PRINCIPE DES FORGES VIVES OU DE LA TRANSMISSION DU TRAVAIL

63. Puisque les forces données P, P', P", . . . , qui agissent sur le système, sont tenues en équilibre par les forces effec-

tives m -? m' —1 m" — 9 • • • prises en sens contraire de leurs*

T T T gPH 10

directions , on aura, en vertu de l'équation du travail ,

^P -H PV + PV . . . — /;/ - e — /w' — •' — w" — «"— . , . = o.

DES MACHINES QVkVa LEOB VITESSE EST ViRIiBLE. ^55

p, p', p", . . . sont les projections faites sur les directions dei forces des chemins parcourus dans le temps r par leurs points d'applications , c , e', ■", ■ ■ ■ , les déptacements elfeciifs. Il est évîdentque les travaux élémentaires d«9 forcgs effectives prises en sens contraire de leurs directions, sont tous des travaux résistants ou négatifs. Soient ■'g, >'o >'',,■■ -, les vitesses des mobiles m, m', m",. . . , au commencement de riniervalle de temps pour lequel on calcule le travail , on aura

Cl l'équation ci-dessus deviendra

Pp ■+- V'p- 4- ¥"p" -»-...= mav^ + m'a'v, + m" a" »', +. . .. Dans l'instant suivant on aura de même

Dans le troisième instant, on aura pai-eillement

?>/>, + ?",/, + V,P',--- — ma, w, + ra'ff', ./,+-//("<!', /,+..., et ainsi de suite , jusqu'au dernier instant de la période proposée. Ajoutant toutes ces égaillés membre à membre, et nom* man tT la somme algébrique des travaux des forces PjP'jP",..., il vient

Le signe S s'étend à tous les points matériels du système, n désigne le nombre d'instants r que contient la période proposée.

Quelle que soit la trajectoire décrite par chaque mobile, on peut la partagef en intervalles infiniment petits tels que de l'un à l'autre la vitesse varie d'une même quantité telle que a. On peut donc poser

et la valeur de T devient

mais Vn,Vi, l'i,..., sont les termes d'uue progression arith-

a56 DIX-SEPTIÈME LBÇON.

métique dont la raî$on est a et qui est composée de n ternies; faisant la somme , on trouve .

(Po-4-«')/ï

Substituant cette valeur dans Téquatioii (2), il vient

Maïs na = i' — t'o» en négligeant le terme infiniment petit «; donc

et enfin

ce qui eàt V équation des forces vlx^es^ ou le principe de la transmission du trauaiL Une quantité telle que mu* est dite la force viv^e de la masse m,

* Le calcul intégral fournit une démonstration très-simple du principe des forces vives. En effet, l'équation du travail

peut s'écrire

dv 2P/? — 2/w -rs.

dt •

Mais

s = vdt\

donc *

2 P/? = 2 mvdv.

Intégrant depuis v = ^^^ jusqu'à v^ oh trouve