EQUILIBRE DE LA VIS

Imprimons à la vis un mouvement infiniment petit qui fasse arriver le point m en n {Jig. 79); dans ce mouvement la vis aura tourné d'uuc certaine quanlilé w, et l'on aura, en nommant p le bras de levier de la puissance,

DES UOVTIXS ST DE JLA VIS. iSp

Pareillement

et, en verlu de l'équation du travail,

a Pp^ =z Q,ms.

Mais

ms = ns. taog i = r^ tang ij

en nommant r le rayon du cylindre ; donc

2 Pp 6» = Q roi tang /'.

Simplifiant et remplaçant tang i par sa valeur, on trouve

2P A ■q "" 2xp'

Par conséquent, /a puissance est à la résistance comme le pas de la vis est à la circonjérence que tend à décrire la puissance. Ayons égard maintenant au frottement.

Chaque point de la surface du filet touche un certain point de Técrou, et il est assujetti à parcourir une hélice tracée sur un cylindre, dont le rayon est la distance à Taxe du point que Ton considère, et dont le pas est celui de la vis. Or on peut supposer la force Q comme étant décomposée en une infinité de forces parallèles à Taxe du cylindre et agissant aux divers points de contact; ces petites forces produiront d&ns les divers plans tangents aux cylindres sur lesquels sont tracées le$ hélices, des

pressions normales à ces courbes « et ces pressions à leur tour feront naître des frot» tements dont nous allons tenir compte.

Soient i Tinclinaison [fig- 79) de Thélice sur le plan de la base du cylindre, et mn un petit élément de Fhélice situé dans le plan tangent ACB.

Les forces qui agissent au point m sont la réaction normale N et le frottement N/* . Pour un autre point situé sur la même hélice, les réactions seront N' et M'/*, etc. ; relativement à une

Fig- 79

l6o DIXIÈME LEÇOBT.

autre h^ice, les réactions analogues seront Ni^Ni/, etc. Ainsi la vis est sollicitée par les forces

Pour réquilibre, il faut que les sommes des composantes de ces forces parallèles à trois axes rectangulaires Oj:, Oj^,Oz (dont le dernier est Taxe de la vis) , soient nulles, et que les sommes de leurs moments par rapport aux marnes axes soient aussi nulles.

La somme des composantes des réactions parallèles à l'axe des z est , pour une même hélice ,

— N cos i + N/s'in i 7- N' cos / + N'/sin / — ... == — (cos i — /sin i ) 2 N.

Relativement à une autre hélice, la comme des composantes sera pareillement

— (cos /| — /sin /, ) 2 N,.

Egalant à zéro la somme totale des composantes, on obtient

(2) Q = (cosi — /sin/)2N-+-(cos/, — /sini.) 2 N, -h . . .

De mème^ si l'on égale à zéro la somme des moments relatifs au même axe, on trouve

(3) 2P;?==r (sini -h /cos «) 2N + r, (sini, +/cosi,)2N, -h. . . ;

r, Tj , . . . , sont les rayons des cylindres sur lesquels sont tracées les diverses hélices. Les inconnues du problème étant les forces P, Nj N', . . . , Ni , N', , . . ., les autres équations de l'équilibre, que je n'écris pas, ne pourraient servir, conjointement avec (2) et (3) , qu'à déterminera des inconnues, toutes les autres étant données. Remarquons maintenant que' le jeu qu'on laisse à la vis ne lui permet de frotter que latéralement ^ si donc on suppose que le premier terme de chacune des équations (2) et (3) se rapporte à l'hélice moyenne, on pourra poser

et ces équations deviendront, en nommant m le nombre des

DES MOUFLES ET DE LA* VIS. l6l

hélices de coutact, et ne conservant que les termes du premier ordre par rapport aux variations^,

Q = w{cosi— /sin /) 2N — (sin/-H/cos/) 2N .2, 9i -f-(cosf — ^/sin r)2, .J2N,

2 P/? = mr (sin i -h/cosri)!^ H- r(cosf — /sin i) 2N . 2, ^ i

-4-(sin/-4-/cos/)2N.2,^r-+-r(sinf +/cosf)2,.52N=:o,

le signe S s'étendant à tous les points d'une même bélice, et le signe Si, à toutes les hélices frottantes. Mais on a, à très-peu près,

car les variations relatives aux hélices tracées sur des cylindres symétriques du cylindre moyen sont de signes contraires, et ne sauraient différer que très-peu ^ donc on aifi^a simplement

(4) Q=iw(cos/— /sin/)2N, •

(5) 2p/>= wr(sin/-H/cos?)2N.

Divisant Téquation (5) par l'équation (4)7 ^1 vient

2 P r sini -f^ycos /

Q p cosi — /sini

Divisant numérateur et dénominateur par cosi, on trouve, en ayant égard à l'équation (1),

.^ 2P r h + ^icrf

Du reste, cette formule dérive très-simplement de la relation (2)

du n® 30, en y faisant b = 2irr, et remplaçant P par 2P-*

Cela résulte sans peine de ce que Thélice peut être assimilée à un plan incliné, ayant pour hauteur le pas de l'hélice, et pour base la circonférence de la base du cylindre. Le changement

de P en 2P- revient à remplacer la première force par une

autre parallèle, agissant à l'extrémité d'un bras de levier^,

l$2 ■ DIXIEME LEÇOM.

Si dans cette «juatjon on faity = o , on retrouvi; 2p h

Si la force P était destinée à empêcher l'accélération du mouvement, il suffirait évidemment de changer le signe de/. Supposons, par exemple,

dans ce cas on trouve, en n'ayant pas égard au frottement, De sorte que si l'on prend, par exemple, Q ^ looo^, on aura

Si l'on a égard au frottement, la formule (6) donne

et, dans l'hypothèse Q ^ looo",

ce qui fait voir que, dsas l'exemple précédent, la puissance est rendue 6,5 fois plus grande par l'action des frottements. I^a formule (6) peut s'écrire sous la forme

Si, dans le deuxième terme, on fait la division du numérateur par le dénominateur, et qu'on néglige les termes du troisièmi; ordre par rapport à/, A, on trouve

(8) iî = ^^k

' ' Q 2 ir/J /i

Si on voulait tenir compte des termes du troisième ordre, on aurait

DES MOCFLES ET DE LA VIS. l63

Quand la force P est destinée à empêcher T accélération du mouvement, on a, d'après ce que nous avon^ dit plus haut,

'. 2P r h — 2,n rf

et Ton voit que le problème n'est possible qu autant que

Si le pas de la vis a pour valeur

A = 2 ir //■, on aura

et le fratt€ment suffira seul à maintenir Tuniformité du ra0a«vement.

RAPPORT DES CHEMIHS PARGOURDS PAR LA PUISSAHCB BT LA RÉSISTARGE.

Pour un tour entier de la vis, la résistance s^ élève ou s'abaisse d'une quantité égale au pas ; plus généralement, la rotation de la vis est proportionnelle au chemin parcouru par la résistance : on aura donc, en nommant p* et q les chemins,

h étant une «constante qu'il s'agit de déterminer. Pour cela, faisons dans cette équation

q=zh, / = 27r/?;

elle donne

alors la valeur de p' deviendra

(il) p' = —Jlq,