TRACÉ BES ENGRENAGES

Les indica lions que porte la figure suffisent pour montrer quelles sont les forces qui agissent sur le système. Ainsi les forces qui sollicitent la roue O, sont P, N, Ny, et celles relatives à la roue O', Q , N, Nf. Pour que chaque roue soit en équilibre sous Faction des forces qui la sollicitent , il faut et il suffit que la somme des moments de ces forces , pris relativement à Taxe de rotation correspondant, soit nulle*, on aura donc pour la roue O , et en nommant R son rayon,

PR — N.OP — N/(AP H- Aw) = o.

Posant , pour abréger,

et observant que l'on a

OP = R sin (p, AP = R cos <p, la relation ci-dessus devient

(i) P = Nsiny4-N/(cosy4-^y

On a pareillement pour l'équation d'équilibre de la roue O^,

Qr = N.O'P'H-N/.0'S'; mais

0'P'=:/^sin(p, 0'S'=: AP'— Am=:rcosf—p;

donc

(2) Q = Nsinf-hN/(cosy — ^

On tiré ensuite des équations (i) et (2)

siny +/fcosç "*" r)

sinç-h/f cosç— - \

La première ou la seconde de ces formules fera connaître N , suivant que la force donnée sera P ou Q. Si, par exemple,

346 VIBG-t ET UNIEME LEÇOK,

c'est la force P qui est connue , on aura pour la valeur de Q ,

sin<p+/( cosî -t-^

L'une ou l'autre des équations (3) fait Toir que l'effort N est variable avec ç; Veffort entre deux dénis esi. donc variahie dans les engrenages à flancs et à lanterne, tandis qu'il est constant dans l'engrenage à développantes de cercles.

*Si l'ou prend la dérivée par rapport à y de l'une ou l'autre des .équations (3), de la première par exemple, ou reconnaît' sans peine que N prend sa valeur ininima pour

(5) tangç

d'où il suit que Teffort qm s'exerce entre deux dents est un minimum, lorsque la normale à la dent fait, avec la tangente au point de contact des circonférences primitives des deux roues, un angle égal à l'angle du frottement. En retranchant Q de P, on trouve ensuite

Remarquons maintenant que si les dents sont Irès-pelites , ainsi que cela a lieu dans la pratique, q> différera Irès-peu de po degrés; alors si l'on pose

<l> sera très-petit, et la formule (6) deviendra

cos-^+/(^sin^,+ ^) Si l'on remplace maintenant cosili par i, simliparo, on aura.

TAÀCÉ DES ENGREJNÀGES,

aux. quantités près du quatrième ordre par rapport ^f^p

rBOTTEMfiirr motew.

Si nous remplaçons p par Tare s , qui se termine au pi la dent, et qui AtffiMà lits-peu de p , nous aurons

Partageons maintenant Tare s en im nombre infini n de ties égales \ nommant é Tune de ces parties, on aura

Si Ton évalue les frottements qui répondent aux arcs s, 2 6 4 e , . . . , ^^ € , on trouve successivement :

F,= 3P/.(i-Hi), Ajoutant toutes ces qualités membre à membre, et posant

F, -+-F,-hF3-4-...-hF,

il vient

ou , ce qui revient au même,

Négligeant le terme infiniment petit, on obtient enfin poi

3^8 VIHGT ET CBIÈME LEçOH. — TMACÉ IlES E^QItEWAGE9.

valeur du froltement moyen ,

Supposons que 1

î soit égal au pas de l'e

et au moyen de c

■aleurs, l'équation (9) (ievienl

ce qui fait voir que le frollement sera d'autant plus faible (jue les dents seront plus nombreuses.

Si l'on veut avoir le travail du froUeiuenl moyen pendant le parcours d'un arc j, il auflira de multiplier le deuxième luembre de l'équalion (9) par s , ce qui donne

Relativement au pas de l'eugrenage , celle formule devient