CHAPITRE IV
Sur quelques particularités des turbines.
Vitesse critique des arbres (^). — Équilibrage des roues^ etc.
162. — La vitesse critique d'un arbre portant une seule roue, déterminée au n» 142, est indépendante de Pexcentricité. Lorsque celle-ci n^est pas nulle, la flèche prend une valeur infinie pour la vitesse critique, et une valeur très grande dans le voisinage de celle-ci. En supposant au contraire la roue parfaitement centrée, Téquation d'équilibre posée au n** 142 devient :
y = -j^^y et est satisfaite pour une valeur quelconque de y lorsqu'on a
ip'
c'est-à-dire à la vitesse critique, tandis qu'elle donne une flèche nulle pour toute valeur différente de la vitesse. Il y a donc intérêt à équilibrer le disque aussi parfaitement que possible pour réduire la flèche dans les conditions de fonctionnement normales, mais cet équilibrage ne modifie pas la vitesse critique ; lorsque celle-ci est atteinte, l'équilibre de l'arbre est indifférent quelle que soit l'excentricité, parce que la tendance de Tarbre à se redresser est proportionnelle à la flèche, et que la force centrifuge suit la même loi.
(1) Voir, sur la forme et les dimensions comparées des arbres dans les turbines de Laval, Râteau, Oerlikon, Zoelly, Brush-Parsons, Melms-Pfenninger, Tosi, Brown-Boveri : Engg., 1910-2-66.
On peut baser sur cette remarque une première méthode pour I.i recherche de la vitesse critique d^un arbre portant un nombre quelconque de roues (^).
Première méthode. — L'arbre étant dessiné avec les charges Pi,P2,etc. , qui agissent en des points connus, traçons au jugô la forme de Taxe fléchi, et déterminons, au moyen des flèches mesurées i/i, y^^ etc., les forces infléchissantes, qui résulteraient d^une vitesse o> arbitraire, et qui sont Pi^iw^, P2i/2'^^^i ^^c* Nous pourrons ensuite tracer le diagramme des moments fléchissants, et en déduire Télastiquo par les procédés de la résistance des matériaux. Si la ligne élastique ainsi trouvée coïncidait avec celle qui a servi de point de départ, co serait précisément la vitesse critique, mais cette coïncidence serait fortuite. Supposons que la flèche trouvée sur l'une des forces, par exemple Pg, soit Y2, plus grande que 1/2 ; nous pouvons diminuer cette valeur trop grande en réduisant la vitesse, et nous rendrons ¥2=2/2 en calculant w' au moyen de la proportion :
attendu que les forces centrifuges sont proportionnelles aux flèches.
L'élastique modifiée ainsi pourrait coïncider entièrement avec celle dont les ordonnées sont r/i, y 2 etc., et, dans ce cas, <o' serait la vitesse critique cherchée.
Cependant, il n'en sera pas ainsi en général, et il faudra corriger par tâtonnements la ligne hypothétique pour obtenir un accord suffisant. On peut, dans Papplication, tenir compte du poids propre de Tarbre, qu'on partage en tronçons, et qu'on traite comme les autres masses. Toutefois, la méthode approchée qui sera exposée ci-après est plus pratique et ne demande aucun tâtonnement.
Relation entre la vitesse critique et la période de vibration d'une pièce Jléchie{^). Supposons que Parbre, avec les roues qu'il porte, soit
(1) Stodola, ouv. cité. Un exemple d'application de cette méthode est donné par Bauer et Lasche {Schiffstwbinen, Oldenbourg, 1909).
Delaporte, Rev. de Méc, 1903-1-517.
(2) Cette relation est bi3n connue, t m lis que le procédé qui en est déduit plus loin a été donné, pensons-nous, par M. Arthur Morley {Engg., 1909-2-135 et 205). Voir sur le même sujet l'ouvrage de Stodola.
soumis par unité de longueur à la charge/), constante ou variable ; soit tj la flèche à la distance x comptée depuis l'une des extrémités, dans la section d'appui ou d^encastrement.
Pour la vitesse critique «o, l'effort par unité de longueur est, à la distance X :
En appelant M le moment fléchissant dans la même section, on sait que :
On a aussi, par Téqualion de déformation;
I étant le moment d'inertie de la section de l'arbre autour du diamètre. En combinant ces deux équations, il vient :
dx^ g
qui, lorsque l'arbre est de diamètre uniforme, se réduit à :
dx* g ^
Considérons d'autre part Tarbre fixe, avec des masses disfribuées de la même manière, fléchi par une cause initiale qui cesse d'agir; la pièce vibrera autour de sa position d'équilibre suivant une loi harmonique simple, ou qui s'en écarte peu. On sait que, pour une pareille vibration, l'ordonnée de l'axe en un point varie avec le temps suivant une loi sinusoïdale ; on peut la considérer comme étant à chaque instant la projection de sa valeur extrême ?/, celle-ci tournant à la vitesse
angulaire co', de telle manière que la période du mouvement vibratoire soit
L'accélération dans la position où la flexion est la plus grande est ainsi : et la réaction d^inertie correspondante est par unité de longueur :
La pièce fléchie tendant à se redresser, c'est comme si elle était sollicitée vers sa position droite par des forces normales égales et de signe contraire à celles qui auraient produit la fleiion. Ces forces sont, pour Tunité de longueur, en fonction du moment fléchissant :
OU, d'après la théorie de la flexion :
Comme il faut les changer de signe pour les égaler aux réactions d'inertie, l'équation de la pièce vibrante est identique à celle trouvée plus haut pour celle de la môme pièce à la vitesse critique, sauf que to'
remplace w ; le nombre de tours ^ à la vitesse critique est donc égal
à la fréquence du mouvement vibratoire, à la condition toutefois qu'on puisse négliger l'inertie des masses due à leur mouvement de rotation dans le plan de flexion.
On tire de ces propriétés une deuxième méthode approchée qui permet de trouver la vitesse critique.
La période de la vibration, qui est indépendante de l'amplitude,
s'évalue en supposant que la forme de la pièce à rextrémité de sa vibration est celle que produirait la charge statique/) par unité de longueur. Cette hypothèse, qu'il parait difficile de justifier d'une manière générale, se vérilie avec une très grande approximation, et donne môme des résultats exacts dans quelques cas particuliers ; elle facilite la solution cherchée parce que la ligne élastique se détermine rapidement pour une pièce fléchie par des forces connues. Soit :
Péquation de Taxe fléchi par les forces croissant depuis zéro jusqu'à leur maximum jorfcT ; le travail de ces forces est, pour toute la pièce de longueur l :
/ pydx.
Il est entièrement transformé en énergie de mouvement lorsque la pièce abandonnée repasse par sa position droite, ce qui donne l'équation :
d'où on tire :
s fjpydx
t./2 ou co* = -^'-^ .
/ py'dx
Cette formule, dans laquelle lo' désigne aussi la vitesse critique de l'arbre tournant, doit être modifiée lorsqu'il porte des roues présentant un moment d'inertie assez grand autour d*un axe transversal ; le plus souvent, cependant, les roues se trouvent dans la région centrale, où rinclinaison de la fibre est faible, et la correction est alors négligeable ; elle tend à relever la vitesse critique. En introduisant dans l'équation du travail le couple des forces dues à l'inclinaison, on trouve que le dénominateur de l'expression précédente doit être remplacé, pour obtenir w^^ par
/ py'^dx — / pR^i^dx
R est le rayon de giration du poids pdx autour d*un axé passant par son centre et perpendiculaire à Parbre, a est Pangle maximum de déviation qui se mesure sur Tëlastique.
Cette correction ne s'applique pas à la vibration transversale, pour laquelle le terme supplémentaire doit être ajouté et non retranché.
Applications, — I. — Charge p continue et unijormément répartie^ arbre appuyé.
Inéquation de la fibre fléchie est, comme on sait :
^ - Ï2IT U ~ T j
Les deux intégrales qui figurent dans l'expression donnée plus haut ur la vitesse critique se calculent immédiatement, et on obtient :
pour
La fraction comprise sous le radical vaut 97, 548. . . . , tandis que la valeur de -n^ est 97, 409...., on peut donc écrire, en modifiant très peu la valeur trouvée :
ce qui est la valeur trouvée analytiquement par Stodola et divers auteurs pour la première vitesse critique \^),
II. — Même charge^ arbre encastré aux deux extrémités. L'élastique est
on trouve
1 /gË!
(1). Dans la solution analytique, qui résulte de l'intégration de Téquation d'équilibre, on trouve naturellement toutes les formes possibles de flexion y compris celles comportant 1, 2, 3..., nœuds intermédiaires, ce qui fait apparaître des vitesses critiques supérieures, généralement sans importance pour l'application, surtout si on se tient en dessous de la vitesse critique la plus faible.
Le coefficient numérique est, pour la valeur exacte
j 7:2 ou 22,2066...,
au lieu qu'on a ici
V504 ou 22,4499.
L'accord, moins parfait que pour le cas précédent, est encore très satisfaisant.
III. — Arbre défini p ir la figure 423®, appuyé sur paliers à rotules^ et chargé de huit roues (^). Il faut commencer par chercher la forme de Télastique par la méthode connue ; on trouve le moment fléchissant au moyen du triangle des forces, puis, on intègre deux fois l'équation,
dx^ ~ El
Le moment d'inertie étant variable, on divise les ordonnées M par El, et on obtient la figure II discontinue, sur laquelle on opère comme s'il s'agissait d'une pièce chargée dont on chercherait les moments fléchissants ; on trouve finalement la courbe III représentant la pièce déformée.
Les indications portées sur la figure permettent d'établir l'échelle des y (on observera qu'elles se rapportent à la figure avant réduction).
Les relevés faits sur la courbe III des ordonnées qui correspondent aux forces permettent de remplir le tableau suivant :
PV
vv^
( 1 ) Vt) ir M o R L E Y , cité p . 53 3 ,
Les ordonnées y ayant été mesurées sans tenir compte de l'échelle,
, 1000 qui est
on a
5 fl û Jl Jl II II Jl
\t Z,2So
I Bch,efés oc:^ zo
- \. dis ta ne fi pcl. -
Fi«. 423"
o) = 392.8 H = - (o = 3750 tours par minute.
Un pareil arbre, qui n'a d'ailleurs pas été réalisé, no pourrait être employé pour une turbine fonctionnant normalement à 3000 tours ; il faudrait, ou bien augmenter son diamètre pour relever sa vitesse critique de manière à ce que la marge soit encore suffisante pour les excès accidentels de vitesse, ou bien rendre les paliers rigides, ce qui aurait probablement pour effet de doubler à peu près la vitesse critique ; on pourrait encore amincir Parbre de manière à abaisser franchement sa vitesse critique en dessous de 3000 tours, en prenant les précoulions nécessitées pour les mises en train.
Formule de Dunkerley — Cette formule empirique, qui se vérifie expérimentalement avec une approximation suffisante, est applicable au cas d'un arbre portant des charges isolées. Soit co la vitesse critique de l'arbre tournant seul, (o^ celle de Parbre portant la première roue, (02 celle de Tarbre avec la seconde roue, et ainsi de suite, ces dernières vitesses étant calculées sans tenir compte de la masse de Tarbre ; soit enfin Q la vitesse critique de l'arbre portant toutes ses roues. La relation posée par Dunkerley est
Nous avons vu plu'S haut comment on détermine w pour un arbre de section uniforme (application I) ; pour une section variable, on pourrait employer la méthode graphique (application III) ; il faut remarquer cependant que le terme qui se rapporte à Parbre seul peut souvent être négligé Quant aux vitesses (o^ (Og etc., on pourrait les trouver par la môme méthode graphique employée successivement pour chacune des roues, mais la formule n'aurait alors aucune utilité, car il n^est pas plus long de faire la recherche pour l'arbre chargé de toutes ses roues. Dans le cas où Tarbre peut être considéré comme ayant un diamètre uniforme, et en supposant qu'on néglige le couple d'inertie de la roue autour de son diamètre, on a lorsque Parbre est appuyé :
(Il
3gEI /
Pi l\^i'\''
