DE = D'E
Mais
DE=AB.w, D' E' == A' B' . w';
donc
A'B'.w'=: AB.w:
de là on tire
Substituant cette valeur dans Téquation (i), elle devient Ç.A'K'.AB = F.AV.AB -f- -c A'^'.AB rf--c.A^».A'B'-hT.A'B'.Aw'.
Posons maintenant , pour a^iréger,
BAD=:qç, B'A'D' = a', et nous aurons
A'K' = iA'F.cosa', AV =- A'B'.cosa', A'^' = A'B'.cosa',
A^ = AB.cosa, A/«'=: - AB.cosa.
Substituant ces valeurs dans l'équation ci-dessus, on trouve
(3) B.A'F.cos a'= A'B' [(FH- c) ces a' H- (T -h c) ces a].
Supposons acluellemenl que pour une position déterminée du système, la figure AK A'B' soit un parallélogramme, la même
DU PONT-LEVIS. l6g
chose aura lieu pour toute autre position , et l'on aura
A'B'=AB, «'=a.
Par suite, Téquation (3) devient
(4) B. A'F = (T ^- F -f- 2c) AB,
laquelle est indépendante de la position du système. En don-^ nant aux diverses parties d*un pont-levis des dimensions et des poids qui satisfassent à Péquation ci-dessus , Téquilibre aura lieu pour toutes les positions possibles , de sorte que pour mouvoir le système, ou n'aura que les frottements à vaincre. On lire de Féquation (4)
AR
et si l'on prend A'F = AB, on est conduit à la relation trèssimple ,
Ce qui fait voir que lorsque la longueur de la bascule du pont'lei^i's est égale à celle du tablier^ le poids de la bascule est égal à la somme des poids du tablier et de la flèche y augmentée du double du poids des chaînes. Le terme 2 c peut être négligé sans inconvénient dans Féquation (6), à cause de sa petitesse par rapport à T -f- F.
'*' Il ne serait pas sans intérêt de savoir si le parallélogramme est le seul quadrilatère qui rende Féquation (3) indépendante des angles a et a'.' Pour cela , il suffit d'exprimer que Téquation (3) aura toujours lieu en n'y faisant varier que les angles a, a'; il faut donc y remplacer a par a -f-^/a, a' par a '-f- da\ puis égaler les résultats obtenus, ou, ce qui revient au même, égaler les différentielles des deux membres: on trouve de la sorte, en observant qu'en vertu de l'équation (a)
lA'F.B — A'B'(F -hc)]ABsina'=:A'B' (T-f-c)»ina.
170 OnzfEME LKÇOir.
Mais Téqualion (3) peut s'écrire sous la forme
[A'F.B — A'B'(F-Hr)]cosa'=:A'B'(T-hc)cosa. '
Divisant membre à membre , il vient
(7) AB.UDg a' •= A' B'. taDg a.
Diiférentiaiit encore une fois , et remplaçant toujours da^ par sa valeur, on trouve
AB A^B^ cos^ a' cos* a
ou, ce qui revient au même ,
(9) . AB (n-tang'a') = A'B' (i -I- tang'a).
Eliminant tang a' au moyen de Téquation (7) , on obtient
A' B' = AB , et ensuite «'.= «;
d'où l'on conclut que le parallélogramme est le seul quadrilatère qui assure F équilibre du pont-lev'is ^ pour toutes les positions possibles.
