CALCUL DES MOMENTS DE FLEXION DANS UNE POUTRE
A PLUSIEURS TRAVÉES SOUDAffiES. ^j^^H^m tr m^^^^
DES POUTRBS A PLUSIEURS TRAVÉES, EN GÉNÉRALS:;:-^?^ C«l!fi»rniîi
§ I«>r. — Théorème relatif aaz moments de flezioii sur trois points d'ai^ui consécutifs d'une poutre; remarques diverses.
1. Expression particulière du moment de flexion en un point quelconque d'une travée. — Par définition même» on appelle moment fléchissant OM moment de flexion la somme algébrique des moments des forces comprises .entre une section arbitrairement choisie et une des deux extrémités de la pièce, les moments étant pris par rapport à un axe passant au centre d'élasticité (ou de gravité) de la section et perpendiculaire au plan dans lequel on suppose appliquées toutes les forces extérieures (*).
(*) On suppose ici que la déformation de la fibre moyenne a lieu dans le plan vertical qui la contient : cela exige que chaque section transversale de la poutre soit coupée par ce plan suivant un de ses axes principaux d'inertie au centre d'élasticité.
IlL I
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2 CHAPITRE PnEUIEB.
Si Ton veut exprimer analyUquenieiil la valeur X de ce moment pour la section faite en un point quelconque M d'une travée AB (fig. i), il semble donc d'abord qu'on sera obligé d'y introduire, non-seulement les forces agissant sur la partie Fie* I. MB de It travée, mais en-
core celles qui agissent sur les travées suivantes, y compris les réactions des appuis. Ces réactions sont inconnues à priori^ de sorte que dans le cas ^^ général l'expression de X
contiendrait un nombre indéterminé d'inconnues ou constantes auxiliaires qu'il faudrait ensuite éliminer, pour arriver, en fin de compte, à connaître numériquement X. Or un artifice de calcul très-simple permet, comme nous allons le montrer, de réduire à deux toutes ces constantes, quel que soit le nombre des travées de la poutre, tant à droite qu'à gauche de AB. *
Faisons en effet une section dans la travée AB, infiniment près de l'appui B; chacune des forces extérieures situées entre cette section et l'extrémité de droite pourra se remplacer par une force égale et parallèle appliquée au centre d'élasticité de hilite iNsctlon, et par un couple. Si de plus nous supposons, comme dTiabîttide, toutes les forces extérieures agissant dans le plan de la figure et perpendiculairement à AB, la résultante de translation sera égale à la somme algébrique des forces transportées : ce sera ce qu'on nomme Vejfort tranchant y pour la section dont il s*agit. De même, la somme algébrique des couplés fournira pour celle 'section le moment fléchissant. Soient maintenant :
X la distance AM du point M à l'origine A de la travée, ou l'abscisse de M comptée à partir de A sur un axe kx coïncidant avec la fibre moyenne de la pièce ; Q l'une des charges de la Iravée; a Tabscisse de son point d'application ; a la longueur AB de la travée; Xi le moment fléchissant et P. leffori tranchant dans la sec-
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lion extrême de lé travée AB, inflnimeilt près de l'appui A> le sens positif étant ascendant pour Pi y et conforme à te ilècb^ pour le moment d'une force prise à droite de A ;
X3 et Px les quatitités analogues pour la section faite infini*ment près de B, toujours dans l'espace AB,
Ainsi qu'on vient de le faire observer, toutes les forces extérieures qui agissent depuis la section voisine de B jusqu'à l'extrémité droite dé la poutre peuvent se remplacer par la résultante de translation P, et le couple X,; on aura donc pour le point M
(I) X = X,-P,(a-x)-t-2Q(«-ar),
équation dans laquelle le signe V indique une sommation à
effectuer pour toutes les charges Q, continues ou non» de la portion MB, c'est-à-dire entre a = x et «==«. Elle fournit une première expression de X avec deux inconnues auxiliaires seulement, Xa et P,; mais on peut en indiquer d'autres, et une parmi celles-là qui sera plus appropriée aux questions que lious devons traiter par la suite.
Pour y arriver, rémarquons d'abord que la différence des deux résultantes Pi et P3 est égale à la somme des charges Q comprises entre A et B, c'est-à-dire que
(a) * P,:ïrP.-t.20;
assû
secondement qu'on a, en faisant a: = o dans l'équation (i), (3) Xi = X,-P,a+2Q«-
Les deux équations précédentes permettent d'introduire dans la valeur de X, au lieu deXj et P2, les combinaisons suivantes de deux inconnues auxiliaires, savoir :
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4 GHAPITRB PREMIER.
c'6st-à-dîre toutes les combinaisons deux à deux des <}uatre lettres X„ X,, P», P,, à Texception de la combinaison P,, P,* Le résultat le plus important est fourni par la combinaison Xi, Xï, que Ton obtient en éliminant P, entre les relations (i) et ( 3 ). On trouve ainsi
ou bien X=X. + (X,-X.)f-2^(«-^)+2Q(«-^J5
«saO a = «
soit enfin-
(4) X = X.4-(X,— X.)^-h?(x), si Ton pose, pour abréger,
Chacune des deux parties X, + (X, — Xi)- et ?(a?), qui
composent le moment fléchissant X, peut se définir d'une manière bien simple. La première a une signification géométrique ou algébrique qu'on aperçoit de suite. Élevons en effet aux points A et B deux ordonnées ÂC, BD,* représentant les valeurs de Xi et de X,, en grandeur et en signe; l'ordonnée ME du point de la droite CD qui répond à l'abscisse x représentera de même la première partie de X, celle ou entrent Xi et X,; ou, en d'autres termes, cette première partie exprime ce que serait le moment X s'il variait uniformément avec ar, entre les valeurs extrêmes Xi etXj, répondant respectivement à a: = o et xz=ia.
Quant à la seconde partie ?(^), son sens, pour être un peu plus caché, n'en est pas moins simple et remarquable : elle exprime ce que deviendrait le moment de flexion en chaque point de AB, si cette travée, conservant les charges Q qui lui sont propres, était EPFBCTnrEttBNT sciée au-dessus des appuis A
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ei B, sur lesquels on la poserait sans encastrement, comme une poutre isolée et indépendante de tout le reste. C'est là un fait aisé à constater. Si A et B devenaient deux appuis simples de la poutre ÂB privée de solidarité avec les travées voisines, Tappul B exercerait, en vertu de la charge Q, la réac-
lion ascendante î^*, cette charge, au cas où elle se trouvea
rail sur la partie MB, produirait, dans le moment X pour le
point M, les deux termes
Qioc-x)-^(a-x),
et, au cas où elle agirait dans l'intervalle MA, elle produirait seulement le dernier. Donc, en effectuant, pour les diverses forces, la somme des termes qui leur correspondent, on retrouve bien
c'est-à-dire <p(^).
La propriété qu'on vient d'établir ou, au besoin, l'équation (5) montrent que la fonction <p [x) s'annule aux deux extrémités de la travée; cette fonction dépend seulement des charges appliquées dans la travée elle-même, et n'est influencée en rien par les forces qui sollicitent le restant de la poutre, forces dont l'effet se fait sentir par les moments Xi et Xa. Voici deux exemples de sa détermination.
Soit d'abord le cas où il y aurait sur AB une seule charge Q, agissant à la distance a de l'origine A; posons a = qa. Alors nous aurons
entrea? = oeta: = îa.. (^{x) = Q{qa — x) — Qq{a — x)
=—Qx(i — q), enive x = qa et x = a.. <p(^)= — Qq{a — x).
La fonction pourrait se représenter par les ordonnées d'un triangle dont les sommets seraient les points A et B, et un troisième point sur la ligne de la force Q, ayant pour ordonnée —Qag(i— g)..
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6 CHAPITRE PREUIEE.
Considérons en second lieu une charge uniformément répartie, à raison de p kilogrammes par mètre courant, sur toute la longueur A5"t= a. Les charges Q consistent ici en une înÛnité de charges élémentaires pcf a, et d'après réquation(5) qui définit 9(^), on a
x)=^\ p{oL — x)da — I — (« — x)doL = \p{a — xy — ^pa(a-'x).
soit, en réduisant,
?(^) = — ^P^{û — ■rj,
ce qu'on aurait pu voir également par la défînition de f ( j;) en langage ordinaire.
Quoique nous ayons supposé , en vue des applications ultérieures, que A et B sont des points d'appui, remarquons en terminant que cette hypothèse n'est pas nécessaire à la démonstration, et que A et B pourraient être des points quelconques de la fibre moyenne : seulement, s'il y avait des appuis fixes dans leur intervalle, les réactions de ces appuis devraient entrer parmi les forces dont les moments composent 9 (^}.
Nous sommes maintenant en mesure d'aborder le théorème principal du § P% dont tout ce qui précède est une espèce de lemme.
