MOUVEMENT DUKE COURUE SUR U\E AUTRE

Considérons deux lignes polygonales ABCD. . . , «RCf/. . . •6té commun BC, et leurs autres côtés liA , Ba, . . . , CD, C rf, . . . , égaux resper-

■nl; si l'on fait rouler le

premier po-

lygone sur le second, de manière à amener en coïncidence CD avec Ctl, il est évident que, pendant que le côlé CD se meut vers Cd, le polygone ABCD tourne autour du point C. CD étant venu coïncider aveeC(/, elle roulement continuant, le point d deviendra le centre d'une nouvelle rotation, et ainsi de suite. Or il est clair que ces rctaiions successives auront lieu, quelle que soit la grandeur commune des côtés des deux polygones; donc la même chose aura lieu quand ces polygones se changeront en courbes. Par conséquent, quand une courbe roule sur une courbe Jixe, chaque point de contact devient successivement le centre instantané

MOUVEMENT dVdîE FIGURE PLANE DAIfS SON PLAN. 'iOQ

de rotation de la figure mobile^ d'où il suit que les normales à toutes les lignes décrites par les dis^ers points du plan de la courbe mpbilc viendront passer par ce point.

MOUVEMENT D'UNE FIGURE PLANE DANS SON PLAN; EXEMPLES

Tout moui^einent d^unc figure plane dans son plan est un mouvement de rotation autour d* un point fixe.

Soît am [Jig. 1 13) la direction du mouvement d'un point quelconque a de la figure mobile, et menons sur ain la per- Fig. ii3. pendiculaire ab^ que nous regarderons

m comme entraînant la figure proposée. Soit I rt'ç le mouvement infiniment petit d'un ; point quelconque aMe la droite ab *, nous pouvons remplacer le mouvement a^s par deux autres mouvements a' //, a'm\ dont Tun a' m' sera égal à arn et de même sens. En décomposant de la même manière le mouvement de chacun des points de ai, on conclura que tous les points de cette ligne seront animés d'un mouvement commun de translation égal et parallèle à am, tandis, que les autres mouvements seront généralement variables, soit en gr£^ndeur, soit en direction^ et comme le point a est le seul des points de la ligne qui ne possède aucun de ces mouvements particuliers, on en conclut que la figure mobile, en vertu de ces derniers mouvements, ne pourra que tourner autour du point a, et en sens contraire du mouvement de am, ou dans le sens de la flèche. Soit co la rotation infiniment petite d'un point quelconque a', l'espace parcouru par le point a' dans l'élément du temps sera

a! u-zz. (A,aa' ,

Donc si l'on choisit le point a' de telle sorte qu'on ait la relation

w . aa' = a* m' = am ,

ce point restera fixe, étant animé de deux mouvements égaux et contraires. Le point a', ainsi déterminé, sera donc le centre

3lO VINGTIÈME LEÇON.

instantané de rotation de la figure mobile. Comme chaque point de cette figure décrit autour du centre instantané de rotation un élément circulaire infiniment petit, il pn résulte que les normales aux courbes décrites par les dit^ers points de la figure mobile ^viendront toutes passer, à chaque instant, par le centre instantané de rotation.

Soit, par exemple, une tige AA' [Jig. ii4) articulée avec

deux rayons OA, O'A'quî Tobligent à s'appuyer constamment

ï^ig- "4 sur les deux circonférences O et O^ 5

comme les points A et A' décrivent chacun une circonférence de cercle, le centre instantané de rotation, qui \ répond à la posi tion A A' de la tige /' mobile, sera au point C, où les deux ^"- — -^"^ " — '^ rayons OA, (VA' se rencontrent.

Si Ton veut connaître la direction du mouvement d'un point quelconque B de la tîge AA', il suffira de joindre le point B au point C ; la ligne BC sera normale à la courbe décrite par le point 6. Donc en menant DD' perpendiculaire à CB, on aura la tangente à la même courbe, et, par conséquent, la direction du mouvement. La courbe décrite par un point quelconque 6 de la droite AA' porte le nom de courbe à longue inflexion: Nous la retrouverons dans le parallélogramme de Watt.

Il est bien entendu que le centre instantané de rotation pourrait être situé à l'infini 5 dans ce cas, la rotation se changerait en une translation.

On peut donner du théorème ci-dessus une démonstration purement géométrique. Soit toujours AB [fig^ 1 15) une droite

tracée dans le plan de la figure mobile, et entraînant celle-ci dans son mouvement.

Soit aussi A'B' la posiiion infiniment voisine que vient prendre AB. Si nous supposons que le point M de la ligne AB soit venu se placer en /n , le point m de la même ligne sera venu en un point N tel, que fnN = mM. Décrivons maintenant une circonférence de cercle qui passe

MOUVEMENT D UNE FIGURE PLANE DANS SON PLAN

par les milieux de Mm et de Nm ; cette circonférence ser. gente aux deux droites AB, A'B' ^ par conséquent, pour ai la droite AB dans la position A'B', il suffira de la faire g sur la circonférence décrite. Mais la figure dont il s'agit a< pagne le mouvement de AB à laquelle elle est supposée riablement liée; donc pendant le déplacement infiniment de la figure proposée, celle-ci tournera autour du point C est le centre instantané de rotation.

Pour nous faire une idée exacte du mouvement de lai mobile,' nonmions A, B, C, D (fig^ 1 16) les centres înst

nés de rotation , et supposons le point A appartienne à la £ mobile. Tirons Ai qui fasse AB un angle égal à F angle de i tion autour du point A, et pre Ab = AB. Au point b consiru Tangle A ix = B, et tirons bc = qui fasse avec bx un angle égal à l'angle de rotation autot point B, et ainsi de suite. Dans le mouvement de la figure bile autour du point A, la droite Ai viendra cbincixler AB; d'ailleurs l'angle Aix = B : donc bx viendra se su poser à BC. Mais Tangle cbx est égal à la rotation de la fi mobile autour du point B; par conséquent la deuxième i lion fera coïncider bc avec BC. Pareillement, la troisième tation amènera cd sur CD, et ainsi de suite. On peut doi représenter le mouvement de la figure mobile comme di roulement de la courbe Abcd, . . sur la courbe ABCD. . . voit que la courbe Abcd. . . n'est autre chose que le lieu points de la figure mobile , qui ^viennent successiv^ement c aider av^ec les centres instantanés de rotation.

Considérons , par exemple, le mouvement d'une droite {fie' ' '7)> invariable de longueur, entre les deux côtés de l'a droit xOy. Pour une position quelconque de la ligne mol le centre instantané de rotation sera au point M : mais a c que les diagonales d'un rectangle sont égales, 0M=: AB; < tous les points M sont situés sur une circonférence de m

3l2 TIHGTIÊME LEÇOB'.

décrite du point O avec AB pour rayon. Remarquons maintenant que Tangle AMB est

Fig. 117.

r 9[.—^-- - 2S,tt

droit ; donc le point M, considéré comme appartenant à la figure mobile, est situé sur une circonférence de cercle décrite sur AB comme diamètre. Par conséquent , les points de la figure mobile qui viendront successi- Tement coïncider avec la circonférence MNS, sont situés sur la circonférence OAMB. Le mouvement de la droite AB pourra donc être^roduit parle roulement de la circonférence OAMB sur la circonférence fixe NMS.

Comme le point C, milieu de AB, est distant du point O d'une

quantité OC^-AB, il en résulte qu'on pourra paiement

produire le mouvement de AB en articulant le milieu C de cette tige avec un rayon OC tournant autour du point O.

Supposons que le rayon OC vienne en Oy^ A étant la vitesse angulaire, r l'élément du temps, on aura

C7 = ûT.0C.

Mais pendant ce déplacement le point A est arrivé en ^ ; et (*omme le point M est le centre instantané de rotation pour la position AB de la tige mobile, on aura

A ^ = fip = 6>T . AM ,

M désignant la vitesse angulaire autour du point M. Mais les triangles rectangles semblables Mfx^, OMA donnent

d'où

AM.Ma

Mft OM comparant les deux valeurs de up^ il vient

""om'

MOUVEMENT D UNE FIGURE PLANE DANS SON PLAN

D'un autre côté, les arcs semblables Mfx, Cy donnent

Ma Cy

ce qui fait voir que la vitesse angulaire de la tige mobile autour de son centre instantané de rotation, est égc chaque instant à celle du rayon OC. Cela posé, les vit des points A et B auront pour valeurs, en faisant A M : BM =^ : suivant Qy

suivant Oj: '

V, = - £iy.

La courbe de la figure mobile, lieu des points qui vieni coïncider successivement avec les centres instantanéfi de r tion, ne se détermine pas toujours aussi aisément que ( l'exemple précédent. Supposons, par exemple, une bielle {fig^ 1 18) mue par un piston dont la course est AB, et qui î

Fig. ii8.

ticule avec une manivelle Oâ, à laquelle elle fait décrire circonférence O. Si nous considérons la biellejdans lapositi

3i4 VINGTIÈME LEÇON.

mti, le centre instaiiiané de rotation, qui répond à celle position, s'obtiendra en menant le rayon On, la perpendicidairu ma, et prolongeant eès deux lignes jusqu'à leur rencontres. Eu cherchant les centres instantanés qui répondent à diverses positions de la bielle, on construira la courbe Aa^y, Si l'on remarque que le centre instantané, correspondant à la positiou Kfidela bielle, est à la rencontre des deux parallèles Oi, Kx, on en conclura que la ligne K.X est une asymptote à la courbe ci-dcssns. Pour déterminer le point a' de ia figure mobile qui viendra coïncider avec a , il suffira évidemment de décrire des points A,a^ deux arcs de cercles en preuaulpour rayons mit, 71 x; le point de rencontre «'sera le point demandé. Il est clair que lorsque la bielle, qui entraîne le point a', prendra la position rnn, ce point a' coïncidera avec a. Une construction analogue donnera les points |j', y',..., qui viendront coïncider sucrcs- .sivcmcnL avec jS, y,.... Parcoiiséquent, si la courbe Aa'^'y'.., est invariablement liée avec la bielle, le roulement de celte courbe sur la courbe fixe Aa^y... réglera le raouvemeiil de la bielle dans toute l'étendue du quart de cercle anb, exacteinent comme le ferait le pislon.

74. La cycloïite est une combe engendrée par un point d'une circonférence de cercle qui roule sur une droite fixe, située dans son pian.

Ainsi, par exemple, si l'on fait rouler la circonférence 0 {fig- 1 19) sur la droite xy, dans le sens de la flèche, le point

A eugendi'era une cycloide. Faisons rouler le cercle Ojusqu'i O'j pendant ce jnouvemeul, les éléments du la circonfêrcm

MOUVEMENT d'uHE FIGURE PLÀHE DANS SON PLAN.

mobile viendront coïncider successivemeni avec ceux d< droite fixe ; par conséquent lorsque le cercle O sera venu en le point A se sera élevé dans la circonférence jusqu'en point a tel, que K d' =^ ^vc d' a. -^ on obtiendra donc un p< de la cycloïde en prenant arc Ad= Ad\ et décrivant un de cercle du centre, d^ avec la cx)rde A d pour rayon ] le pc où cet arc de cercle coupera la parallèle r/a, sera un point la courbe. On voit que, pour tracer la cycloïde, il fau d'abord partager la circonférence mobile O en parties ai petites pour que chaque arc puisse être regardé comme ég sa corde, mener ensuite des parallèles par les points de d sion, porter successivement les divisions A a, ab^ bc^ . . . , Ay^ et couper les parallèles par des arcs de cercles ayant p rayons les cordes Aa, Ai, A c, ... 5 les points d'intersecti ainsi obtenus seront autant de points de la cycloïde. Quanc

circonférence mobile aura parcouru la ligne AA'= -circC

point A se sera élevé jusiqu'en B''. A partir de ce moment point mobile redescendra vers xy^ en décrivant une cou W A" qui sera symétrique de AB'^ Le cercle O continuai rouler, le point mobile engendrera une courbe identique 1 première, et ainsi de suite; donc la cycloïde sera formée d' suite d'arceaux, teh que AB"A".

Si nous considérons le cercle mobile dans la position O', point //' sera le centre instantané de rotation; par conséqt le point a tendra à décrire un arc de cercle autour du point La ligne d' a sera donc normale à la cycloïde, et la corde I> tangente.

ÉPIGYGLOIDE.

75. Vépicycloïde est une courbe engendrée par un p{\ et une circonférence de cercle qui roule sur une circonfére\ fixe située dans son plan.

Ainsi, par exemple, si Ton fait rouler la circonférence (fiS' '^^) ^^^ ^^ circonférence O, dans le sens de la flèche point A engendrera une épicycloïde.

Supposons que le cercle M soit venu en M'; pendani:

3l6 MJSCiTIÉMË LEÇOH.

mouvement, les éléments successifs de la circouférence tnobi viendront! oincider avec ceux de la circonférence fixe; par coii- Fb îo sequent loisque le cercle M

stra venu en M', le point A se sera élevé, dans la circonférence M, jusqu'en un point

«lel,

tjue a

on obtiendra donc un point d*. l'épicycloïde en prenant arc Aç ^ arc A c', ei décrî- \ ant un arc de cercle dn centre c' avec la corde Ac pour rayon. Le point où cet arc de cercle coupera la circonférence décrite du centre O avecOcpourrayon,seraun point delà courbe. On voilquepour tracer l'épiirycloïde, il faudra d'abord partager la circonférence mobile M en parties assez petites pour que chaque arc puisse Être considéré comme égal à sa corde, tracer ensuite des circonférences par les points de division en prenant le point O pour centre; porter successivement les divisions Aa, nb, bc, . . . , sur cire O, prendre pour centres les points a', &', c', . . . , et couper les circonférences déjà décrites par des ; ayant pour rayons les cordes Aa, Aè, Ac,.

d'inlerspctions a.

cycloïde. Quand

arc AD = 1 cire. M

;i obter la rir<

s de cercles : les poÎQts nt autant de points del'épi-

nférence mobile

e point A si

élei

! jusqu'en E, A par-

tir de ce moment, le point mobile redescendra vers cire. O, en décrivant une courbe symétrique de la première.

Si nous considérons le cercle mobile dans la position M', lo point c' sera le centre instantané de rotation ; par conséquent te point a tendra à décr' La ligne t'a sera donc ii

■c de cercle autour du point c'.

fi ré]ii('ycloïde, et la corde B'«

tangente.

MOUVEMENT d'uNE FIGURE PLANE DANS SON PLAN. ZlJ

DÉVELOPPANTE DE CERCLE.

76. La développante de cercle est une courbe engendrée par un point d^une tangente au cercle qui roule sur la circonférence supposée fixe. Ainsi, par exemple j si Ton fait rouler la tangente A6 (fig, 121) sur la circonférence O dans le sens

Fig. lai. de la flèche, le point A

^^ ^^^ engendrera une dévelop-

pante.

Supposons que la tangente AB se transporte en rf'a; pendant ce mouvement les éléments successifs de la ligne mobile viendront coïncider avec ceux de la circonférence fixe ; par conséquent, lorsque la tangente AB sera venue en rf' a, le point A se sera élevé sur la tangente, jusqu'en un point a tel, que rf'a = arc Ad\ On obtiendra donc un point de la développante en prenant Aii= arc A/i', et décrivant un arc de cercle du centre d^ avec A t/ pour rayon *, le point où cet arc de cercle coupera la circonférence da décrite du centre O avec Orfpour rayon, sera un point de la courbe. On voit que, pour iracer la développante, il faudra d'abord partager la tangente mobile en parties assez petites pour que chacune d'elles puisse ôlre regardée comme égale à Tare de cercle qu'elle sous-tendraît sur circonférence O, tracer ensuite des circonférences par les points de division en prenant le point O pour 'centre •, porter successivement les divisions Aa, ab^ bc, . . . , sur circonférence O, prendre pour centres les points a', i', c', . . . , et couper les drconférences déjà décrites par des arcs de cercles ayant pour rayons les lignes Aa, Ai, Ac, .... Les points d'intersections ainsi obtenus seront autant de points de la développante.

Quand la tangente mobile occupe la position d^a^ le point d^ est le centre instantané de rotation 5 par conséquent, le point a tendra à décrire un arc de cercle autour du point d' •, la ligne

//'a sera donc iiormato à la clûvcloppaiiie. En menant une per- [jcndicutairc a. t. à la normale, on aura la tangente au point a. Si on voulait décrirelailéveloppante engendrée par un point ijuelconque e de la tangente , on commencerait par déterminer l'origine de la courbe, en prenant arc Ae^ Ae; on mènerait une tangente par te point e: , et l'on opérerait comme ci-dessus. Concevons maintenant qu'on ait tracé les développantes relatives aiiTt points a,h, c, d, . . . , chacune de ces développantes sera normale à la tangente A e, Par conséquent, si l'on fait tourner le cercle O autour du point O, la courbe AD sera toujours normale à cette tangente. Donc, si le cercle tourne en sens contraire de la flèclie et que la ligne A e soi l mobile, la développante la poussant à chaque instant suivant sa direction , lui imprimera un mouvement recliljgne.

rOUISBES E^\'ELOPPES

77. Lorsqu'une ligne droite, ou courbe i hi quelconque j chaque courbe coupe généi infiniment voisine qui la précède en un ligne sur laquelle sont situés tous ces pot s'appelle la courbe enveloppe ou simplemc la eourhc mobile.

Considérons, par exemple, une suite de positions inCni-

ment voisines d'une courbe ab (Jîg- laa) (qui pourrait varier

!■-[,, ,3j de forme pendant le

mouvemenl ) ; soient

nb^ a,b,., a, b,, a^b^,

»i A4,.... «es diverses

positions. La courbe

a,b, coupe la courbe

ab en un certain point

X ; de même la courbe

a, h, rencontre o, i,

en (5; n,ôs esi coupée

r en y par la ligne ai 61 , et ainsi de suite. La suite

a, P, y, (î,. ,., forme une courbe a^yâ... qui est la

e meut d'après une •aleinent la courbe certain point. La iils d'intersections nt l'enveloppe de

MOUVEMENT D UNE FIGURE PLANE DANS SON PLAN

courbe enveloppe de la courbe mobile ab. Considén courbe mobile dans une quelconque de ses positions a^b^ courbe passe par deux points infiniment voisins P, y, de l loppe. L'en veloppe et la courbe mobile ont donc un élémen mun j3y, partant la courbe mobile est constamment tangi son ent^eloppe,