =1 kilogrammes comme ci-dessus, on a :

et à cause de la relation qui existe entre le poids p et la section <t 1 T

en donnant à « et t leurs valeurs numériques, l'équation d'adhérence (2) du n" 4 donne :

tandis que ce rapport pourrait atteindre 2 si l'on ne tient pas compte de la force centrifuge.

6. — Remarques sur la tension d'incurvation. — L'effort circonférentiel transmis a pour mesure :

ou, à cause de la relation d'adhérence qui existe entre T et (, et dans laquelle on peut faire y. = 2 {n° 4, éq. (2)) :

Or, à cause des relations établies au numéro précédent :

3" V ( \ Vf 8E\

la.j.,.,..^.,).,,^-,;)

d'où, pour la valeur de l'effort transmis, et en tenant compte de la relation entre a. et p :

1T Vf SE v* Y|

Lorsque, pour une valeur de r donnée, ! varie, Q passe par différentes valeurs, dont la plus grande est fournie par :

d'où l'on déduit :

s (" - ïsb)

Le dernier terme a peu d'influence sur le résultat, il peut être supprimé, et l'on a :

8 — lit

Pour le fer, avec t, = 13, on a

Pour l'acier, w ™ 30, et :

Cette condition revient â dire que si le diamètre des poulies est donné et égal au maximum admissible pour des raisons de construction, le câble qui permet de transmettre le plus grand effort circonférenliel doit être composé de fils dont le diamètre est le millième du rayon de la poulie, s'il est en fer, et de fils deux fois plus gros s'il est en acier. Si ce rapport est observé, la fatigue due à l'incurvation atteint les 2/3 de la force élastique totale, la fatigue due à la tension T seule n'est que le tiers restant.

Si l'on prend des fils plus fins que ceux donnés par la condition précédente, la tension d'incurvation diminuant, une plus grande portion de leur résistance pourra être utilisée pour supporter la traction T, mais La réduction de section fait plus que compenser cet effet. Il est vrai qu'on peut augmenter le nombre de fils et relever ainsi la valeur

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de l'effort circonférentiel transmis; les câbles avantageux seraient donc composés d'un grand nombre de dis très fins, mais une limite pratique est bientôt atteinte dans cette voie, le cordage étant sérieusement détérioré lorsque l'usure des couches superficielles entame une certaine fraction de l'épaisseur des fils ; les câbles à Sis gros peuvent être maintenus plus longtemps en service ; le diamètre des 61s ne doit pas descendre en dessous de 1,3 millimètre, sauf dans des cas spéciaux. Dans les grandes transmissions, les câbles durent généralement deux ans, leur renouvellement entraîne une forte dépense.

11 résulta de ces remarques que la question de maximum ci-dessus envisagée, à laquelle certains auteurs attribuent de l'importance, n'a pas grand intérêt pratique, étant donné surtout qu'on peut faire varier le nombre de fils dans de notables proportions. La seule règle à suivre consiste, si l'on se donne le diamètre du fil, à adopter des poulies aussi grandes que possible, et si le diamètre des poulies est imposé, à choisir des fils aussi minces que le permet la condition d'usure. Ces dimensions une fois arrêtées, il est possible de déterminer la fatigue d'incurvation et d'en déduire la résistance disponible pour la traction.

7. — Forme des brins. — Il est suffisamment exact, pour la plupart des problèmes qui se présentent, de substituer à la chaînette, qui serait la forme d'équilibre d'un câble immobile, de section uniforme et parfaitement flexible, une courbe parabolique, qui suppose le poids uniformément réparti suivantla projection horizontale. Avec les valeurs habituelles de la flèche relative, la corde diffère assez peu de l'arc, et l'on peut admettre que le poids par unité de longueur de la projection est le poids réel du câble par mètre courant.

Supposons qu'un brin soit librement suspendu entre deux points fixes A et B (fig. 3), placés au même niveau à la distance 2a. Soient x, y, les coordonnées d'un point M quelconque par rapport aux axes passant par

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Je sommet S, X et Y, les composantes de la tension F en ce point. On aura, en exprimant l'équilibre du tronçon S M :

(1) Y=px

(2) X-lpf

Comme la tension doit être tangente à la courbe d'équilibre en chaque point, on a :

ou, à cause des valeurs trouvées :

relation qui caractérise la parabole et qui donne par l'intégration :

En exprimant que la courbe passe par le point B, c'est-à-dire que la flèche / est donnée, l'équation devient :

La composante X de la tension est constante, et a pour valeur :

La tension au point M s'obtient par ses deux composantes, et vaut :

Au point de suspension, où elle est maximum, la tension devient :

f .=*£vA

ta '

dernier terme, et l'on voit que la tension au point de suspension varie en raison inverse de la flèche.

On peut toujours déterminer la flèche qui correspond à un état donné de fatigue du câble aupoint de suspension, car soient m la section et t la

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12 TRANSHISSIONS PAH CABLES

lension par millimètre carré, on aura, si l'on néglige le dernier terme : qui, avec le rapport admis entre m et p (n° 3) donne :

La flèche ainsi trouvée est indépendante de la section du câble, elle augmente comme le carré de la portée. Si l'on adopte t = 7, on trouve :

Pour les portées de . . . 60- 10CT 160 n 200"

Loa flèches de 0.48 1.72 8.86 C.87

Pour réaliser une transmission, il faut toujours que le brio conduit soit moins tendu que l'autre, et par conséquent que sa flèche soit plus grande; pour éviter que le brin inférieur ne traîne sur le sol, on est obljgé de surélever les poulies, et cette condition limite à 130 mètres environ la portée pratique adoptée, même avec des câbles en acier, qui admettent une fatigue plus grande, et par conséquent une valeur de a supérieure à flèche égale.

8. — Longueur des brins — Le développement de l'arc de la parabole est donné, lorsqu'on s'arrête au second terme de son développement en série, ce qui fournit une approximation suffisante, par l'équation :

Lorsque les poulies ne sont sollicitées que par le câble, c'est-à-dire si l'on supprime toute action motrice ou résistante, comme au moment de la pose, les tensions s'égalisent dans les deux brins, et ceux-ci prennent la même flèche, qui ne dépend que de la longueur initiale du câble. Lorsque la transmission fonctionne, le brin conducteur se tend et sa flèche diminue, l'inverse a lieu pour le brin conduit; la longueur totale du câble ne subit qu'un changement négligeable par suite du nouveau régime des tensions. Cette condition permet de déterminer la longueur à donner au câble ou la flèche de pose.

9. — Tension dans le câble en mouvement. — Si l'on suppose que le câble, de faible flèche relative, est animé d'un mouvement uniforme, les points A et B (fig. 4) devenant les points de contact avec les poulies, la

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force centrifuge s'exerce sur chaque élément suivant une direction normale à l'arc; entre les points A et B, celui-ci peut-être assimilé à un arc de cercle ; aux deux extrémités du brin se développent les tensions

Fig. 4

supplémentaires nécessaires pour équilibrer la force centrifuge, et si l'on désigne par v la vitesse linéaire du cable, par H le rayon de l'arc AB, on a :

ou, puisque

a = R sîn (3

La force centrifuge a donc pour effet de développer en chaque point du cable, aussi bien dans le brin conduit que dans le brin conducteur, une tension uniforme égale à celle qui vient d'être calculée ; cette tension ne dépend pas du rayon R, elle se développe donc avec la même intensité sur la partie du câble en contact avec les poulies.

En appelant T la tension au point B qui serait due au poids seul dans le câble au repos, on voit que dans le brin en mouvement ayant la même Sèche, la tension au point B sera :

10. — Formules de M. Léauté.— M. Léauté a donné aux diverses relations qui régissent les transmissions télédynamiques une forme commode pour les calculs en partant des flèches des brins.

Remarquons d'abord que les flèches ainsi que les rayons des poulies étant toujours très petits relativement à la portée, nous pouvons considérer les points de contact AA' ainsi que BB' (fig. 4) comme se trouvant

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deux à deux sur le même diamètre vertical passant par le centre de la poulie correspondante; pour chacun des brins, la distance AB ouA'B' sera prise égale à la distance des centres 00', et nous continuerons à désigner celle-ci par 2a.

Soient :

f la flèche de brin conducteur lorsque la transmission fonctionne, étant la poulie motrice.

f la flèche du brin conduit.

A le rapport de ces flèches.

f a la flèche commune des brins au repos.

m = ~ la flèche relative des brins au repos.

La longueur du câble étant invariable, on a, en calculant cette longueur par l'expression donnée au n° 8, l'équation de condition :

d'où l'on tire, en introduisant les rapports A et m définis ci-dessus :

'-••-t/ïrië

Les tensions aux points de contact dues au poids seul, lorsque les flèches relatives, sont faibles ont pour valeur (n" 7) :

ou, en introduisant dans ces tensions les valeurs des flèches :

pa /T+Z 4m V 2

Pour avoir les tensions totales, il faut ajouter à ces valeurs le terme

dû à la force centrifuge (n° 9), on obtient ainsi :

L'effort circonférentiel Q en fonction de la puissance en chevaux N et de la vitesse du brin est :

11 est égal à T, — t t ou T — (, ce qui donne l'équation : SOOmS 1

La condition d'adhérence serait ici, entre les tensions totales :

ou, plus simplement, entre les tensions dues aux poids :

et l'on sait que cette valeur ne peut descendre en dessous de 2 dans les conditions ordinaires.

En comparant les valeurs des tensions données plus haut en fonction des flèches, on a :

Ainsi k lui-même ne pourra être inférieur à 2 ; quant au rapport entre les tensions totales T, et (,, il sera nécessairement plus faible.

On peut enfin, connaissant le rapport entre la section métallique du câble û), et son poids p par mètre courant (rapport qui peut être pris, comme nous l'avons vu, égal à 104), trouver la fatigue due à la tension totale T, :

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La fatigue totale du câble au point d'enroulement sur la poulie motrice s'obtient en ajoutant à cette valeur la tension d'incurvation -n ("•6):

II résulte de ce qui précède que, pour un câble neuf, il faut prendre k inférieur à 2, sinon, comme les flèches augmentent par suite de l'allongement, la condition du glissement ne serait plus satisfaite, à moins que f et /' ne puissent augmenter dans le même rapport ; mais T et t diminuant de la même manière, il en serait de même de leur différence et l'effort transmis diminuerait aussi.

L'abaissement de la valeur de k dans le calcul d'établissement équivaut à donner une réserve de tension ; lorsque le câble s'allonge, la flèche relative au repos m augmente, et pour que la transmission reste possible avec le même câble, l'équation (1) montre que k doit augmenter. Si l'on admet que m peut augmenter dans le rapport de 1 à 1,3 par suite de l'allongement, on trouve que k s'élève dans le rapport de 1,8 à 2.

Cette théorie s'applique encore avec une approximation suffisante au cas où les centres des poulies sont sur une ligne faiblement inclinée.