OO CINQUIEME LEÇON

co5y attaché à la force,

Donc, pour queplusieurs forces parallèles se fassent équilibre, il faut et il suffit: i" que leur somme algébrique soû nulle; 2" que la somme de leurs moments , par rapport à deux plans rectangulaires et parallèles aux forces, soit également nulle.

19. Supposons que les forces qui agissent sur un corps libre ne se fassent pas équilibre, mais se réduisent à une résultante unique R ,-faisant avec les axes des angles a, b, c. En introduisant la force R dans le système en sens contraire de sa direction, il y aura équilibre entre cette nouvelle force , et les forces données P, P', P",. . . ; dans ce cas, les équations (7) deviendront

Rcos« = ZPcosa, 1 Rcos 6 = 2Pcosp,

R cos c = 2 P cos V , (r,cosi— /,cosn) = 2p(a;cosp — j<:osa)= L, I R(z,cosa— jT.cOSc) =:; 2P(ïC0S« — ;ccos7) = M, \ R(/,coïe — I, cos&)=£P{jcos7— iCOSp) = K. Maintenant, si nous posons, pour abréger,

■ ■ ï P cos p = Y, ,

ZPcos7 = Z,, les équations ci-dessus prendront la forme R cos a = X, ,

{io>

R cos c = Z, ,

ÉQUILIBRE ET COMPOSITION GÉNÉRALE DE» FORCES. 6l

Les trois premières de ces équations feront connaître rîii-

tenslté et la direction de la résultante, les trois dernières sa

position. En effet, si l'on élevé au carré ces trois premières

équations, et qu'ensuite on les ajoute, on aura, en observant

que

ces' a -H ces' h 4- ces' c = i ,

(il) . * rî = xî + y; + z*;

d'où

R = ^XÎ4-TÎH-ZÎ.

Le radical devra être toujours pris avec le signe La résultante R étant connue, on tirera des mêmes équations

(12) COS« = -~j CCS É> = -^ï C0S£r=--5

lesquelles feront connaître sa direction (*).

* Remarquons maintenant que deux quelconques des trois dernières équations (10), les deux premières par exemple, représentent V équation de la résultante. Quant à la troisième, si on la remplace par une combinaison des trois; qu'on obtiendra en multipliant chacune d'elles par celle des composantes Xi , Yi ^ 2>i qu'elle ne renferme pas, puis ajoutant, on

(*) La relation

CO8* a -H cos' h -f- cos' c = I

se démontre facileitaent. En effet, considérons une. droite d qui, partant de l'origine des coordonnées, fait avec les trois axes des angles a, b, Cj et vient aboutir en un point dont les coordonnées sontx, j, 5. Cette droite peut être regardée comme étant la diagonale d'un parallélipipède rectangle construit snr les trois:arètes contiguês x^y, t , et dès lors on aura

Mais

X = dc08tf, J=:£?COSft, ^=dc08C.

Substituant dans d^t on trouve ' •

j =.cos*a -t-cos* fc -f-co8*c. c. q. f. d.

6a ClHQlilEME LEÇOM.

sera conduit à l'équation

(i3) LZ,+ MV, -l-NX, = o,

laquelle exprime la condition qui doit être remplie pour que le système des forces se réduise à une résultante unique.

COMPOSITION DBS FORCBS PARALLÈLES.

Si l'on prend pour axe des z une parallèle aux forces données, on aura

. « = 90', p = 90", 7 = 0, ou 7 = 180",

et les équations (9) se réduisent aux suivantes, en laissant le signe de cos 7 aiiaclié à la force ,

Rcosc = 2P, R«, coscr= S.Pj:, n^, cosc= S.Pj.

Maintenant si l'on suppose que le système se réduise à une résultante unique, les deux premières équations donneront

cos « ^ o , cos è ^ o ,

ce qui exige qu'on ait en même temps cos c = ± 1 . Laissant le signe de cos c attaché à la force , on peut conclure de là que la résultantede plusieurs forces parallèles est égale àîeur somme {algébritjue), et parallèle à leur direction commune.

Quant aux deux dernières équations ci-dessus, elles deviennent

^,ÏP =

£.Pi, J,IP =

On aura donc à la fois

R = îP,

^,SP=Ï.P:c

r,i.p = !Pr