CHAPITRE II

Théorie dynamique des moteurs à vapeur (')

Machines monocylindriques.

18. — Calcul de la puissance d'aune machine donnée. — Soient, pour une machine à double elTet, supposée d^abord sans espaces nuisibles :

Pq^ la pression absolue de la vapeur pendant Tintroduction ;

i?^, le volume d'introduction à chaque coup de piston ;

y^, le volume total engendré par le piston ; ce volume est le même pour les deux courses si Ton fait abstraction des tiges ;

5, le rapport de détente, ou des volumes v^ et v^ ;

p\ la contre-pression absolue pendant Péchappement à Pair libre ou au condenseur ;

n^ le nombre de tours de Parbre par minute.

(1) \(uis iw n v«'nrH!s pas, dans cette étude, sur les questions déjà traitées d'une man.èrt' j^'énérah» (ians la Théorie drs Mécanismes, qui forme le premier fascicule de cet ouvn go et qu'il s« ra facile d'adapter à la machine à vapeur: telles sont les résistances p:ihsiv('saux<jU('II. s donnent Ii»ui les traiisl'oi malions du mouvement rectilignedupistontMim luv. ni'»ntrntat;f, la théorie de la régularisât i(n( volants et régulateurs), etc. Xuusn't'xaminf-rons pus davanta^^^l»'S questions qiiise rapportent aux variations du couphMnoteur, v.iriatiniis (|ui s )n t. influencées par le mode de rôglapr<% les forces d'inertie, l'ace rnplt ment d'un nombre i)lus ou moins grand d 'cylindr<'s,ranglc de calage des manivelh s; tousc s pr(d)'èniesse résolvent facile m. «nt (^n s'appuyantsur les données que fournissent la (linéniati(iue et la Statique, ainsi que sur les théories exposées ici.

On consultera avec fruit une étude importanteintitidéei^'zwe Dynamische Théorie der Dampfmaschifwri, [)ar W. Hartmann (Zeitschrijt des V. D. /., 1892), dans laquell(> le princip(M.les courb s intét^rales est appliqué aux diagrammes des pressions, de l'inertie, de la conirc-pression, des frottements et des poids non équilibrés ; cette étude constitue en quelque sorte le développement du procédé que nous avons appliqué à l'étude générale du mouvement des machines (v. !«' fascicule, Ch. 1®').

IfACHiNtS M0N0CYLINDRIQUE6 51

Le travail exercé par la vapeur sur une face du piston pendant un tour s^obtient en ajoutant algébriquement les travaux de Tintroduction, de la détente, et de Tèvacuation.

Le calcul du travail de détente ne peut être fait qu'en se basant sur une hypothèse ; on sait en effet que la loi de détente est influencée par le titre initial de la vapeur, notablement abaissé pendant l'introduction, et par l'action consécutive de la paroi (3*" fascicule, Ch. V, § VI) ; on ne peut supposer que cette détente a lieu suivant la loi adiabatique, représentée pour la vapeur d'eau par l'équation :

^ a. C^ {B« fascicule, n*> 58)

mais on constate le plus souvent par les courbes d'indicateur que la loi de détente est fort rapprochée de l'hyperbole équilatère (jx = 1) ; il faut évidemment, pour interpréter cette courbe, connaître l'espace nuisible avec précision.

Pour les problèmes qu'on peut se poser sur les dimensions des eylindres, et en écartant soigneusement toute conclusion relative au rendement thermique, on arrive à des résultats suffisamments exacts en raisonnant sur l'hyperbole équilatère, qui a l'avantage de se prêter à des constructions faciles ('). Il serait du reste sans objet de prendre un autre point de départ ; le travail est influencé par les pertes de pression de la vapeur dans les lumières, le titre, le fonctionnement plus ou moins satisfaisant de l'enveloppe ; il est impossible de chiffrer avec exactitude ces diverses circonstances.

Au reste, il est clair qu'une erreur sur la loi de détente aurait comme seule conséquence de donner au cylindre des dimensions un peu trop grandes ou un peu trop faibles, et d'exiger une introduction un peu moindre ou un peu plus forte que celle [que l'on avait prévue. Cette modification se fait automatiquement par le régulateur, et n'atTecte pas le rendement thermique dans les limites où elle se produit.

En admettant finalement que la loi de détente est l'hyperbole équilatère, on a, pour le travail sur l'une des faces du piston :

(1) La concordance plus ou moins grande de la courbe d'indicateur avec l'hyperbole équilatère est interprétée quelquefois comme une preuve de bon rende» nient ; il est à peine besoin de dire que pareille interprétation ne se justifie en rien.

MACHINES MONOGYLINDRIQUES

Po Vo (1 + /n 8) — pVi

En supposant que les volumes sont les mêmes sur les deux faces, on trouve, pour la puissance exprimée en chevaux :

Lorsque Ton tient compte du volume occupé par les tiges, il faut donner à t^^ et 9^ des valeurs différentes pour les deux courses, à moins que § n^ait la même valeur pour les deux faces, auquel cas il suffirait de remplacer v)^ dans la formule finale par la moyenne des volumes engendrés.

On peut calculer à l'avance la valeur du premier terme de la parenthèse, en faisant varier />o ^^ ^) ^^ construire une table à double entrée

La figure 44 représente une série de cjurbes de détente de la vapeur pour un titre initial variant entre 0,3 et 0,9, la détente est supposée avoir lieu suivant autant d'hyperboles équilatôres, et les courbes tracées en sont les transformées entropiques. L'hyperbole équilatère du* diagramme d'indicateur peut être l'indice^ ou

Fig. 44.

d'une forte condensation à l'introduction sans restitution importante de chaleur pendant la détente, ou d'une faible condensation initiale avec forte restitution de chaleur par la paroi, c'est-à-dire qu'il n'y a pas de conclusion à tirer de la coïncidence plus ou moins parfaite entre la loi de détente et l'hyperbole.

MACHINES MONOCTUNDRIQUES

qni donne la pression moyenne pendant la course motrice pour diverses I-ressions et divers degrés de détente.

Tableau des valeurs de po

la

On peut aussi construire un abaque, ou représentation graphique de cette table, comme Ta fait M. Hertay (^) (fig. 45), les valeurs de/)» sont portées en abscisses ; à chaque valeur de 5, correspond l'une des droites inclinées dont les ordonnées sont le premier terme de la parenthèse. La valeur de /)' se retranche en relevant la base du diagramme, qui devient AB pour les machines à condensation (/>* c= 0,2atm.ou 2.067''ffs. par mètre carré) ettlD pour les machines sans condensation (/>' = 1.1 atm. ou 11.400*^». par mètre carré).

On tire de la formule (l), ou de l'abaque qui représente son terme variable, les remarques suivantes:

1" Toutes choses égales d'ailleurs, la puissance développée est proportionnelle au nombre de tours effectués par minute, ainsi qu'au volume engendré par le piston, c'est-à-dire qu'elle est proportionnelle au volume engendré par unité de temps.

^1) Nouveau diagramme ou tracé graphique pour le calcul des machines à vapeur, par Edmond Hertay (Bruxelles, Ramlot, 1891).

S** Four la même fraction d'introduction, la puissance augmente plus vite que la pression absolue initiale, à cause de la contre-pression p'; toutefois, pour les machines à condensation, dans lesquelles/)' est faible, et lorsque la pression initiale est assez élevée, l'augmentation est à peu près proportionnelle à joo.

fiu

3° Pour une même machine fonctionnant à la môme vitesse, la puissance diminue moins vite que n'augmente le rapport de détente; la courbe MN du diaiçramme fournit les ordonnées movennes pour une même pression et les degrés de détente indiqués par les abscisses.

4** On peut réaliser la même puissance dans un cylindre donné ; la

vitesse restant la môme, en augmentant la pression initiale en môme temps que le rapport de détente ; celui-ci est donné par ^intersection d^une ligne horizontale avec le faisceau des lignes inclinées du dia* gramme.

19. — Influence de l'espace nuisible et de la compression. — L^espace nuisible est ordinairement donné par son rapport a au volume (?| engendré par le piston ; nous supposerons que la compression est donnée par le rapport du volume engendré par le piston après la fermeture de Péchappement au volume Vi ; soit t ce rapport.

La puissance est donnée par la formule ci-dessous, qui s^ëtablit facilement :

a descend rarement jusqu'à 0,02 dans les machines Corliss les plus perfectionnées, il est voisin de 0,05 dans les distributions par soupapes ou par tiroirs divisés, il s'élève à 0,10 environ pour le tiroir à coquille ordinaire à glace unique, et atteint de plus grandes valeurs pour les distributions à tiroirs cylindriques.

Le rapport 7 dépend de la pression qu'on veut rétablir dans l'espace nuisible, et est par conséquent influencé par son volume ainsi que par la pression p\ Dans les machines sans condensation ou dans le petit cylindre des machines compound, on réalise quelquefois la compression complète ; il semble établi par l'expérience qu'une compression modérée vaut mieux au point de vue de l'écononiie (55).

Dans les cylindres à condensation, la compression s'exerce sur de la vapeur à pression très réduite et peut se prolonger sans relever très notablement la pression finale.

Dans la formule (2), le premier terme de la parenthèse est encore donné par une ligne droite passant par l'origine, puisque p^ fiiiure en coefficient, mais cette ligne est d'autant plus relevée, pour chaque valeur de S, que a est plus grand; en donnant difl'érenles valeurs à a, chacune des lignes de l'abaque (fig. 45) sera remplacée par un faisceau secondaire: ainsi, pour 8 = 6 et a — 0,02, on obtient la ligne en trait fort.

Le dernier terme représente la contre-pression moyenne, il varie avec a et t; si la compression commence au même point de la course, quelle que soit la pression initiale, le terme sera constant mais supérieur à p\ les lignes AB et CD de l'abaque seront donc remplacées par des faisceaux de droites parallèles, correspondant chacune à une valeur de Pespace nuisible. Si, au lieu d'ôtre constant, t augmente avec la pression initiale, AB et CD seront remplacées, pour chaque valeur de a, par des courbes telles que a' 6', c' d\

Comme on adopte le plus souvent un même réglage pour les diverses grandeurs d'un type donné de machine, il peut être très utile de construire un abaque complet d'après les principes que nous venons d'indiquer, l'influence des termes correctifs pouvant devenir très grande pour les fortes pressions, et les détentes prolongées.

Au lieu de procéder par le calcul et d'établir la formule (2), on préférera souvent tracer un diagramme des pressions, en représentant le volume c>< inconnu par une longueur arbitraire, par exemple 10 ou 20 centimètres ; on en déduira par le planimètre la pression motrice moyenne qui remplace la parenthèse.

20. — Coefficient de réduction du diagramme. — Les formules (1) ou (2), quelquefois appelées formules théoriques, peuvent être appliquées à une machine quelconque dont on veut déduire la puissance par le calcul. D'autre part, une expérience à l'indicateur fait connaître, pour le même degré d'introduction, la même pression initiale et la môme allure, la puissance effectivement développée ; en appelant T/ cette puissance, on trouve :

(8) Ti = K N

K étant un coefficient généralement plus petit que l'unité. La valeur de ce coefficient n'est, en aucune manière, une mesure de la perfection .de la machine au point de vue du rendement; K est abaissé par les étranglements, l'avance à l'échappement, etc. Pour une première approximation, on pourra en général se servir de la formule (1) en donnant à p' et K les valeurs suivantes, qui supposent des machines à

espace nuisible réduit, sinon, ces valeurs devraient être augmentées pour la marche à faible introduction :

Machines à condensation à faible introduction,

à distribution par déclanchement. . . . 1800 0, 90

Machines à grande introduction 2000 0, 75

Machines sans condensation, à faible introduction 11400 0, 85

Machines à forte introduction 12400 0, 70

Il doit être bien entendu, au surplus, que ces valeurs sont affectées dans une notable mesure par le réglage de la distribution, et, pour les machines à condensation, par Tétat d^entretien de la pompe à air et des bourrages, la température de Pinjection, etc. Lorsqu^on applique le calcul à une machine en projet, il est prudent de ne pas adopter une valeur de K trop élevée, parce qu'il vaut mieux pécher par excès que par insuffisance de dimensions. Pour un type déterminé de machine, E ne varie que dans une mesure insignifiante, aussi, les constructeurs peuvent calculer à Pavance, avec une grande certitude, des tableaux complets donnant la puissance indiquée de leurs machines pour diverses dimensions, ainsi que pour des pressions et des rapports de détente variés.

La pression absolue à Pintroduction se déduit de la pression des chaudières, dont il faut retrancher la perte provenant de la canalisation (4^ fascicule, n^ 117), perte que Pon évalue largement, en tenant compte du diamètre et de la longueur de la conduite.

Pour apprécier l'exactitude de la formule (2), nous avons calculé le coefficient K dont il faut l'affecter pour obtenir le travail indiqué, dans le cas d'un moteur mo- Docj-iindnque à distribution Corliss (celui du laboratoire de Gand). Les caractéristiques de ce moteur sont :

Diamètre du cylindre 250 mm.

— de la tîge de piston, prolongée à travers le

couvercle 40 —

Course du piston 500 —

Coefficient a de l'espace nuisible ...... 0, 0383

Coefficient T de la compression 0,10

Dans ces expériences, le moteur fonctionnait à 100 tours par minute, vitesse

MACHINES MONOCYL1NDRIQITE9

ponr laqnelle les Inmières sont largeraont calculées ; aussi) la contre-pression au cylindre ne dépassait pas d'une manière appréciable celle da milieu (atmosphère ou condenseur), dans lequel se produisait réchappement. Nous avons obtenu pour la valeur K, dans les divers modes de fonctionnement :

Sans condensation, sans enveloppe .

— à enveloppe .

surchauffe de 47° au modérateur A condensation, à enveloppe . .

avec

Pô

21. — Dimensions du cylindre. — L'équation (1) ou, si Ton veut procéder plus exactenfient, Péquation (2), peuvent être résolues par rapport à y, lorsque l'on connaît les autres quantités ; il faudra avoir soin au préalable d'affecter le second membre du coefficient de réduction K.

Il existe donc une infinité de cylijidres de môme volume répondant à la question, dont le diamètre pourrait être choisi arbitrairement. Lorsqu'on a égard aux phénomènes thermiques et à d'autres conditions qui seront exposées ci-après, la solution se précise.

1° Il existe un rapport de la course au diamètre qui réduit au minimum l'échange nuisible des parois ; ce rapport n'est pas celui qui donne au cylindre, couvercles compris, la surface minimum, à cause du rôle plus actif des surfaces du type couvercle ('-Y fascicule, n* 159) ; il conviendrait à ce point de vue d'adopter de longues courses, mais on se trouve alors devant des difficultés pratiques, notamment, celle de donner aux lumières une section suffisante sans exagérer la course des distributeurs du genre valve ou tiroir.

2° En diminuant le diamètre relativement à la course, on diminue l'importance de l'espace nuisible, qui, même dans les machines à compression finale, occasionne toujours une perte d'effet ; cette conclusion est surtout vraie lorsqu'en augmentant la longueur du cylindre, on

(1) La pression /?' ost celle du baromètre, ou celle relevée sur le condenseur.

n'augmente pas en môme temps celle des canaux de distribution, c'est-à-dire dans les machines à obturateurs séparés.

3° Lorsque le nombre de tours est donné, la course détermine la vitesse maximum et la vitesse moyenne du piston ; celle-ci ne peut, à cause des forces d'inertie, dépasser une certaine limite.

4^ Dans toutes les machines, surtout les machines verticales, le prix d^ètablissement augmente, pour le môme volume de cylindre, avec le rapport de la course au diamètre.

Comme conclusion à ces considérations, si on appelle d le diamètre du piston, et / sa course, on adopte (^) :

avec la condition que la vitesse moyenne du piston ne doit pas dépasser une certaine limite, que les progrès de la construction et surtout une plus grande légèreté des pièces, à résistance égale, ont constamment élevée ; on devra avoir dans les cas ordinaires :

(5) To-<«"''-'^

Cette limite (28) pourra être plus élevée pour de très grands moteurs, et plus élevée encore pour des machines spéciales, telles que locomotives, machines de laminoirs, machines marines (Voir le tableau du n« 28).

Si le nombre de tours n est donné, on calculera v^ par l'une des équations (t) ou (2) ; l'équation (4) achèvera do déterminer d et l, on vérifiera si l'équation (5) est satisfaite, sinon, on substituerait cette dernière relation à l'équation (4), à laquelle on devrait renoncer.

Si le nombre de tours n'est pas donné, on pourra toujours satisfaire aux deux équations (4) et (5).

Comme le prix îles machines diminue avec le volume du cylindre, il y aurait inlèrôt, d'après les relations (1) ou (2), à augmenter le nombre de tours, mais l'équation (5) montre que la course devrait être de plus

(1) Pour les machines verticales et surtout pour les machines marinos, los proportions sont très difTcrentes.

en plus réduite, ce qui donnerait bientôt des cylindres de proportions défectueuses s^éloignant de la condition (4).

Forces dHnertie du mécanisme

22. — Les machines motrices sont généralement munies d^un volant qui maintient entre des limites aussi resserrées que Pon veut les variations de la vitesse angulaire (fascicule I, n*** 111 à 120) ; dans certains cas, le coefficient de régularité s'élève à 200 ou plus, et l'on pourrait pour cette raison considérer la vitesse angulaire comme constante ; mais certaines pièces du mécanisme, comme le piston, la tige, la crossette, les organes de la pompe à air, possèdent un mouvement rectiligne alternatif accompagné d'accélérations; la bielle est animée d'un mouvement plus complexe.

Les forces d'inertie modifient la loi suivant laquelle se développe le couple moteur, elles ont également de TinDuence sur la douceur de la marche, sur l'état de sollicitation des pièces mobiles, des bâtis et de leurs attaches. Il n'est nécessaire de prendre ces forces en considération que pour les vitesses assez grandes, mais comme celles-ci sont aujourd'hui de règle à peu près générale, nous ferons une analyse complète des effets de l'inertie, en mettant à profit les belles théories graphiques que M. Massau a fait connaître en 1890. Il est du reste facile d'obtenir une approximation en négligeant l'obliquité de bielle, mais cette approximation n'est pas toujours suffisante {*).

(1) On n'a ccmmencéà se préoccuper des forces d'inertie qu'à une époque relativement récente ; d'après!).-^. C/ar/r ^T/ie .S'/eam f/jgirte ( 1890 ), les premiers travauxsur cette question datent de John \iVatt(lS^9),MacNaught(iSiiS)ei surtout G. H.Strype (1863). Ch.-T. Perler, de Philadelphie, a contribué à développer la théorie, et a été le premier à en utiliser les résultats en rendant possible des vitesses inconnues avant lui ; les travaux du professeur Badin ger, de Vienne ( Ueber Dampfmaschinen m it koker Kolbengcschwindigkeity 3^ édition, Vienne, Gérold), ont égale ment éclairé la question. L'étude des accélérations de la bielle a fait l'objet de nombreux travaux, nous citerons: en France, ceux de Résal, Nillus ( Annales des Mines, 9^ série, 1. 1, p. 277); en Angleterre, ceux de Fleeming Jenkin (Transactions of tke /?. S. c/ Edinburgh 1877, p. i, 1879, p. 703), cités par le professeur Ewing (Minutes of Proceedings of C. E., vol.

FORGES d'inertie DU MÉCANISME

23, — Méthode de M. Massau. — Soit (fig. 46) OB la manivelle de rayon r, AB la bielle, nous supposerons^ que la. tige passe par le centre de Parbre [Fauteur de la théorie a examiné un cas plus général, qui pourrait servir pour l'étude du moteur Westinghouse (11) ou du système Fleming et Ferguson (7) ].

On démontre facilement, par la considération du centre instantané, que les vitesses des points À et B de la bielle sont données par co x OK u> X 0 B, ft> étant la vitesse angulaire de l'arbre et 0 K la perpendiculaire à 0 A menée jusqu'à l'intersection de la bielle prolongée. La vitesse d'un point intermédiaire C, est donnée par w x 0 D, le point D parta-

LXXXIII; p.254). M. Massau a traité la question d'une manière très j^énérale et très complets par des procédés ^aphiques nouveaux (Annales de V Association des Ingénieurs de Gand, 1890-91, t. XIV, p; 210 à 248). Le professeur ^.-C.£'//io« a donné f'£/igineering 1895^1<^'sem.,p.587et711) un procédé de détermination des accélérations qui n'est autre chose que celui de Massau. L'accélération du piston avait déjà été (fé terminée graphiquem3nt en Allemagne par Molir ou par Schadwill ( Burmeister ; Kinematik, 1. 1) probablement vers 1879. (V. aussi Engineering, 1895-2-55, 1897-1-665, 1897-2-511^ et l'application des méthodes préc)dentes aune bicllo de machine marine, parle proîiisseur Dunkerley, 1899-1-695). La dynamique de la bielle a été approfondie h une époque relativement récente au pointde vue de l'équilibrage des machines marines comportant quatre manivelles au moins; voir l'ouvrage de P.-II. Lorenz (Dynamik der Kurhdgetriehe, 1901). Consulter aussi les mémoires de M, Marbec et de M. Lelcng {Annales de P Association technique maritime, 1892 et 1901).

62 FORCES d'iNERTIB du M£CA5I81fC

geaot II B comme le point C divise la bielle AB ; ce point D est du reste relié au point C par la construction O, ND, indiquée sur la figure ; les lignes telles que 0 D sont en outre perpendiculaires aux vitesses des points correspondants.

Pour obtenir les acréleratians des différents points de la bielle, oo commence par supposer ts* constant. L^accélêration totale d'un point C de la bielle résulte de l'accélération normale et de Taccélération tangentielle de ce point.

Dans le mouvement de rotation uniforme autour de 0, le point B possède Taccélération normale ttiV, qui est aussi pour ce point Taccélération totale, et que nous pouvons, au facteur w» près, représenter par BO.

Pour la position considérée, le mouvement du point A peut être obtenu par la translation du point B et par la rotation de AB autour de ce centre, cette rotation ayant la vitesse angulaire w* qui est celle de la bielle autour du centre instantané 1. Le mouvement de translation donne une accélération A/>j parallèle et égale à BO. La rotation autour de B donne une accélération normale dirigée de A vers B, ayant pour valeur :

to » X A B

et comme nous la divisons par w-^ nous porterons :

Enfin, la vitesse <u' étant variable, le point A possède raccëléralioa tangentielle :

en la divisant par cd^, nous porterons suivant une direction perpendiculaire à A B :

La résultante de \n te A/>, ou A7, représente Taccélération du

FORCES d'iNEATIE DU MÉCANISME 63

point A dans son mouvement de rotation autour de B, sauf le facteur (o^, omis dans les composantes ; cette accélération est donc :

Pour un point quelconque, tel que G, il suffira, pour avoir Paccélération correspondante du mouvement de rotation autour de B, de joindre Bq et de mener Cu parallèle à Aç, car chacune des composantes A/), An étant proportionnelle à AB, les deux composantes de u sont proportionnelles à BC.

Il reste, pour obtenir les accélérations totales des points A, C, etc., à composer avec les longueurs kq^ Ca, etc., la longueur Am, représentant Taccélération de la translation empruntée au point B. Cette composition peut se faire sur un même tracé (fig. 47), autour du point A', attendu que Xm est constante en grandeur et direction pour tous les points de la bielle. On obtient ainsi, pour ^accélération du point A, la longueur A' a', pour celle du point C, la longueur A'c', etc. ; le point c' divise la droite 771 a' comme le point C divise la bielle BA. Le point A possède le mouvement rectiligne de la tige, dont l'articulation est guidée, AV doit donc être dirigée suivant AO. Il résulte également de la construction que tous les points tels que ac^ etc., qui sont les extrémités des longueurs représentant les accélérations totales, se trouvent sur la môme ligne.droite AO.

On peut encore mener par 0 des lignes parallèles et égales aux accélérations totales trouvées A'a', A'c', A'm', ce qui revient à mener la ligne Ba'*'* parallèle à ma\ ou à reconstituer autour de 0 le faisceau des accélérations. On en conclut, lorsque la ligne Ba" est connue, que Taccéléralion d'un point C quelconque s'obtient en menant Ce" parallèle à AO, et en joignant Oc".

Pour trouver le point a", remarquons que si l'on projette sur la droite AB les accélérations totales des points A et B, elles ne différeront que par la valeur de la composante telle que A/i : cette différence s^obtient en projetant sur AB la droite a" B qui joint les extrémités des accélérations totales des points A et B, ce qui donne Bs ; on doit donc avoir :

64 FORGES d'inertie DU MÉCANISHB

Or :

An = Î^X AB

u>'BK o) "" A B

d^où :