A UNE DIRECTION QUELCONQUE
Les deux cas déjà traités de Téquilibre du plan incliné ne sont qu'une conséquence de celui où la puissance P {J^g* 53)
Fi0. 53. fait avec le plan incliné un
angle quelconque f. (Cet angle sera regardé comme positif ou comme négatif suivant qu*il sera compté au-dessus ou au-dessous de AA'.)
M étant toujours la pressioi> normale au plan , JUJ sera la valeur du frottement, et Ton aura pour l'équilibré,
P.Aa' = Q.Aa-hN/.AA'.
ftî V
Mais donc
A a' = A A' cos f, Aa = AA'sina;
P cos ^ = Q sio a 4- N/.
Si Ton remarque maintenant que
N = — P sin ^ -f- Q cos a ,
l'équation précédente devient
P cos 7 = Q sin a — P/ sin y 4- Q/cos a ,
d'où l'on tire
r^ sin * -hy cos a
cos«f -f/sin «p
io6
Mais
doue
HUITIEME. LEÇO».
K = - . coa ot =
l(cmf + fam<f)
Si la force P élait dcsiim^ à empêcher l'accélération du mouvement du corps descendaat le long du plao incliné, il faudrait changer le signe def.
Si l'on veut que la puissance soit parallèle au plan, un aura
ly^o, el par suite P^Q — — -^»
laquelle coïncide avec la formule (i) du n" 23.
Si P est parallèle à la base du plan , ç = — fc , et la valeur de P devient
et plus simplement
-//si
ce ([uî s'accorde avec la formule (i) démontrée ci-dessus.
* Si l'on veut connaître la moindre valeur de P qui sera capable d'entretenir le mouvement uniforme de la résistance Q, il suffira de prendre la dérivée de P par rapport à f dans l'équation (4)» et de l'égaler à zéro. Preuant cette dérivée , ou trouve
posant
il ni
DU PL^N IJICUJirÉ ET DU TREUIL. 107
et comme pour celte valeur de ^ ,
ou eu conclut que la valeur correspondante de P, savoir
est un minimum.
On voit donc que pour produù'e le glissement d'un corps sur un plan incliné a^'ec la moindre force ^ il faut faire agir celle-ci de telle sorte , gu^ellejasse afec le plan, du cdtéoà le moui^cnient doit se faire y un angle égal à l'angle du frottement.
Pour que le glissement du corps soit possible, il faut que le dénominateur de la valeur générale de P ne soit pas nul. Donc la force P ne pqurra produire le glissement si
ces f 4-ysin cp — • o,
d'où
tang <p = — -.
Soit ip raqgle que la force P fait avec la normale AN , on a
d'où
par suite
Mais
sin f =
— cos ^ ,
COS(ï) —
sin>|/,
fang ip =
tang \|/
tang ^
do
ne
tang ^|' = /.
Donc une force F ne saurait produire le glissement d'un corps sur un plan lorsquelle fait m^ec la normale au plan
lo8 HUITIEME LEÇON.
un angle égal à l'angle du froltement , cet angle-élant compté à partir de la normale du côté vers lequel le mouvement doit se faire.
Oa peut s'assurer dirccLeinent que toulc force F, appliquée au mobile sous l'augle i^ ne saurait aider au glissemeot. Pour le faire voir, nous remai'querous que les composanus de F suivant A A' et A\,sout : Fsiui^, Fcos'l'; mais la pression normale F cos <^ donne lieu à un frottement /F cos i\f dirigé eu sens contraire du mouvement, et l'on a
/F€os4. = Fsin4,
puisque par hypothèse
lang ^ =/;
donc les deux forces se déiruisent c. q. p. d.
COEFFICIENT DU FROTTEHENT AU D^AHT.
Au moment où le corps est sur le point de glisser en vertu de son propre poids, le frottement N^ est égal à la composante de Q estimée suivant Ax(fig. 54); on aura donc Fie. 5V
Pour déterminer y, il sufBra par conséquent de relever le plan incliné jusqu'à produire le mouvement , et de mesurer ensuite l'inclinaison de ce plan sur l'horizon. L'angle ce, déterminé par l'équation ( 7 ) est ce qu'on nomme l'nngle duJroUement.
L'expérience démontre que le frottement est un peu plus grand au départ du mobile que pendant le mouvement.
LOIS Dtl FROTTByENT.
Déjà plusieurs fois nous avons fait usage de l'une des lois du frotlcmem ; nous les résumerons ici toutes :
