II1I

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^8 . CHÂPITlCfi PftSMISa.

Oh voit que C l'emporte Bur Â' et sur D', tant que ie piwi fort de» nombres § et 7 ne dépasse pas o,3 ; au oontraàns, A' o« B' l'emporte sur C, quand l'un des nombres ^ ou 7 atteint 0,4* Pour, déterminer le point exact où le changement s'opère, supposons p>7; alors on aiua A'>B', et en égaient A' à C on trouvera Téquation

P(.-7) = J(.-P)(i-7) + 8^fjE^)»

qui, pour chaque valeur de 7, fournira la valeur de p correspondant au changement de C en A' dans le tableau ci-dessus. On obtient de cette manière les résultats suivants :

Le changement en question a donc lieu quand 16 plus fort des nombres p ou 7 atteint une limite, variable à la rigueur avec Tautre^ mais toujours

peu éloignée de ^, la limite est exactement ^) comme le montre la dernière équation, en supposant ^ = 7.

Dans le cas particulier où Ton charge une travée de rive, on a déjà vu plusieurs fois qu'il faut faire ^ = o ou 7 = 0; les résultats relatifs à ce cas figurent donc dans les tableaux numériques précédcoitsl

22. Comparaison des moments de flexion maxima^dans les.dewc cm d^une charge uniformément répartie sur une travée, ou concentrée en un seul point de la même travée. — On suppose d'abord qu'une charge concentrée Q agisse en un point arbitrairement choisi sur la poutre ; puis, que cette charge soit transformée en une autre pa^ de môme intensité, mais uniformément répartie sur la même travée que la première; on demande de comparer entre eux les plus grands moments de flexion qui se produisent dans les deux cas.

Les maxfana tlont il s'agit ont été étudiés en détail aux n°* 16 et 21. La charge Q ^tant7)lacée de ia manière ^ plus défavorable k la ré»stance, sans sortir d'une même travée, on a représenté les moments maxima qu'elle produit par

ceux que produit la charge uniforme ont été représentés (n'' 21) par

Mpa\ B>a', C>fl%

et comme l'énoncé de la question suppose Q = puy il faudra simplement

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POUTRES A PLOSISURS THAyÉM) EN. GÉNÉRAL. 79

comparer A„ B„ G, avec Â'^ B^ G', La comparaison pourrait m ftdre entre momeots de flexion homologues, c'«sirà-dire ^'odT mettrait en pa* rallèle A, avec A', B| avec B\ G. avec G'; naôs peur la conséi|«8iiûe pratique à tirer de cette discussion, il suffira de choisir dans chaque groupe le plus fort coefficient, et de voir quel changement il éprouve en passant d'un groupe à l'autre. Ce plus fort coefficient dans chaque groupe a été calculé pour une série de valeurs attribuées aux arguments ^ et 7; on en a donné le tablemi (K) au n"" 16" et le tableau (K') au n*" 21. Il ne reste qu'à diviser les nombres du premier par ceux du second, et l'on obtient les résultats dont voici le tableau :

Tableau indiquant le réfultat de la dirâion dei nombres (R) par les nombres (K').

VALEURS de y.

a, ai

a, II

Il €st donc constaté que le rapport (^j du plus grand moment pro*

duit par une charge concentrée, à celui qu'elle produirait en la répartissant uniformément sur la même travée, ne demeure pas constant, mais qu'il varie avec les nombres ^ et y de la travée. Sa plus petite valeur i ,54

répond au cas où l'un de ces nombres e^t o et l'autre ~j ce qui signifie

que la travée devrait être e;icastrée par un bout etn'avmr à l'autrequ'un simple appui d'extrémité. Quant à la valeur la plus forte, ^lle ne figure pas dans le tableau, parce qu'on n'a pas fait croître ^ et 7 par différences assez faitiAes. Pour la trouver, sans aborder une discussion algébrique trèsrainudeose et d'ailleurs peu intéressante^ on regardera comme sufiBsamment éftabli par le calcul numérique du tableau ci-dessus :

i° Que le rapport ( g? ) va en croissant avec p et 7, à partir de p = 0,

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8o CHÀPITHB PnEKIBR.

a** Qu'il commence à décroître à rinstant où C cesse d'être le plus grand des trois boefficients À', B', C.

On reprendra en conséquence les groupes de valeurs

pour lesquelles G' cesse de surpasser À' .et B\ comme on Ta vu plus haut (n** 21); avec ces valeurs, C^ remporte sur A, et Bj (n** 16) et devient

nombres dont les quatre premiers ont été déduits du tableau de C^ (n"" 16),

a — par interpolation, tandis que le dernier résulte de la formule C|= . 1 ft\ ^

relative au cas de p = 7 (n** 16). Cherchant enfin le quotient de ces valeurs de Gf par celles de G' qui répondent aux mêmes ^ et 7, savoir [n'' 16)

o,o858, 0,0789, 0,0719, 0,0649, o,o6a5, on trouve

La limite supérieure du rapport ( ^/ ) ^t donc a,5, ou le rapport de 5 à a.

Nous arrivons donc à conclure que, dans le cas le plus défavorable, le moment maximum produit par une charge concentrée, variable de position entre deux appuis consécutifs, peut atteindre deux fois et demie le maximum produit par une charge d'égale intensité, uniformément répartie sur la longueur entière de la même travée. Ordinairement les constructeurs admettent que le premier maximum est double du second, par analogie avec ce qui se passe dans une poutre simplement appuyée à ses deux extrémités. Quoiqu'on fasse ainsi bon marché de l'influence que peut avoir la solidarité mutuelle des travées, on voit qu'il n'en résulte pas d'erreur bien grave, puisque le rapport évalué un peu arbitrairement à a varie entre les limites extrêmes i,54 et a,5o, suivant les diverses longueurs que présentent les travées situées à droite et à gauche de celle où l'on place la charge. Toutefois, quand il s'agit de transformer une charge concentrée en charge uniforme équivalente (au point de vue du moment de flexion maximum), nous pensons que les ingénieurs devraient distinguer les cas d'une poutre à deux appuis simples et d'une poutre à plusieurs travées solidaires : dans le premier, ils conserveraient le coefficient a; mais, dans le second, s'ils ne voulaient pas déterminer exactement celui qui convient à chaque travée de leur poutre, ils pourraient prendre 2,5. De cette manière ils seraient à Tabrl de toute critique, du moins en ce qui concerne le calcul de la limite supérieure des moments fléchissants.

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POUTRES À PLUSIBVaS TRÀVéBS, EN GÉlfÉRAL. 8l

Les §§ n et ni contiennent, sur les effets propres d'une charge concen-. trée ou d'une charge uniformément distribuée le long d'une travée unique, une série de propositions qui semblent avoir déjà, par elles-mêmes, un certain intérêt; m^is notre but principal, en les donnant, était de préparer l'exposition du § IV ci-après qui, joint au § I, forme une théorie générale des moments de flexion dans une poutre à plusieurs appuis disposés d'une nMHiière quelconque.

§ IV. — Courbes enveloppes des moments.

23. Définition de la charge permanente et de la surcharge d'une poutre^ — La principale application qu'on ait faîte des poutres à plusieurs travées solidaires a été leur emploi dans les ponts métalliques destinés au passage d'une voie ferrée; ce sont les poutres de cette espèce que nous aurons principa^ lement en vue dans la suite de cet ouvrage, bien que nos- formules et calculs puissent s'appliquer à d'autres cas. Or ces poutres doivent être soumises.:

I** A une charge permanente uniformément répartie sur leur longueur entière, comprenant, outre le poids propre de la pièce, celui du plancher et de la voie;

2^ A des surcharges accidentelles couvrant entièrement une ou plusieurs travées choisies comme on voudra, ces surcharges ayant toujours une répartition uniforme sur les travées qu'elles embrassent.

Nous nommerons p et p* les poids, par mètre courant, de la charge permanente et des surcharges. Nous continuerons encore à supposer que les appuis donnent une fixité complète aux points correspondants de la fibre moyenne primitive.

Que la charge permanente soit uniformément distribuée, c'est un fait que nous n'avons pas à discuter et qui résulte des conditions mêmes de la construction, notamment de ce que le poids de la voie est uniforme, ainsi que celui du plancher, des entretoises, etc.

Mais la surcharge constitue l'épreuve exigée dans l'intérêt de la sécurité publique, et l'on est maître de la modifier arbitrairement. Par quelles raisons l'a-t-on donc composée comme nous venons de le dire? Pourquoi sa répartition est-elle uniforme, et pourquoi embrasse-t-elle toujours des travées com- III. » 6

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8a CHAPITBE PREMIER.

plèteSy formant une suite continue, ou séparées par des travées sans surcharge, à la volonté de celui qui fait l'épreuve? Ce sont là des questions que nous allons examiner brièvement.

D'abord l'uniformité de la répartition se justifie par la nature des charges passagères qui doivent franchir le pont et en vue desquelles il a été construit. Les convois de voyageurs ou de marchandises n'ont pas un poids rigoureusement constant par unité de longueur; mais cela existe d'une manière suffisamment approximative. Tout au plus pourrait-on objecter le poids considérable de certaines locomotives à marchandises, qui, par leur excédant de poids comparativement aux wagons, forment comme une charge concentrée, en tête du convoi. Pour en tenir compte d'une manière large, on mullipliera cette charge concentrée par 2,5 (n® 22), et alors on Itf considérera comme uniformément répartie.

Les convois, dont la longueur est variable entre des limites assez écartées, peuvent s'étendre, soit sur une travée, soit sur deux, soit sur un plus grand nombre. Il est vrai qu'ils n'ont pas de discontinuité, tandis que la surcharge définie plus haut peut présenter une ou plusieurs fois des groupes de travées chargées, séparées les unes des autres par des travées vides. £n imposant ainsi l'épreuve de quelques combinaisons de sur^ charge qui ne se réaliseront pas en pratique, on oblige les constructeurs de donner à leurs ponts un certain excès de stabilité, faible inconvénient si l'excès n'est pas lui-même trop grand; or c'est là un point dont la démonstration complète offrirait quelques difficultés, mais qu'admettront sans peine les personnes exercées au calcul des poutres.

Enfin, nous devons encore nous demander pourquoi la surcharge d'épreuve embrasse toujours des travées entières et non des fractions de travée.

Quelle que soit la surcharge, on peut toujours la regarder comme composée d'une infinité de poids élémentaires, proportionnels aux longueurs qu'ils recouvrent, et l'on doit se réserver de choisir leurs points d'application de la manière la plus défavorable à la stabilité, afin que l'épreuve soit aussi concluante que possible. Parmi tous les poids élémentaires, les uns produiront, en une section déterminée de la poutre> des

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moments fléchissants positifs, les antres des moments négatifs (n<^ 13); de sorte que ^es moments produits dans la section . dont il s'agit, par toutes les combinaisons possibles de surcharge, varieront entre deux limites, Tune positive, Tautre négative. Ces deux limites sont utiles i connaître pour vérifier la stabilité du pont, et même, quand la poutre a une section symétrique relativement à l'horizontale de son centre de gravité, la plus grande des deux suffit; quant aux valeurs intermédiaires, elles ne servent absolument à rien. On doit donc laisser de côté, comme superflues, toutes les combinaisons de surcharge qui ne donneraient pas Tune des limites. Or, on a vu (n"* 13) que si Ton choisit un point Af dans une travée (T), tous les poids placés dans une autre travée (T') produiront en M des moments fléchissants ayant tous le même signe; ces moments s'additionneroi^t donc entre eux quand la surcharge (T') sera complète, et donneront un total arîthmétiqueinent plus grand que si elle ne Tétait pas. Donc :

i^ Chacune des deux limites du moment de flexion^ en un point appartenant à une travée (T), ne peut répondre qu*à une combinaison de surcharge dans laquelle toutes les travées autres que (T) seraient ou complètement surchargées, ou comr plétement privées de surcharge.

Quand on considère l'action d'un poids variable de position dans la travée (T) seulement, on sait (n"" 14) que le moment de flexion a un signe déterminé aux points extrêmes de cette travée et dans une èertaine région centrale que nous avons signalée. Donc i

2* Si le point M est sur l'un des appuis qui terminent la travée (TU) ou dans ladite région centrale, chacune des deux limites du moment de flexion en M ne pourra répondre qu*à une combinaison de surcharge dans laquelle (T) serait ou complètement ou p(zs du tout surchargée.

L'usage adopté de ne s'occuper que des surcharges s'étendant sur des travées entières, et non sur des fractions de travée, est donc en partie justifié. Mais nous sommes forcé de reconnattre qu'il ne Test pas complètement. Le point M peut être tellement situé dans ( T ), que les divers poids élémentaires de cette travée produiront en M, les uns des moments positifs,

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les autres des moments négatifs. Alors, si Ton veut chercher la limite positive, par exemple, il est clair que parmi ces poids élémentaires on devrait conserver seulement les premiers, tandis qu'il faudrait les enlever tous pour ne garder que les seconds, s'il s'agissait d'avoir la limite négative. Dans les deux cas, la travée (T) serait incomplètement surchargée.

Ainsi donc, afin de procéder avec rigueur, on se trouverait parfois conduit à rechercher les limites de position entre lesquelles peut agir un poids, dans une travée, pour donner lieu, en certains points de la même travée, à des moments de signe déterminé à l'avance. C'est la question que nous avons mentionnée à la fin du n** 14; sa solution ne dépendrait toujours que d'équations du second degré à une seule inconnue. Malheureusement ce serait une complication nouvelle ajoutée à des calculs déjà passablement longs^ et les constructeurs ne l'accepteraient sans doute qu'avec répugnance. Comme l'hypo* thèse de la surcharge complète des travées est d'ailleurs consacrée par de nombreuses applications, sans qu'on y ait encore reconnu d'inconvénient grave, et que de plus^ en matière de calculs pratiques, il faut savoir de temps en temps sacrifier un peu de rigueur à la simplicité, nous nous décidons à adopter^ dans tout ce qui va suivre, l'hypothèse en question, malgré le vice que nous venons de lui reconnaître.

24. Définition des courbes enveloppes; relation entre les deux limites du moment fléchissant produit par la surcharge en un point déterminé. — En écartant, conformément à ce qui a été dit tout à l'heure (n*" 23), toutes les combinaisons de surcharges où entreraient des fractions de travées, il reste encore^ dans une poutre à n travées, à considérer les surcharges sur les groupes de travées que voici :

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POUTaSS ▲ PLUSIEURS TRAVÉBS, EU GÉHÉRÀL. 85

Indication des groupes de travées Nombre des combinaisons

qui portent la surcharge. de chaque groupe.

La poutre entière non surchargée i

La surcharge sur une seule travée n

La surcharge sur deux travées — ^

La surcharge sur trois travées — -^

La surcharge sur (n — ^-i) travées. n

La poutre entière surchargée i

Toutes ces combinaisons réunies font un total

n(n — I ) nin — i)(n — a)

soit le développement, par la formule du binôme, de (i + 1)\ Il y aura donc 2" surcharges différentes, si Ton comprend parmi les cas possibles celui où la surcharge ne porterait sur aucune travée, ou a*-— i en ne le comprenant pas, ce qui est évidemment indifférent pour le résultat des calculs sur la stabilité. Toutes ces combinaisons, considérées chacune isolément et abstraction faite de la charge permanente, donneront lieu à autant de moments de flexion, en un point quelconque de la fibre moyenne; et tous ces moments, comme on Ta déjà dit, varieront entre deux limites, Tune positive, l'autre négative. Le fait des deux limites de signe contraire se produira aussi bien quand on surchargera seulement des travées entières, que quand on pouvait surcharger des fractions quelconques; car tous les poids mis entre deux appuis consécutifs font naître des moments de signe déterminé, en tout point de la poutre extérieur à ces appuis, et ce signe change quand les poids franchissent un appui (n** 13); en surchargeant successivement deux travées contiguës on est donc sûr de faire changer le

86 CH^PIXRB PBBMIEE.

signe du moment de flexion en tout point situé au dehors de ces travées (*).

Imaginons maintenant qu'en chaque point de la fibre moyenne on élève deux ordonnées, Tune en dessus, représentant la limite des moments positifs dont on vient de parler; l'autre en dessous, représentant la limite des moments négatifs; puis, qu'on prenne le lieu géométrique des points ainsi obtenus. On aura deux courbes, ou plutôt, comme on le verra ultérieurement, des contours mixtilignes.: c'e^st ce que nous nommerons, suivant l'usage, les courbes enveloppes des moments produits par la surcharge seule. Le nom d'enveloppe doit rappeler que toute ordonnée représentative d'un moment produit paç une surcharge quelconque (parmi celles que Ton peut avoir à considérer) tomberait à l'intérieur du contour.

Ces courbes enveloppes ne sont pas précisément celles dont on a besoin dans {a pratique pour vérifier la stabilité de la poutre. La charge permanente, en effet, «git toujours simulta-r nément avec toute combinaison de surcharge, et les deux effets partiels doivent se cumuler algébriquement, suivant le théorème général rappelé au n® 5. Si donc on construisait une troisième courbe dont les ordonnées représenteraient les mo^ ments produits par la charge permanente seule, et qu'on fît, pour chaque point, la somme algébrique de ses ordonnées et de celles qui appartiennent à Tune ou l'autre des deux courbes déjà construites, on en obtiendrait deux autres qui seraient les courbes enveloppes des m^mjenis produits par t'uiction simul* tanée de la charge permanente et des surcharges.

{*) Cette déinonstrati<ni ^ige qu'il y ait an moins deux traTées, «oit à droite, soit à gauche de celle où l'on cherche Içs limites des moments fléchissants : elle serait donc en défaut pour la poutre à deux travées, et pour la travée centrale àe la poutre à trois travées. ïl serait facile de là compléter dans ce dernier cas; dans le premier^ on Ae pourrait le faire que partiellement. Nous ne croyons pas devoir nous arrêter à ces détails, d'abord parce que le fait énoncé importe assez peu, au fond, pour la suite de nos raisonnements; ensuite "parce que, à la rigueur, on peut le Vendre toujours vrai en considérant nno tiircbarge nulle, j^rbduisant partout des moments nuls, auxquels on peut indifféremment attribuer le signe -+■ ou le signe — , sans qu'il puisse en résulter ici aucune erreur. Si donc on avait en certains points d'une poutre à deux iravéfeiB des moments toujours positifs (ce qui peut arriver), un moment nul jpuerait le rOle de la limite négative.

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POUTRES A PLU&UEUllS TRAVÉES, E» GÉNÉRAL. 87

Les ordonnées des deux premières GOuri>es étaient toujours de signe contraire; mais comme^ .pour en déduire celles de la quatiième et de la cinquième, on leur a ajouté une même quantité, ces dernières pourront être tantôt de même signe, tantôt de signes contraires. Si le sec<Hid cas se présentait et s'il s'agissait d'une poutre à section non symétrique relatîyemem à l'axe ide flexion, il faudrait les connaître toutes deux; mats si elles ont un même signe, ou bien si la symétrie existe, il suait de connaître la plus grande des deux en valeur absolue {*). C'est ce qui arrivera le ;plus. ordinairement. Il faut donc con* cevoir une sixième courbe représentant les moments .limites en valeur absolue.

Voyons actuellement si les six courbes* n'auraient pas entre eUes d'autres relations que celles qui résultent explicitement de leur définition même. Nous ferons à cet égard les remarques suivantes, toutes fort simples, mais cependant très-'importantes.

Quand on veut avoir, pour un point M, la limite «poslUve des moments de flexion dus à la surcharge seule, on doit supposer l'action simultanée de toutes les surcharge^ partielles sur nne travée unique, qui, considérées isolément, produiraient au point M un moment positif; de même, l'action simultanée des surcharges qui produiraient isolément des moments négatifs au même point fournira la limite négative. La réunion de ces deux combinaisons forme évidemment la surcharge sur la longueur entière de la poutre.

Nous appelons surcharges complémentaires celles qui réunies occupent toute la longueur de la poutre, sans se doubler d'ailleurs sur aucune travée. Ainsi, quand toute la poutre supr porte un poids uniforme de p' kilogrammes par mètre courant, si l'on enlève ce poids d'un certain nombre de travées, le poids qui reste (abstraction faite de la charge permanente > et celui qu'on a ôlé sont deux surcharges complémentaires. Moyennant cette définition, et en ne considérant toujours que les moments dus à la surcharge seule, on peut dire que si une certaine

(*) Voir notre Cours de Résistance des Matériaux , chap. III, § 3, p. 191 et ■ttiy.

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88 CHAPITftE PftEMIBR.

surcharge donne, pour un point de la poutre, la limite positive des moments, la surcharge complémentaire donne l'autre limite. De là il suit immédiatement, en vertu du théorème sur la superposition des effets (n<» 5), que la somme algébrique des deux limites en chaque point est égale au moment fléchissant produit par un poids uniformément rép€uii sur la poutre entière, le poids par mètre courant étant celui de la surcharge^ Lorsque le poids par mètre courant d'une certaine charge ou surcliarge varie seul, la distribution restant d'ailleurs la même, le théorème sur là superposition montre de suite que les moments de flexion varient proportionnellement. Donc, en

multipliant par ^ la somme algébrique des deux moments

fléchissants limites dus à la surcharge seule, on aura le ma-ment dû à la charge permanente.

Pour exprimer algébriquement ce résultat, nommons :

X le moment fléchissant en un point quelconque, sous la seule action de la chaîne permanente, dont le poids par mètre courant est p;

X', X"^ les limites positive et négative des moments fléchissants, pour le même point, quand on ne fait agir que la sur* charge de p' kilogrammes par mètre.

Alors on aura

(I) X = (X'-hX-)£,

La connaissance des deux premières courbes enveloppes entraîne donc celle de la troisième courbe, et par suite celle des quatrième, cinquième et sixième, en vertu des définitions mêmes. Mais il y a plus. L'ordonnée de la sixième courbe s'obtient en choisissant la plus forte valeur absolue entre les deux sommes algébriques