ÉQIJILIBAE ET COMPOSITION GÉNÉRALE DES FORCES

Pour les deux autres axes on aura de même

(2) P cos p -h P' cos p'-l- P" cos P"h- . . . = o,

(3) P cos 7 -h P' cos 7' -h P"cos7" -f- . . . = o.

Faisons maintenant tourner le système autour de Taxe des z. Nous remarquerons d'abord que le chemin décrit par chaque point du corps étant perpendiculaire aux forces Z, le travail de ces forces sera nul. Observons encore que les composantes X, Y, agissant dans des plans perpendiculaires à Taxe des z , la rotation du mobile autour de cet axe transformera Téquation du travail (ainsi que nous Pavons vu dans la P^ leçon) dans la somme des moments par rapport à cet axe. Pour former Péquation dont il s'agit , il faudra donc projeter les forces X , Y, sur le plan des xy^ et prendre ensuite les moments par rapport à l'origine des coordonnées. Soit (/ig< 29) C la p. projection du point d'application de

la force P , ses composantes se projetteront en ex et CY, et leurs mo- ^ ments seront

Y.OA = a:Y, — X.OBr=— jrx.

Nous regardons comme positifs les moments qui tendent à faire tourner de x vers y (ou de gauche à droite, quand on regarde d'un point de l'axe des 2), les autres comme négatifs. La somme algébrique de ces deux moments sera donc

Les composantes de la force P' donneront lieu à une somme analogue, savoir

yr yx',

et ainsi de suite; la somme totale des moments étant égalée à

zéro, il vient

2(xY— jX) = o.

La rotation autour de Taxe des ^'donnerait pareillement

2(sX — xZ) = 0.

58 CINQUIEME LEÇO».

ËnJîti la rotation autour de l'axe des x donnerait

Remplaçant dans ces équations X, Y, Z, par leurs valeurs, elles devi

î.P(icoip-jc

î.P(.cos.-«c

î.P(j-co>7-»«

Les équations (i), (a), (3) conjointement avec celles-ti expriment les conditions analytiques de l'équilibre d'un corps solide entièrement libre, soumisà tant de forces qu'on voudra. En les écrivant toutes ensemble , on aura

' 2PcoB«=:o,

1 ïPcosT = o,

j Î.P(a;cosp— jcoja) = o,

I 2.P(îcos«-^cos7)=o,

i ï.P(j'cos7-*cos?) = o.

On pourrait craindre qu'une nouvelle combinaison de mou* vements ne donnât lieu à quelque autre équation d'équilibre. .Mais on remarquera qu'il ne saurait en être ainsi , attendu que lout mouvement de translation suivant une droite arbitraire peut se remplacer par trois mouvements parallèles aux axes des coordonnées. La même chose a lieu pour un mouvement de rotation.

On peut remarquer que la résultante de deux composâmes

tell.

les que

est égale à la projection P sîn y de la force P sur le plan des xy. Donc si l'on nomme/) la perpendiculaire abaissée de l'origine des coordonnées sur la direction de cette résultante ainsi projetée, on aura, en vertu du théorème des moments (page 47)1 P/fsin y =P [*cosp — /cosa)-

ÉQUILIBRE ET COMPOSITION GÉNÉRALE DES FORCES. Sp

Relativement aux autres plans des coordonnées on aura de même

Pp' s'm p = P(2cosa — xcosy),

P/?"siri 7 = P (r ces 7 — z cos p).

Le moment de la force P projetée sur le plan des xy est dit le moment de la force P par rapport à Vaxe des z ; de même Pp' sin P est le moment de P par rapport à Taxe àçsy\ enfin Pp"sin a est ce moment par rapport à Taxe des x. Les conditions de l'équilibre renfermées dans les équations (7) peuvent donc s'énoncer de la manière suivante :

Pour quiin corps solide entièrement libre soit tenu en équilibre par tant de forces qu^on voudra^ il faut et il suffit : i^ que la somme des forces décomposées parallèlement à trois axes rectangulaires soit nulle ; 2° que la somme de leurs moments relatifs aux mêmes axes soit également nulle.

Si le mobile n'est pas entièrement libre, le nombre des équations d'équilibre sera égal au nombre des mouvements indépendants qu'on pourra lui imprimer.

Si, par exemple, il est assujetti à tourner autour d'un point fixe , on ne pourra lui imprimer aucun mouvement de translation, et dès lors les trois premières des équations (7) seront, inutiles.

Si le corps est assujetti à tourner autour d'un axe fixe , par exemple autour de Taxe des z, on ne pourra lui imprimer qu'un mouvement de rotation autour de cet axe; dès lors il n'y aura qu'une seule équation d'équilibre, savoir la quatrième des équations (7).