CENTRE DE 6RAT1TÉ D'UN TRIANGLE
Théorème. — Le centre de gravité d'un triangle est situé sur la ligne qui va d'un sommet au milieu du côté opposé pris pour base , au tiers de cette ligne à partir de la base ou aux deux tiers à partir du sommet, ^
Soit BAC le triangle proposé^ si je le décompose en petites pj 33 handes infiniment étroites et paral-
lèles à BC, le centre de gravité de chacune sera situé en son milieu.
Maintenant si Ton joint le point A au milieu N de BC, la ligne ainsi menée passera par le milieu de chacune des bandes, et par conséquent contiendra le centre de gravité du triangle. Par la même raison, si Ton joint le sommet C avec le milieu M de AB , la ligne CM contiendra encore le centre de gravité; le point cherché sera donc au p'oint G.
Tirons maintenant MN; cette ligne partageant proportionnellement les côtés BA , BC, est parallèle à AC, et Ton a
BM MN BA "~ÂC*
Mais BM est la moitié de BA , donc aussi MN est la moi lié do
So SIXIEME LEÇO».
AC, Comparant encore les triangles MNG, ACG qui sont semblables, on a
Mais MN est la moitié de AC; donc aussi NG est la moitié de AG, ou, en d'autres termes, NG est le tiers de AN. c. ç, f. d.
CBImiE DB GRAVITÉ DU TIUPËIE.
Soit ABCD (fig. 34} le trapèze donné ; nous nous proposons Fig. 34. de trouver son centre de gravité par des
r. ^ p procédés purement graphiques .
l^'Çj(' i \ Si l'on joint par une droite les milieux
/;'-'' \î^~~^ \ des bases parallèles, la ligne ainsi menée
i m B contiendra évidemment le centre de gra-
vilë, {On le prouverait en décomposant la figure en bandes infiniment étroites et parallèles à AB). Je tire maintenant la diagonale AD, et je cherche les centres de gravité g-, g' des triangles ACD , ABD ; tirant ensuite gg' , cette ligne contiendra encore le centre de gravité du trapèze. Ce point sera donc au point G d'intersection de ces deux lignes .
Le centre de gravité d'un polygone quelconque se déterminerait par des constructions analogues, seulement l'opération se complique beaucoup à mesure que le nombre des côtés du polygone augmente.
CENTDE DE flKAVITfi D'UNE PYRAMIDE THIjUGIILjUIIE.
Soit proposé de trouver le centre de gravité d'une pyramide triangulaire SAKC (^g- 35). Pour cela, je joins le point C avec le milieu du côté AB \ en
Fie. 35.
prenant Mg=^CM, le point g
sera le centre de gravité de la base.
Joignant maintenant le somraetSau point g', cetle ligne contiendra lo
py-'
1)1 ide,
centres de gravité de i
entre de gravité de la
ai' elle passera évidemment par les
ï les tranches InGuïnient minces,
DU CENTRE DE GRAVITÉ ET DE LA FORCE CENTRIFUGE. 8l
parallèles à la base , et dans lesquelles on peut concevoir la pyramide décomposée. Pareillement, si Ton joint le sommet C avec le centre de gravité g' de la face opposée SAB, on aura une nouvelle ligne contenant le centre de gravité. Le point cherché sera donc au point G d'intersection. (On peut remarquer que les lignes Sgf, G g' sont toutes deux dsms le plan du triangle SGM.) Je dis maintenant que Ggf est le quart de Sgr* En effet, puisque Mg' est le tiers de GM, et Mgf' le tiers de SM, il en résulte que g^gr' divise proportionnellement les côtés CM, SM du triangle SGM; donc le triangle Mg^g:' est semblable & SGM; de là il suit que g^ est le tiers do SG. Mais les triangles Ggg\ SCG sont semblables , alors on a
SG se '
Mais
g'=-,SC;
donc
aussi
Gg = ^SG,
et enfin
Par conséquent le centre de grai^ilé d'une pyramide triangulaire est situé sur lu ligne qui va d'un sommet au centre de grai^ité de la face opposée, prise pour base, au quart de cette ligne à partir de la base, ou aux trois quarts à partir du sommet.
CBHTRE DE GRAVITÉ D'ONE PYRAMIDE QCELCOHQVE.
Pour trouver le centre de gravité de la pyramide SABGDE
Fig. 36.
(^S' 3^)5 j^ décompose la base en triangles, et je fais remarquer qu'à chaque triangle répond une pyramide triangulaire. Gela posé, je joins le sommet S avec chacun des centres de gravité g, g\ g"^ des triangles de la base, et si je
e centre
prends fiy=: j Sg, y sera 1
de gravité de la pyramide triangu-
8a SIXIEME LEÇON.
laireSABC. J'imagtDe maintenant qu'on ait meiiù, par le point y, un plan parallèle à la base; ce plan détachera le quart de chacune des autres lignes S^', S^"; par conséquent il passera par tes centres de gravité de toutes les pyramides triangulaires, et, par suite, il contiendra le centre de gravité de la pyramide totale. Mais le centre de gravite de cette pyramide se trouve aussi sur la ligne qui va du sommet au centre de gravité du polygone de base; donc il est situé à l'intersection des dens. Donc le centre de gravùé d'une pyramide quelconque- est situé sur la ligne qui va du sommet au centre de gravité de la base, au quart de cette ligne à partir de la hase, ou aux trois quarts à partir du sommet.
CBRTRB Dl GKtVITA D^R COHE-
Le cône (de révolution) pouvant être assimilé à une pyramide régulière dont les faces latérales seraient infiniment petites, il en résulte que le centre de gravite du cône s'obtiendra comme celui de la pyramide.
CENTBB DE GBAVITË D'UN TBONC DE CONB.
Posons, pour abréger, Aa = H, AB = R, ab=:r {Jig. 37). Fig. 37. Nommons aussi P et j le volume et la hau-
teur du cône SÂB-, la hauteur du petit cône sera / — H, etendésignant par^son volume, on aura
Remarquons maintenant que si l'on prend les moments par rapport à la base AB du troue, ces moments auront pour valeurs
pour le cdne SAB P'^,
pourie tronc ABafr. . .{P — p) u, u étant la distance à la base AB du centre de gravité du tronc.
Gela posé , l'équation des moments donne et, en chassant le dénominateur,
d'où
a = 7 jr — 7 H
Mais on tire des équations (24)
RH p
Substituant , la valeur de u devient
réduisant au même dénominateur, puis divisant les deux termes de la fraction résultante par (R — r), on trouve la nouvelle formule
laquelle se prête mieux aux méthodes de calcul.
Telle est la formule qui fera connaître la position du centre de gravité du tronc de cône.
Si , par exemple , on suppose
on trouve
