La théorie générale du frotlement dans les engrenages

est une application de la composition des rotations. Soient SO,

SO' (Jig. iSp) les axes des deux roues, OM=R, 0'M = r

les rayons de leurs circonférences primitives, et y l'angle

OMO' compris entre les plans de ces circonférences *, Tangle (f

qui se compte de o à i8o degrés est évidemment le supplément

de Tangle des deux axes. Soit aussi V la vitesse au point M; la

vitesse angulaire de la roue O sera ~ ? celle de la roue O' aura

pour valeur -• Supposons pour fixer les idées que la roue O

tourne de droite à gauche pour un observateur qui aurait Foeil au point 5; la roue O', vue du point s\ tournera en sens inverse. Cela posé, imprimons aux deux roues un mouvement commun de rotation autour de TaxeSO, avec une vitesse an-

gulaire qui soit égale à - et de sens contraire; delà sorte la

roue O sera réduite au repos, tandis que la deuxième roue C

sera animée de deux rotations de même sens - ^ - autour des

axes SO, SO'. Pour composer ces deux rotations en une seule, je porte sur les axes SO, SO' deux longueurs Sa, Sh qui soient respectivement égales aux deux vitesses angulaires ci-dessus j

ENGRENAGES CONIQUES

en vertu du théorème de la page 24 , la diagonale Se rallélogramine S a&c représentera, en direction , Taxe duquel se fera la rotation résultante, dont la vitesse ai sera égale à cette même diagonale. Je dis maintenant sera dirigée suivant SM. En effet, les triangles nSc, bl nênt

sin^Sc sinaSc

Sa ac

ou rr : - "~

Cl en réduisant

r ûtkbSc

R sin^Sc

D'un autre côté on a, en considérant les triangles rec O'SM, OSM,

0'M = SM.sinMSO',

OM =SM.sinMSO;

de là on lire

r sin MSO'

Mais

par conséquent

R sin MSO '

/ïSf 4-cSi» = 0SM-f-MS0',

«Sc = OSM et cSb = MSO'.

Donc si Ton nomme H la vitesse angulaire résultante, o

V R' r» Rr

Ainsi le mouvement relatif de la roue O'par rapport à h O est le même que si le cône (S, O') roulait sans glisser cône (S, O) avec la vitesse angulaire ci-dessus.

Soient aj3, a'(3' les deux dents en prise (/'g'. i4o) ; la maie commune à Télément superficiel de contact des dents viendra rencontrer, et sera perpendiculaire à la géi trice suivant laquelle les deux cônes se touchent \ mais les dents se poussent à irès-peu près dans le plan tahgei (fig» iSp) ou dans le plan de la figure i4o, on pourra-

prendre Afx pour celle normale. Il résulte de là que la pression normale N enlre deux dénis aura la même valeur qu'au n" 80^ savoir,

sin^

en négligeanl le deuxième terme du dénominateur. Maintenant soit F la résistance au mouvement, estimée suivant la langente au point A, et provenant du frottement entre les dents. Si s est Félément infiniment petit de la circonférence 0^ qui s'applique pendant Tinstant r sur un arc égal de la circonférence O pendant le mouvement effectif du système, le travail élémentaire de la force F sera F5, et ce travail sera égal à celui du frottement N/* qui naît de la pression N. Nommant /? la perpendiculaire A/x, le glissement de la dent a'j3' sur la dent a |3 sera Hpz^el le travail correspondant aura pour valeur Vfû,p r. Egalant ces deux expressions .du travail élémentaire

du frottement, il vient

Remplaçant fî et N par leurs valeurs précédentes, on trouve

Mais donc

"" siiKp V R' r^ R/-

5 = Vt;

(3) Frr^vA + i--^-^

^ ' . sin? V R'^f^ R

COSf

Comme dans la pratique (f diÛère très-peu de go degrés , ou peut supposer sinç = i ; en même temps p diffère très-peu de l'arc S parcouru par le point A, pendant que les deux dents se poussent depuis le point A jusqu'à une position quelconque j on peut donc prendre pour la valeur de F