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dv
Telle est l'équation trouvée par Clapeyron ('), qui donne l'expression générale de la chaleur à fournir pour la transformation isothenoique.
La fonction f(T) était inconnue. L'erreur fondamentale n'a pas enta<^é ce
DUGRAMUB ENTBOPIQUE 48
34. — Nous pouvons immédiatement vérifier celte équation pour les gaz permanents, dont les propriétés nous sont déjà connues. On a, pour ceux-ci :
j)p = BT
et
rfT~ P d'où :
Q = ABTr'"-
C'est, sous une forme un peu différente, l'équation (8) du n" 14.
Dtagirunrne de l'entropie et de la température. Cycles de rendement maximum.
35. — Nous'avons rencontré {n" 22 el 24) divers modes de représentation graphique de la chaleur à fournir pour effectuer une transformation quelconque; ces procédés, étudiés à propos des gaz permanents, s'appliquent également à un corps quelconque; ils sont assez compliqués, et la difficulté provient de ce que le diagramme ordinaire, construit au moyen du volume et de la pression, ne fait pas connaître explicitement la valeur de l'énergie intérieure.
On doH à M. Th. Belpaire (') un nouveau mode de représentation, qui consiste à porter en abscisses l'entropie du corps (ou son accroissement depuis un certain état initial déterminé pour lequel on suppose l'entropie égale à zéro), et en ordonnées la température T. On obtient ainsi une courbe AB (âg.16); pour chaque élément ab, on a :
résultat, à cause de la considération du cycle infiniment petit. La fonction fU) est donc égale à j^: c'est Clansius qui adonné adéquation deClapeyron la forme sous laquelle elle est connue et employée aujourd'hui. 1. Voir la note de l'Ataat-Propot.
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THBRHODYNÂIIIDUB
La surface 06 b^a, représente, par conséquent, la chaleur dQ. On peut tot^ours coDstruire ce diagramme chaque fois que l'on connaît l'entropie ;
ng. 16.
Oa
pour la transformation considérée.
Dans ce mode de représentation, les isothermiques sont caractérisées par des lignes droites parallèles à OS, tandis que les adiabaUques sont parallèles à OT.
La ligne AB sera, pour la simplicité du langage, appelée diagramme entropique.
36. — Diagramme entropique pour tes gaz. — Proposons-nous de trouver le diagramme entropique correspondant, pour l'unité de poids d'un gaz permanent, à la loi de détente :
On a, pour ce corps (éq. 2) :
dT
Pour trouver J-^ , il faut, dans cette équation, remplacer v en fonction de la température en nous servant de la loi de détente donnée, ainsi que de la relation fondamentale des gaz : i»= ET
Ces deux équations donnent, par l'élimination de p
Il éT
DIAGRAMME BMTROPIQUB
et, en remplaçant dans l'expression de dQ :
-TdT
qui, par l'intégration, donne :
Tj T " " r=~î *• %
Gboisissons, comme point initial, celui pour lequel la température est T, l'entropie ayant une valeur arbitraire S, ; nous pourrons, pour chaque valeur de T, trouver l'expression S — S, , et par conséquent, construire In diagramme ealropique.
On peut avoir les cas suivants :
!•) 4 > f). La valeur S — S, est positive pour toute valeur de T supérieure à T, ; lorsque k tend vers l'infini, on a une transformation à volume constant, car :
rC
Cette transfonaalion est représentée par Me, Me* (6g. 17).
S^ A=t). OnaS — s, — o, quelle que soit la température : c'est le cas des lignes adiabatîques ; on a M A pour la compression, et MA* pour l'opération inverse.
3°) T > * > 1). C'est le cas ou la igné de détente est co mprîse entre radial)a tique et l'isothermlque, c'est-àdire où la compression a lieu avec un enlèvement de chaleur, et où la détente s'opère sous l'influence d'une certaine quantité de chaleur fournie.
On constate que l'entropie diminue -t^ lorsque la température augmente, at- ^- "■
lendu que 4— ^ est négatif; cette transformation répond à MB, MB*.
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48 TBERMODYHAmoUE
4*) 4 = 1). On a T = T, , la ligne est isothermique; on peut trouver l'entropie en faisant d( := o dans l'éguation différentielle; on trouve :
Ml correspond à la compression, et Ml' à la détente. 5°) ft = o) oui>= C", on a :
La transformation est représentée par MC pour la compression, et MC pour la détente. Les cas les plus intéressants, au point de vue des applications sont les transformations à volume- constant (éq. 21), et à pression constante (éq. 22) ; pour ces transformations, la température variant en progression géométrique, l'entropie varie en raison arithmétique; lorsque l'on possède deux points de chaque courbe, il est facile d'en déduire les autres.
Les équations (21) et (22) auraient pu être trouvées directement, car on a, pour les transformations auxquelles elles s'appliquent respectivement:
d'où:
relations qu'il suffit d'intégrer.
87. — Lorsque deux lignes de transformation se coupent, fl en est de même de leurs transformées entropiques; en effet, soient AB, ÂC (fig. 18), deux lignes de transformation qui se coupent au point A; sup- ,^ posons d'abord que AC soit isothermique ; menons l'adîabatique ab qui passe par le -^ point o, infiniment voisin de- A. Soit A, o, la transformée entropique de Aa, ai b^ celle de ab. Comme la quantité de chaleur nécessaire pour par- — B courir le cycle Ao6 est infini- Kig. 18. ment petite du second ordre.
rt-
Dia.izedbyGoOglc
CYCLES DE nEKDEHENT MUIUCH 49
le triangle curviligne A, a, 6„ qui représente cette différence, (et dont la
base A, 6„ ou ^ se rapportant à A6, est infiniment petite du premier
ordre) doit être aussi du second ordre, donc a, b, et A, b, sont du même ordre, et tes éléments A, a, , A, b, ont des directions difTérentes.
Cette propriété s'étend évidemment au cas où la ligne AC, au lieu d'être isothermique, serait quelconque, car il suffirait de répéter la même démonstration, en menant par A la ligne isothermique.
Lorsque les lignes de transformation se rencontrent en deux points, A, B, il en est de même de leurs transformées entropiques ; car, pour chacun des poiols d'intersection, l'état est le même dans les deux lignes de transformation : donc, la température est la même; en outre, quel que soit le parcours suivi entre les deux] points d'intersection, l'accroissement d'entropie est le même du point A au point B.
Lorsque les points A et B se rapprochent indéfiniment, il en est de même des points A, et B,, qui les représentent sur le diagamme enlropique ; donc, lorsque les lignes de transformation sont tangentes, leurs transformées entropigues le sont également.
Ces propriétés sont générales, et s'appliquent à un corps quelconque.
38. — Cycle de Camot pour un corps queleongue. — Le cycle de Camot se Iraduit, dans le mode de représentation que nous considérons, par le rectangle A B C D (fig. 19).
La quantité de chaleur empruntée à la source supérieure est représentée par le rectangle A, B, celle versée au réfrigérant par le rectangle A, C ; la différence, donnée par le rectangle AC, est donc transformée en travail. Sous cette forme, le rendement du cycle apparaît d'une manière évidente.
39. — Le cycle de Camot est un cycle de rendement maximum. — En effet, considérons un cycle quelconque réversible, MNUV (fig. 20), dans lequel la chaleur est reçue et cédée à des lempéralures variables ; nous allons démontrer que le rapport de la quantité de chaleur transformée
>UCB1NBB TESBUIQUEB ^
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60 THEHUODTHAlilQl-E
en travail à la quantité de chaleur dépensée, est moindre que pour le cycle de Gamol réalisé entre les températures extrêmes du cycle quelconque.
Circonscrivons au cycle considéré un cycle de Camot; les températures extrêmes, qui sont celles des lignes isolbermîques, i: é sont T, et T,.
'''ï- ™- > Construisons les trans-
formées des deux cycles ; en vertu des remarques faites au numéro 37, le cycle transformé M, N, U, V, sera tangent aux quatre côtés du rectangle qui représente le cycle de Camot. On a pour la chaleur dépensée :
imi
pour la chaleur versée à la source inférieure :
et pour la chaleur transformée en
travail :
ît — ?i =
Le rendement du cycle est :
Or, on a :
M, N, U, T, , M, ™-M, K U.'. < on
40. — Le rendement du cycle de Camot est d'autant plus élevé, que l'écart des températures extrêmes, rapporté à la température la ploa élevée, est plus grand. On voit qu'il y a avantage à abaisser la température T, du réfrigérant plutôt qu'à élever celle de la source supérieure, parce que, par ce dernier moyen, on ajoute une même quantité aux
CYCLES DE nENDEMENT MAXIMUM
deux termes de la fraction qui exprime le rendement, tandis qu'en abaissant la température du réfrigérant, on n'agit que sur le numérateur de celte fraction.
Pratiquement, la température T, ne peut être abaissée en dessous de la température du milieu ambiant ; il y a des cas où cette température dépend de la nature du fluide : ainsi, dans les machines à vapeur sans condensation, bien que le réfrigérant soit le milieu almosptiérique, la température T, ne peut descendre sous 273 -|- 100*. Cette anomalie tient à la nature physique du fluide qui sert d'agent de transformation.
41 ■ — Autres cycles de t endementmaasimwn. — Considérons un cycle dont Ja ti-ansformée entropique soit A, B, c, d„ c'est^-dire composé de deux lignes isothermiques A, B,, c, d„ et de deux transformations B,c, A, d, telles que celles-ci soient superposables ( outre, que la chaleur à enlever pour accomplir la transformation B, c,, qui est représentée par la surface c'c, B,C', soit tenue en dépôt au lieu d'être versée au réfrigérant. EUe pourra servir à accomplir la transformation d,A,, car, d'après l'hypothèse, les lignes d. A, et c, B, étant superposables, tes surfeces bordées de hachures sont égales.
La chaleur empruntée à la source supérieure est donc A, G', celle versée à la source inférieure est d, c' et la chaleur trans:fonnée en travail est A, B, c, d, , c'est-à-dire ^'8- !*•
la même que peur le cycle de Camot; les échanges de chaleur entre le corps et les sources étant les mêmes que pour ce cycle, on voit q\ie le mode de fonctionnement indiqué est, au point de vue du rendement, équivalent à celui du cycle de Carnot.
Les lignes B, c„ A, d, sont quelconque s, pourvu qu'elles soient superposables ; il y a, par conséquent, une infinité de cycles de rendement maximum.
La condition nécessaire et suffisante potir que les lignes A, d„ B, c,, soient superposables, et que, pour une même valeur T de la température, on ait, pour ces deux lignes, des valeurs identiques de t^ .
Nous savons déjà que, pour un gaz permanent, équations (21) et (22),
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BZ THBRMODTNAHIQUB
les lignes à pression constante ainsi que celles à volume constant donnent, entre les mêmes températures, des transformées entropiques supOTposablea.
D'une manière plus générale, soit :
C, étant une constante , la ligne de transformation traduite sur le diagramme entropique par B, c„ et pour laquelle on a (n* 36) :
dS = ^ - c ^—^ -^
Pour la ligne A,d„ dS devra avoir la même valeur pour la même température ; cette condition sera évidemment réalisée, si l'équation de la ligne de transformation est :
C, étant une constante.
En tenant compte de l'équation caractéristique des gaz, les équations des deux lignes peuvent s'écrire :
BT t>
On aura donc, entre les volumes occupés par le gaz pour une même valeur de T :
Les volumes correspondant, dans les deux lignes, à une même température, sont dans un rapport constant ; il en est donc de même aussi des pressions.
Dans les âgures ii et ii bis, sont représentés deux cycles, EPCD, OHCD formés de deux lignes isothermiques et de lignes de volume
