X-f-X', X-hX

or je dis qu'on n'aura jamais besoin d'effectuer numériquement la comparaison, et qu'on saura toujours d'pivance, sans incertitude, celle des deux que Ton doit prendre. En effet.

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POUTHBS ▲ PLVSIEUHS TRAVÉES, EH GÉNÉRAL. 89

d'après réquation (i), on a pour les valeurs des sommes algébriques dont il s'agit :

d'un autre côté X'H-X'' prend le signe de X' ou celui de X*, suivant que le premier de ces moments l'emporte sur l'autre en valeur absolue» ou lui est inférieur. Donc, si X' dépasse X"^, abstraction faite du signe, X + X' l'emportera de même sur X-+-X"; car, dans la première somme, les deux termes ont même signe et sont, l'un égal, l'autre plus grand arithmétiquement, devant les termes homologues de la seconde. Le contraire arriverait si la valeur absolue de X^' l'emportait sur celle de X^ Dans tous les cas on voit que : -

La limita en valeur absolue des moments de flexion, pour un point quelconque de la poutre y est égale à la somme* des valeurs absolues que prennent en ce point : i** le moment de flexion produit X par la charge permanente; 2** celui des deux moments limites X', X^, dont le signe est le même que celui du moment X.

Tout se réduit donc à la recherche des limites X', X*^, que nous allons bientôt entreprendre. Nous avons besoin auparavant de rappeler, avec quelques développements utiles pour la question actuelle, diverses propositions démontrées dans les §§IIetlIL

25. Moments fléchissants produits, dans une travée déter* minée, pan la surcharge d'une travée unique, de rang quel-conque. — Considérons toujours une poutre à n-hi appuis désignés par

Af, Al, Al, A»,. . », Aj^^i, Anî

supposons qu'une surcharge de p' kilogrammes par mètre cou* rant agisse successivement sur chaque travée, en couvrant toute sa longueur; nous aurons ainsi n cas particuliers de sur^ charge, que nous distinguerons entre eux par des numéros

gÙ CHAPITRE PREMIER.

idenUi|ues à ceux des travées surchargées, cooime il suit :

surchai^e sur A«A, ...... cas n** i,

» Al As cas n*> 2,

» A, A,. cas n* 3,

» A»iA..... cas n* n.

ProAons maintemiit une travée A«^,Ai,, et voyons ce que doivent y être les moments de flexion dans chacun de ces n cas particuliers, en faisant abstraction de la charge permanente.

Il est clair qu'on arrivera toujours à les déterminer par les formules et procédés du § III, puisqu'on a une charge uniforme sur une seule travée; il n'y aura qu'à changer p en p\ Supposons d'abord un cas dont le numéro diffère de m; ce sera cdui qu'on a* étudié au n<* 19. On se rappelle que les moments de flexion dans A»-t A«, sont, pour chaque cas, une fonction linéaire de l'abscisse, c'est-à-dire que leur ligne représentative est une ligne droite. Si l'on nomme :

X«^i et \m les moments de flexion sur les appuis A»i et A«;

a la longueur de la travée;

a: la distance d'un point quelconque de Am-i Am à l'origine A.;

P et y les deux nombres ainsi désignés au n^ 9, se rapportant spécialement à la travée Am^,A«;

La fonction linéaire dont il s'agit sera (n'' 1), attendu que 9(a7) = o,

le rapport de X»-» à X« sera d'ailleurs — (3 ou » suivant

que le cas particulier de surcharge aura un numéro A* plus grand ou plus petit que m. Les n — i droites représentatives de l'expression précédente forment donc deux faisceaux concourants en deux sommets B et C {Jig. 6, PL A, à la fin du volume)^ dont les distances respectives aux appuis A«-i, km om pour valeur

Am-|B= —r, AmC

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le sommet/B se rapporte à A'>> m, le sommet Ck k<Cm. Les diverses droites portent d'ailleurs sur la ûgure des indices qui nous serviront à les désigner» et qui ne sont autres que les cas de surcharge correspondants.

Quand on ^rchargera la (m + !)*•*• travée, il y aura en A« un moment de flexion positif» de sorte que la droite m + i aura ses ordonnées .positives dans Tintervalle A«|B» négatives dans l'intervalle BAm-^c Pour les droites

ce sera la même chose» car on sait que- si la charge varie de position hors d'une travée, les moments de cette travée changent de signe toutes les fois qu'elle franchit un nouvel appui, d'où il suit que le signe reste le même quand elle en franchit deux. Au contraire, et par la même raison» les droites

mH-2, mH-4, /w-h6, /n-+-8,...

auront leurs ordom[)ées négatives dans l'intervalle AmB, positives dans BAm^i. On reconnaîtra d'une manière toute semblable que le^ droites

/»-^i, iw- — 3, m — 5, tn — 7,-»-

ont des ordonnées positives dans l'intervalle A„,C, négatives dans CAm, et que l'inverse a li<eu pour les droites

Les situations qu'on vient d'indiquer pour les diverses droites sont représentées dans la^g*. 6. Nous ne nous sommes d'ailleurs nullement préoccupé des relations de grandeur que peuvent avoir les ordonnées relatives aux différents cas, et il serait inutile d'en parler ici.

Il ne nous reste plus à mentionner que le m'^' cas de surcharge, c'est-à-dire celui où la travée A»iA« elle-même est surchargée. Nous avons étudié ce Cas en détail au n^ 20. On a vu que l'expression linéaii'e du moment de flexion doit être remplacée par l'expression entière et du second degré

X«^,-}- (X„— X«-, ) - — - /?' j? (rt — ^).

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ga CHAPITRE PRMMUER.

La ligne représentative devient alors une parabole désignée par la lettre m sur Isijig. 6; ses ordonnées sont positives en Am^i et A«; elle coupe toujours l'axe des abscisses en deux points réels D et F^ sKués, le premier dans Tintervalle A»-iBy le second dans l'intervalle A«C.

Nous sommes maintenant en mesure d'aborder d'une manière tout à fait générale la recherèhe des moments de flexion limites X% X', qui peuvent avoir lieu dans la travée A»^|A«, lorsqu'on suppose possibles toutes les combinaisons, en nombre quelconque, des n surcharges élémentaires qu'on vient de considérer. Dans cette recherche, la division des droites représentatives en deux faisceaux, la situation de la parabole et des droites relativement à l'axe des abscisses, l'ordre dans lequel se succèdent les points D, B, C, F ont une Importance capitale, et c'est pour cela que nous avons cm nécessaire d'y revenir.

26. Recherche générale des courbes em^èloppes des moments dans une travée déterminée, sous l'action de la sur^ charge seule. — Ces courbes se déduisent bien simplement des propositions rappelées au numéro précédent, combinées avec le théorème sur la superposition des effets des forces (no 5).

Supposons, par exemple, qu'après avoir choisi arbitrairement une travée A»-iAm, et construit les n lignes représentatives des moments de flexion dus aux n surcharges sur une seule travée, on veuille avoir la limite positive X', ou, ce qui revient au même, sa courbe enveloppe, entre A«, et A«. On partira de l'appui A«,,; on prendra en ce point l'ordonnée Am^iE de la parabole m {Jig. 6), et l'on y joindra toutes les ordonnées positives

A«iE', Aiw— iE% Aiw-iE"',. . .

des droites composant les deux faisceaux. L'addition de toutes ces ordonnées fournît la limite X' en Am-i : le moment X' ainsi obtenu se produirait, en effet, par la réunion des sur-

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POUTRES A PLUSIEURS TRAVÉES, EN GÉNÉRAL. gi

charges isolées qui ont donné lieu aux divers termes de la somme; et toute autre combinaison répondrait à un moment positif moindre, puisque la modiQcation aurait pour effet nécessaire, soit de supprimer dans cette somme certains termes positifs, soit de lui adjoindre des termes négatifs. Lorsqu'on marchera ensuite suivant Taxe A»-.iÂm9 il est clair que les ordonnées des mêmes lignes, cumulées entre elles, donneront encore la limite X', jusqu'à ce qu'on arrive au premier point où l'axe Am^iXm est coupé par Tune quelconque des n lignes représentatives. Il y aura là, en effet> un passage du positif au négatif, si la ligné sécante est une de celles déjà employées, ou un passage inverse si cette ligne était négative près de Aj».i : dans le premier cas, il faudrait supprimer son ordonnée à partir de son intersection avec Ai».iAm; dans le second, il faudrait au contraire l'ajouter. Partant de cette intersection, on ira de même jusqu'à la plus voisine, en suivant l'axe des abscisses; là encore il y aura introduction d'une nouvelle ligne ou suppression d'une ligne précédemment employée. Et ainsi de suite, de proche en proche, on marcherait en cumulant toujours toutes les ordonnées positives; de plus, comme on saurait à quelles lignes appartiennent ces ordonnées, on pourrait avoir, non-seulement leur somme déterminée graphiquement, mais encore son expression algébrique en chaque point (c'est-à-dire les équations successives des courbes ou droites formant le c(întour enveloppe ), en même temps que les combinaisons correspondantes de surcharge.

On procéderait de même à l'égard de la limite négative X'^; qui répond toujours, comme on sait, à la surcharge complémentaire (n*» 24) de celle qui engendre la limite positive X' (*).

Il est facile maintenant d'indiquer d'avance, pour chaque point de la travée, les combinaisons de surcharge auxquelles

(*) L'idée, très-heureuse suivant nous, de déterminer les limites X' et X' en commençant par chercher les lignes représentiftives des moments produits par la surcharge successive de chacune des n travées, puis cumulant en chaque point, soit toutes les ordonnées positives, soit toutes les ordonnées négatives, a été émise pour la première fois, à notre connaissance, dans un concours de Mécanique appliquée, par M. Maurice Lévy, alors élève ingénieur des Ponts et Chaussées. U s'est d'ailleurs borné à l'exposer en termes succincts et à en faire

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94 CHÀPCTHE FRIÎMIER.

répond une des deux limites, X' par exemple. Remarquons, en effet, qu'il y a seulement quatre points d'interseaion des lignes droites et parabole représentatives {fig. 6) avec A»,-i Am, savoir : D, B, C, F. Nommons x'^ x"^ x'\ x^^ leurs distances respectives à AiN^i, ainsi rangées- par ordre de grandeur : x' et x"^ sont données par la formule (5) du n** 20, et Ton a

X — Api— iAfa ^ ^? X — Afli— lAm

i'-Ti^i)'

les nombres p et y étant ceux qui dans leurs séries (n** 9) appartiennent spécialement à la travée considérée. Soit enfin^r la distance d'un point quelconque de A«-iA« à la même origine Aw,. Cela posé, la seule vue de Ift^g*. 6 suffit pour justifier les énoncés suivants :

I* De X =o à a: = a?', la surcharge qui donne la limite positive X' sera composée de la surcharge sur la /»**«• travée A»», A« dont on s'occupe, et sur les travées portant les numéros

m — ^^ I , m — 3, m -^ 5, . - . , jusqu'à épuisement de m ; TO-ha, m + 4' m-f^6, ..., jusqu'à n ou /i — i.

Autrement dit, on doit sfircharger les deux travées qui se rejoignent à l'appui d'où Von part* et toutes les autres de deux en deux.

3^ De a; = a;' à a: = ;«/', il faut conserver les mâmes droites^ mais supprimer la parabole; doiic c*est la même combinaison de surcharge, sauf qu'on enlève celle de la travée dçnt on s'occupe.

3° De a?" à x'^, toutes les droites, déjà employées, du premier faisceau ayant B pour sommet, ont passé au-dessous de Vaxe et doivent être remplacées par celles du même faiisceau qu'on avait d'abord laissées de côté. Il faut donc modifier la combinaison précédente (a**) en ce sens que la surcharge sera

l'application au prôblèine numérique dont on lui demandait la solution. Les positions respectiTes de la parabole m {fig»^) et des droites, la diyision de oelles-ci en deux faisceaux concourants, et généralement tous lès faits signalés au nô 25 ne^paraissent pas avoir attiré son attention, non plus que les consé- <riMicM déduites dans la suite du n<> 26.

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rapprocùée d'une travée sur taute la portion à droite de Am^iAm, G'esl-à-dire qu'elle sera ôtée des travées numéroiées

m + 2^ w + 4» /w + G, m -h 8,..., jusqu'à n ou n — i,

pour être mise sur les travées

m-f-i, /n-f-3, m-H5, m-+-7,..., jusqu'à n — i ou n.

La surcharge restant d'ailleurs la même à gauche de A«,A«, on voit, en déilaitive, qu'il faut surcharger de deux en deux toutes les travées de la poutre, en ayant soin de laisser vide celte dont on s'occupe .

4** De X = x"' à a: = ^'% toutes les droites 'du second faisceau (sommet C) déjà employées doivent être remplacées par les autres qui appartiennent au même faisceau et n'ont pas encore servi. La combinaison précédente de surcharge (3**) est donc changée en ce qu'il faut décharger les travées n***

m — I, m — 3, m — 5, m — 7,..., jusqu'à o ou i,

pour surcharger les travées n®»

m — 2, m — 4> '^ — ^> "^ — 8,..., jusqu'à I ou o.

Cela revient en sommé à laisser vides la travée dont on s'oc^ cupe et sa voisine à gauche, et à charger les deux travées con-^ tiguês à ce vide, ainsi que toutes les autres, de deux en deux. Plus simplement, on peut remarquer que l'intervalle CF est dans une position tout à fait analogue à celle de l'intervalle Bï), qu'on a étudié plus haut (2*») : par application de la règle énoncée à cette occasion, nous dirons qu* il faut modifier la combinaison suivante de surcharge (5**), en déchargeant la travée dont on s'occupe,

S^'Be x=z a?'^ à ^ = a = Am-i A™, la parabole m ayant coupé l'axe des abscisses redevient positive et doit être rétablie, en surplus de la combinaison précédente. On a ainsi la surcharge sur la m'*^« travée Aw-jA»,, et sur celles qui portent les n**

m-hi, m-i-3, m-+-5,..., jusqu'à /t — i ou u,

m — 2, m — 4> f^ — 6,..., jusqu'à épuisement de m.

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96 CHAPITHE PREMIEH.

Cest-à-dire que, comme en Am^i, il faut surcharger les deux travées attenantes à l'appui A«, et les autres de deux en deux. La figure suivante rend ces résultats sensibles aux yeux; les travées surchargées y sont marquées par un trait plus fort.

Fig. 7.

Am~~i Aj»

■Am.^ Ajr

On remarquera que les surcharges i*» et 4** d'une part, 2*» et $• d'autre part, forment des groupes complémentaires. Donc, lorsqu'il s'agira de déterminer la limite négative X" (qui répond, comme on l'a déjà dit, aux combinaisons complémentaires de celles qu'on vient d'étudier], la quatrième combinaison ci-dessus remplacera la première depuis jc=o jusqu'à x = afy et le remplacement inverse aura lieu de :r = a:*' à a? = ;r*^ ; entre x-=-af ^\x-=- x"y il y aura de même substltu- . tion de la cinquième combinaison à la deuxième, et substitution inverse entre x = x^^ et a: = a. Ënûn la troisième combinaison sera remplacée par une autre dans laquelle on aurait encore surchargé toutes les travées de deux en deux, la travée dont on s'occupe figurant parmi celles qui portent la surcharge.

De là résulte immédiatement le corollaire suivant :

La courbe représentative de la limite X' dans le premier intervalle {de x=zo àx=ix') et celle de la limite X'' dans le quatrième {de x^x"^ àx = x^^} répondent à des surcharges identiques f elles sont donc des arcs d'une seule et même courbe f et ont même équation. On peut dans cet énoncé pet^ muter X' avec X''.

La même relation existe entre la limite X' du second intervalle {dexzznx' à x^=-x^') et la limite IL" du cinquième [de X ^= x^"^ à X ^=z a). I

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Ainsi donc lés dix fonctions de x par lesquelles on pourrait exprimei* Jes deux limites X' et X'' dans les cinq intervalles que terminent les valeurs particulières o, ^', sf^ x'"y ^'% a de l'abscisse, sont loin d'être indépendantes les unes des autres. Le corollaire ci-dessus établit déjà entre elles quatre relations d'identité; mais ce n'est pas tout. On a vu (n** Sb) que la

somme X'-h X" doit reproduire, sauf le facteur -^j le moment

P X du à la charge permanente ; or, celui-ci est une fonction continue de Xy qui ne change pas de forme dans toute l'étendue de la travée, comme le montre la formule (4) du n* 1,

dans laquelle on doit faire (f{x)= px^a^^x)*. donc la

somme X'^-f- X'' doit rester la mêine fonctioil de x dans les cinq intervalles. Cela semble faire cinq nouvelles relations, mais deux sont des conséquences des quatre premières, et dans les cinq dernières .figure une nouvelle inconnue X, de sorte qu'il y a finalement sept relations distinctes, et quatre fonctions à déterminer par des relations différentes. Quand on connaîtra ces quatre fonctions, on en déduira facilement les autres.

Employons, pour rendre cela plus clair, la concision du langage algébrique. Soient

les dix fonctions qui représentent respectivement X' et X'' dans les cinq intervalles, la première ligne étant pour X' et l'autre pour X''; nommons encore p'P (x) la fonction unique exprimant le moment X dans la ti;avée entière. Alors on aura :

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98 CHAPIVEB PEXHIKa»

Yoieî aeuf relations : mai$ rélimiBatiofi fie F (ir) eMre la première et la quatrième» puis» entre la seconde et la ci]|qiiième> donne

ce que Ton obtient aussi par l'addition membre à membre de la sixième avec la septième, et de la huitième avec la neuvième. Il n'y a donc bien que sept relations distinctes qui font connaître Les onze fonctions quand on en a déjà calculé quatr^e. U y a plusieurs njianières, également bonnes suivant noqs, de choisir ces quatre fonctions inconnues : on pourrait prendre, par exemple, F, /, f^ avec vj;, ou f^ ; ou bien F, /„ /», f, ; ou encore F, f^y ij/j, /, etc. ; japus avons adopté, dans divers exempleij» qu'on verra par la suite, la combinaison F, /, ^ayfi, sans fivoirpo.ur justifier ce çl^^ix. aucune raison bien décisive* Unçfois cesqujatre fonctions déterminées^ on poserait, pour coinpléter la soliition,

(3) { fi{x) = ^.(a:) = ¥{x)-f,{xh

ce qui résulte Immédiatement des relations ( 2) : comme on le voit, k détermination des sept dernières inconnues n'exige plus que trois soustractions.

Si l'on nomme généralement c et c' les quotients que donnant les moments en Am-i et A« divisés par p', on voit de suite par application de la formule (4) du n** 1, citée il y a un instant, que les fonctions /et ^ ont toujours Tpne des formes

c -4- {c' — c) rrOX-h-X^y

la première s'appliquant au?c combinaisons de surcharge qui

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t>0DTRE8 À PLUSIEURS THÂVÉBS, EN GÉNÉRAL. gy

comprennent A«^iA«„etrautrdà celles qui ne la comprennent pas. En se reportant aux indications données p)us haut sur les coo^binaîsons à prendre dans chacun des cinq intervalleSi on constate donc sans peine : i® que/a(j?), /«(jf), /(^J» ^1(^)9 v|^i(ar) sont des fonctions linéaires; a''que/t{^), /i(x), 4^3 (.^)9 ^5(^)9 ^<(^) se composent d'une partie linéaire k

laquelle on ajoute le terme -+- - xK Donc la Courbe enveloppe

(ou plutôt polygone mixtiligné) X', dans là travée A«,A«, se compose de deux arcs de parabole, commençant ou finissant aux appuis Am-i et A», et de trois lignes droites, les intersections mutuelles de ces lignes ayant lieu aux abscisses afy af, x^y x^^. De plus, dans le polygone X'*, les lignes composantes sont également au nombre de cinq et se coupent sur les mêmes abscisses; les paraboles du premier correspondent à des lignes droites dans le second, et inversement. Enfin les cinq arcs de parabole appartenant à l'un ou Tautre des deux polygones, rapportés à leur spmmet et à leur axe principal,

«mraient toujours la même équation j^ = - p'^', ce qui montre

qu'ils sont tous pris sur des paraboles égales ; comme ces paraboles ont une ordonnée rationnelle et du second degré en jt, leurs axes principaux sont parallèles à l'axe des ordonnées. Quant à F (a?), son expression contiendrait toujours le terme

- jr'. La courbe représentative de X est donc une parabole, ne

différant de celle qu'on vient de trouver que par le changement de p' en p.

Après avoir déterminé les moments X, X', X^, il serait facile d'avoir, soit X-+-X' et X-hX'', soil la plus grande de ces deux sommei^, en valeur absolue, laquelle est ordinairement la seule utile on pratique, eomme on l'a dit au n*" 34, Noi|s n'avons à ajouter maintena^nt aucun détail à ee qui a été exposé alors en termes généraux, et nous ne voyons pas de route plus brève pQUr arriver au but. Le problème d^s courbes enveloppes est .en effet susceptible de se réduire ^ des termes très*précis^ trèscatégoriques et très-simples, quand on étudie séparément, d'uine pfirt, les moments produits par la surcharge, et, d'autre

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lOO CHAPITRE PREMIER.

part, ceux qui sont dus à la charge permanente, suivant la méthode que nous venons de développer; si Ton veut, au contraire, aborder de front et sans intermédiaire la recherche du plus grand moment, en valeur absolue, pour une section quelconque, tout devient complication et confusion; les eus particuliers se multiplient et s'entre-croisent, pour ainsi dire, au point de former un dédale où il est bien difûcile de ne pas s'égarer.

27. Même problème pour une travée de rive. — Supposons que la travée A«^iAm, au lieu d'être quelconque, soit une travée extrême de la poutre, ce qui arrivera si Ton a m = i ou m = /i; prenons, pour fixer les idées, m = i. Alors la^g*. 6 [PL A, à la fin du volume)^ va éprouver des simplifications notables; puisqu'il n'y a plus de travée à gauche de km-\9 les droites du second faisceau, ayant C pour sommet, seront supprimées; le moment étant toujours nul en Aj»-i ou A«, les autres droites, ainsi que la pçirabole m, passeront en ce point, où se confondront par conséquent les intersections B et D. Ainsi, la figure prendra l'aspect indiqué dans \^fig- 8, PL À, et les cinq intervalles considérés au n® 26 se réduisent à deux, A.F, Ai F. Nous continuerons à nommer x^'' la distance A«F; on sait

(n** 20) qu'elle est la fraction i y de AoA., c'est-à-dire

qu'on a

Cela posé, x désignant encore la distance d'un point quelconque de la travée à l'appui A», on voit que :

I** De x= o à x=ar*% il faut, pour avoir la limite positive X', ajouter les ordonnées des droites n*»» a, 4, 6, 8, lo, . . ., jusqu'à n ou n — I, c'est-à-dire que cette limite répond à la surcharge simultanée de toutes les travées de rang pair;

2" J)e x==x^^2iX=z Ao A, = a, il faut prendre les ordonnées des mêmes droites, plus celles de la parabole i, c'est-à-dire qu'on doit surcharger les deux travées qui se rejoignent en kx, et toutes les autres de deux en deux^

En résumé, on constate qu'on peut suivre pour ces deux

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POUTRES ▲ PLUSIEURS TRAVÉES, EN GÉHÉRÂL. lOI

intervalles la même règle que dans une travée quelconque^ en traitant le premier comme on traitai! précédemment le troisième ou le 4][uatrième (au choix), et le second comme on traitait le dernier.

Voici la représentation graphique des surcharges qui donnent X' dans la première travée : comme dans la fig. 7, les travées surchargées sont indiquées par des traits plus forts.

Si Ton veut maintenant avoir Texpression analytique des moments X, X', X", et qu'on nomme (ainsi qu'au n° 26) :

p F (x) le moment X dans toute l'étendue de la travée, p'fA^h P'fii^) la limite positive X' pour les intervalles

O, FÂT,

p' +8 {^), p' ^5 {00) les valeurs correspondantes de X"^, il n'y aura entre ces cinq fonctions inconnues que les relations

qui permettront d'en calculer deux quand on connaîtra les trois autres. C'est une. fonction de moins à déterminer que dans le cas général.

Par analogie avec ce qui a été fait précédemment (n*26), on peut rechercher d'abord, si Ton veut, les trois fonctions F, 4'» ^> pu^s on en déduit