MESURE DE LA FORGE GBNTRIFUGB SUR UN POINT MATÉRIEL
Concevons un point matériel décrivant une circonférence de cercle. Arrivé au point C (fig' 3i) avec la vitesse v^ ce point pj 3, continuerait à se mouvoir suivant l'élé-
ment Cxj si la courbe et les forces accélératrices cessaient tout à coup d'exister. Soient A et 6 les points milieux des deux éléments consécutifs, posons AB = 5, et nommons t le temps infiniment petit employé à décrire Tare 5; pendant ce temps t nous pourrons faire abstraction des forces accélératrices qui ne peuvent faire varier la vitesse que d'une quantité infiniment petite^ il sera donc permis de regarder le mouvement comme uniforme pendant tout le parcours de l'arc AB, de sorte qu'on aura
s = ci.
Mais puisque le mobile est dévié de Télément AC sur l'élément BC, il faut en conclure que la courbe fait sur le point C l'effet d'une force qui tendrait à le rapprocher du centre O. Or, l'action étant toujours égale à la réaction , il faut que le point matériel exerce à son toup sur la courbe une pression égale et contraire 5 c'est celte pression qui a reçu le nom de force cen^ trifuge.
Pour l'évaluer, je mène les rayons OA, OB, OC, ainsi que la ligne C2, perpendiculaire à C/, et je remarqu^que les deux angles marqués e sont égaux ^ de plus, comme ; = R e, il en
résulte
Je décompose nuintenant la vitesse f en deux autres dirigées suivant Cy et Cz ; ses composaotes auront pour valeurs
SoîvantCj ccosi.
Suivant C s c sin t = c t .
La réaction que développe la courbe et qui est égale et contraire à la force centrifuge^, aura donc pour effet de détruire la composante f e ; par suite elle aura pour mesure {voir page 20)
Remplaçant c par sa valeur (13), on obtient - mes
Mais s =:: Cl, donc finalement
Telle est l'expression de la force centrifuge.
Si l'on nomme t>> la vitesse angulaire de rotation, la valeur de u deviendra
et par suite on aura
Considérons par exemple un point matériel pesant i o'', attaché à un fil long de S", et tournant autour d'un axe avec une vitesscde 100 tours par minute. Dans ce cas, on aura
m = — 5-5= 1,019. et w.6o = air.IOO, 9,808 ' '
d'où
«=10,472, par suite
DTI CENTRE DE GRAYITÉ ET DE LA FORCE CENTRIFUGE. ji
Quand le mobile décrit une courbe quelconque, on peut le regarder comme tournant à chaque instant autour d'un axe instantané de rotation, mené par le centre de courbure, perpendiculairement au plan osculateur. Dès lors les formules cidessus s'appliquent à tous les cas.
RÉSULTANTE DES ACTIONS DE LA FORGE CENTRIFUGE SUR UN CORPS DE FORME QUELCONQUE, HOMOGÈNE OU HÉTÉROGÈNE.
Le calcul de la force centrifuge sur un corps de grandeur finie a été jusqu'à présent une question de calcul intégral. Le théorème suivant, auquel j'ai été conduit en étudiant la théorie du pendule conique, lève toutes les difficultés, en faisant descendre la détermination de cette force dans le domaine des faits pratiques.
Théorème. — Za résultante des actions de la force centrifuge sur un corps déforme quelconque ^ homogène ou hétérogène, tournant autour d'un axe (fixe ou instantané), est la même , en grandeur, que si toute la masse du mobile était concentrée en un point quelconque d'une ligne menée par le centre de gravité^ parallèlement à Vaxe de rotation.
Soient OxjOj", Oz [fig^'i^] trois axes rectangulaires dont p.g^ 32 l'unOz sera Taxe de rotation, à
Finstant où Ton se propose de calculer la force centrifuge. M étant la masse du corps, m la masse d'une de ses molécules, jx la projection de m sur le plan des x, y, la force centrifuge qui agit sur m aura pour valeur, en nommant tù
la vitesse angulaire de rotation,
(i5) /=«'w.OfA.
Les composantes de cette force par rapport aux trois axes des coordonnées seront :
yi = ff)' /w . O ft . CCS a ,
fy. = 0)' m .Op. ces p ,
74 SIXIÈME LEÇOH.
Mats si l'on désigne par a:, ^, z, les coordonnées dem, on aura
Ji^Ofi.cosn, j' = 0[i.cos§;
par suite les composantes dey deviendront
Soit F la résultante des forces telles que y, on aura pour ses composantes,
le signe £ s'ëtendant à tous les points de la masse du mobile. Nommant encore a,b,c, les coordonnées du centre de gravité, les propriétés des moments donnent
alors les composantes de F deviennent
d'où l'on tire, en élevant au carré, ajoutant, puis extrayant la racine carrée,
(18) F = ».>Mi/a'-l-é'.
Ce qui démontre le théorème énoncé.
- Si l'on pose
qu'on nomme P le poids dt tours par minute, on aura
et la formule (18) deviendra
* Recherchons maintenant la position de la résultante. Nous rappellerons que pour un système de forces telles que X, Y, Z, dont la résultante a pour composantts X| , Y| , Zi , et pour coordonnées courantes Xi , /i , ^1 , on a généralement (voir nM9)
x.Y.-jr.X.= 2(xY-/X),
Mais dans le cas actuel ,
X = w' xdm , Y = fii^ydm , Z = o , Xi=w'/iitf, Y, =w'/w^, Zi = o,
eu désignant maintenant la masse du corps par /n, et par dm celle d'une molécule.
Conséquemment les équations ci-dessus deviennent
Iay, — 6x, = 0, mazy = J xzdm , /nbzi=2 J zydm,
' La résultante des forces centrifuges aura pour équation la première des équations ci-dessus, conjointement avec Tune quelconque des deux autres. Quant aux deux dernières, leur combinaison conduit à Téquation
{21) a J zjilm — h J xzdm zs o ,
^laquelle exprime la condition qui doit être remplie pour que ïç système des forces se réduise à une résultante unique.
Il suit de Téquation de la résultante que cette force coupe la parallèle k l'axe de rotation , menée par le centre de gravité , en un point tel , qu'on a
s,= — — f xzdm.
ma "^
Rapportant JT,^, z au centre de gravité, et iiommant *',^',z', les nouvelles coordonnées, la valeur de z devient
ï, = c+ ~ J a/z'dm;
d'où l'on voit que la résultante des actions centrifuges passera
par le centre de gravite du mobile, toutes les fois qtCon aura
f ^z'dm = o.
Ce (jui aura lieu, par exemple, dans le cas particulier où la parallèle à l'axe de rotation menée par le centre de gravité sera l'un des axes principaux du corps.
Si la parallèle à l'axe de rotation menée par !e centre de gravité est un axe principal, on pourra prendre pour axes des Ox,Oy, des parallèles aux deux autres axes principaux Ox', Oy'\ on aura dans ce cas
f^'j'd»i = o, Jx.'%'dm = o, fy'z;dm = o; il en résultera
J xydm-^ mab , J xzdm = mac, J yzdm^ ml>c,
- et l'on peut s'assurer que dans ce cas l'équation de condition {21) se trouve satisfaite.
Nous renvoyons pour ce dernier article à la théorie des axes principaux de rotation qu'on trouvera exposée dans tous les Traités de Mécanique rationnelle.
FORGE CEVnUFUCE SUR LA DEHl-JASTE D'UN VOLANT.
Nous supposons la jante du volant terminée par deux surfaces cylindriques dont la distance est e. M étant la masse de la demi-jante , r ta distance de sou centre de gravité au centre du volant, w la vitesse angulaire de rotation, la force centrifuge aura pour valeur
F = Mw'r.
Mais si Ton nomme R le rayon moyen de la jante , on aura
par suite la valeur de F devient, en nommant P le poids total
de la jante, N le nombre de tours par minute, et nous rappe-
, ttN
lant que (ù=: —
Le second terme n ayant "qu'une importance secondaire pourra être négligé dans la plupart des q^s.
Pour donner une application numérique de cette formule , supposons
P=i20oo\ R = 2",5a, tf=:o°»,7o, /i = 4o,
et l'on trouve successivement pour les deux termes de la
formule ,
I*' terme. . 17083*^,2
2* terme... 11 1*^,6
d'où F=i7i94'^,8
La force centrifuge sur F autre demi-jante a aussi pour valeur
Cette force tend évidemment à rompre le volant par le milieu. Il est clair que la roue proposée est dans le même cas que si elle était suspendue par sa circonférence, et qu'elle fût chargée , en bas, d'un poids égal à 17194^,8. Prenons pour second exemple
P==iooooS R = 3",o7, e = 0^,26, N = i6,
et l'on trouve
!•' terme... 2797S0 ) ,, ... q. « ,^.
k^: H oû F = 2798S6 (* .
2* terme. . . 1*^,6 J ju y \ j
. premier des exemples qui précèdent est purement fictif 5 le
(*) Les tourillons de ce dernier volant ayant i5 centimètres de diamètre, la formule (9) du n^ 15 donne, pour le travail absorbé par les frottements dus au poids de la roue , et en prenant y = 0, 12,
yS SIXIÈME LEÇON.
second se rapporle au volant de la machine oscillante de M. Descat, rue de Bélhune, qui a bien voulu nous laisser visiter ses beaux ateliers de teinturerie avec les élèves de la Faculté. On voit par ce qui précède qu'il importe de régler les dimensioDS et la vitesse des volants , de (elle sorte que la force centrifuge ne dépasse pas certaines limites {*). L'action de la forte centrifuge sur une portion quelconque de la jante, répondant à un arc a de la circonférence moyenne, se calcule sans diSiculié. En effet , soit c la coidc de l'arc , on aura d'abot^ en adoptant la même notation que ci-dessus,
et ensuite
2 goog- \ 12 R»;
dans laquelle P désigne le poids de toute la jante. Celle formule devient la formule (aa), si l'on y fait
