ENGRENAGE DE LA VIS SANS FIN
•84. La vis sans fin est une vis à filets carrés y qui transformer un mouv^ement de rotation autour d'un a. un autre moui^ement autour d'un autre axe qui lui e. pendiculaire , mais qui ne le rencontre pas .
Nous rappellerons que les deux faces supérieure ei
rieure cie la vis sont engendrées chacune par une ligne p
diculaire à Taxe du cylindre ^ et qui se meut sur une
tracée sur ce cylindre. Cela posé, soient NN ' {fig> 1 43 ) le
Fig. 143. de la vis que nous suppo
verticale, et ms^ nt les 1 qui li mi lent la face inférie filet ^ enfin , soit O un cerc tical situé dans le même pi; l'axe NN', et pouvant touri; tour d'un axe horizontal projette en O. Soit ocy ui nératrice du cylindre ext auquel la vis se termine; pourrons prendre xy pour trice d'une crémaillère , do flancs seraient les horizo m», m'/i', etc. ; alors si nous armons la circonférence O c veloppantes de cercles engendrées par des points de xy ro sur la circonférence O, ces développantes seront norm, xy, et par conséquent tangentes à dés génératrices de la vi par exemple, Km est une de ces courbes, rencontrant le m, de la face du filet, situé sur xy^ cette courbe sera tan, à la. génératrice am, puisque celte courbe et la génén seront toutes deux normales à xy^ et de plus situées da
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éléments consécutifs qui répondent à ce point. Cela posé, nous démontrerons le théorème suivant :
Le plan oscufateur en chaque point d'une hélice iracée sur un cylindre circulaire droit, est normal au plan tangent au cylindre en ce point.
En^ffet, le plan osculateur passe par deux tangentes infiniment voisines, /»/, mt' {Jig, i45). Supposons que par le point Fig. 145.. m on ait mené des droites parallèles à
toutes les tangentes à Thélice; ces droites ayant la même inclinaison sur les génératrices du cylindre , formeront un cône de révolution autour de Tarète m/é du cylindre. Le plan des deux tangentes m/, mt' sera tangent à ce cône \ conséquemment, il sera perpendiculaire au plan qui contient la tangente 7nt et l'arête mk^ car ce sera le plan diamétral du cône. Or ce plan tmh est tangent au cylindre^ donc le plan des deux tangentes mt^ mt\ cest-à^dire le plan os- ■culateur de rhélice, est normal au plan tangent au cylindre.
Concevons maintenant deux roues cylindriques pouvant tourner autour de deux axes fixes non situés dans le même plan. On veut* transmettre à la deuxième roue le mouvement de la première. Dans rengrenage que nous allons décrire, nous donnerons à la roue conductrice des dents ayant pour profils des développantes de cercles, tandis que les dents de la roue menée seront des portions d*une surface développable formée par les tangentes à une certaine hélice tracée sur la surface cylindrique de la roue menée»
Concevons deux cylindres circulaires ayant un plan tangent commun P {fig* i46), que Taxe du premier soit vertical, et Taxe du deuxième incliné à l'horizon. Dans le plan P menons une droite verticale, puis décrivons sur le deuxième cylindre une hélice qui soit inclinée. sur les génératrices de ce cylindre d'une quantité égale à Taugle \ mS. Si Ton fait tourner ce deuxième cylindre autour de son axe, les différents points de
EIîOllEliÀGES COJNIQUES.
rhélice viendront se placer successivement dans le plan
Fig. 146. P, et les u
a rhélice vi aussi success se placer c plan. Elles j une directioi cale ,' car elle toutes avec h ratrices du c un angle égal Ces diverses tes forment u
faceUéveloppable. Tout plan tangent à cette surface d
pable passe, comme on sait, par deux arêtes conséc
c'est-à-dire par deux tangentes à l'hélice infiniment vc
c^est donc le plan osculateur de Thélice au point comm
deux tangentes. Ce plan est perpendiculaire au pUn tan|
cylindre mené par ce point de l'hélice, ainsi que nous
démontré plus haut. Cela posé, considérons le plan ose
à rhélice en un point m , situé dans le plan vertical P; <
osculateur est normal au plan P : d'une autre part, i
par la tangente à Thélice au point m, laquelle est vertic
plan est donc le plan vertical normal au plan P. Or <
osculateur est le plan tangent à la surface hélicoïdale;
dans le mouvement du cylindre autour de sou axe, t<
plans taagents à la surface développable hélicoïdale vie
se placer perpendiculairement au plan vertical P qu'i
peront suivant des droites verticales.
Maintenant supposons que le premier cylindre soi d'une dent an dont le profil soit une développante du qui lui sert de base ; cette dent sera elle-même un cylind lical, et ce cylindre sera toujours normal^u plan veri parce qu'une développante de cercle est toujours nor toute tangente au cercle. Donc < e cylindre en tourna toujours tangent à la surface développable hélicoïdal
36o VlflGT-DEUXIEME LEÇON.
louchera suivant les génératrices successives. Il poussera doue ce'tte surface en s'appuyant sur elle à chaque instant dans toute l'étendue d'une génératrice , laquelle génératrice est , au moment du contact, dans une position verticale. Cette pression fera tourner le cylindre autour de son axe. Quand ce cylindre, qui forme une dent de la première roue, aura cessé de pousser la surface hélicoïdale qui forme une dent de la deuxième roue, deux autres dents semblables commenceront à être en prise. De la sorte, la transmission du mouvement se fera d'une manière continue, comme dans les engrenages coniques.
La rotation du deuxième cylindre autour de son axe, est à la rotation du premier^ dans un rapport constant.
Supposons que le premier cylindre ait tourné de la quantité aa' \ dans ce mouvement le point m a quitté le plan P, mais un autre point de Fhélice du deuxième cylindre est venu en m', et sa tangente est m'V^ Les deux points de Thélicequi sont venus successivement se superposer en m , m\ sont distants, sur les génératrices du deuxième cylindre, de la quantité mm'. Nommons f la rotation de ce deuxième cylindre , r son rayon , et i Fangle que la tangente à l'hélice fait avec le plan de la base; on aura
mm^ = '■f tang f.
Mais
aa' == nn' =: mm^cos r;
•dobc aussi
a a' = r^ sin i.
Soit ^ la rotation
du
rcmier cylindre^ on a, en nommant R
son rayon y donc enfin
aa'=K^',
d'où
? R ^ rsini
Par conséquent, si la rotation du premier cylindre est uniforme, la rotation du second le sera aussi.
ENGRENAGES CONIQUES
Les deux cylindres pourraient aussi être armés de d même espèce. En effet, traçons dans le plan tangent o aux deux cylindres une ligne quelconque TT', oblique génératrices , puis enroulons librement cette ligne suc< ment sur chaque cylindre; enfin imaginons que chaqi soit armée d'une dent qui soit la surface hélicoïdale d< pable formée par les tangentes aux deux hélices ; en tourner lea deux cylindres d'une quantité telle, que de ments des deux hélicoïdes viennent se rencontrer au point du plan tangent commun P , les génératrices en c commun coïncideront , puisqu'elles seront parallèles à li . ligne TT^ Les plans tangents communs aux surfaces l dales coïncideront aussi, comme étant perpendiculai même plan P, et menés suivant la même droite.
La rotation du deuxième cylindre autour de son ax la rotation du premier, dans un rapport constant.
. Supposons que la rotation ait amené le contact à se fai vaut tt^'^ (p et f étant les rotations correspondantes du prei du deuxième cylindre, R et rieurs rayons , a et (3 les ang la tangente à chaque hélice fait avec le plan de la'base lindre sur lequel elle est tracée , on aura
ce' = r«p tang[i, ^é>'=xR'j/ tanga,
ou
ce' r (p rang ^
Mais on a aussi
bb^ R^ tanga
, ^' P 11, *'y rc' = — ^5 bb' -=: — -\
ces p ces a
de là on tire
ce' cosa
^~~cosp"
' ce
Egalant les deux valeurs du rapport tt> 9 et réduisant, i
^ r sin p
y R sin a
362 VIVGT-DEUXIEME LEÇOK.
On voit par là que si Ton choisit ÏT'de manière que cetle ligne fasse le même angle avec les génératrices des deux cy^ lindres, on aura simplement
De sorte que, dans ce cas, les rotations seront en raison in- \^erse des rayons des deux roues.
On voit fonctionner cet engrenage dans une des plates-formes qui servent à tailler les engrenages à la fraise, chez M. Vennin, constructeur de métiers à filer le lin, rue Princesse , à Lille.
GAl4G(»L DU FROTTEM£NT DANS LES ENGRENAGES GONIQUES.
