XI . 3 . 5 . . . m (m-»- ») (m-f-3) ^m-i-5) . . . rn-4-i

« ri., r*, a"-(6 — 2Ô«--3a»n .1 ,.. a""

ces dernières formules ont les mêmes limites que leurs analogues du premier cas, lorsque m tend lui-même vers 00 •

On remarque, dans les formules (2g), {3o), (Si), que la première partie reproduit identiquement la formule (20).

Cas particulier .• m = i. — Il est à remarquer que la valeur m = i ne saurait être introduite dans les formules {29), (3o) et (3i]. £n effet, si m a cette valeur, le système des équations (21) et (22)<loit se remplacer par Téquation unique

qu'on n'obtiendrait pas en faisant m =1 dans les équations qui conviennent au cas général. Il faut alors poser

Xx= -y;?'6»ô'+A'a'*+B'a'

et déterminer A', B' par la condition : i*> de satisfaire à l'équation précédente; 2*> de satisfaire à l'équation

la dernière de celles qui remplacent ici le groupe (23). Cela

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POUTRES SYMÉTRIQUES, ETC. ai3

conduit aux relations

toujours de même forme que celles qu'on a déjà rencontrées plusieurs fois. La somme et la différence des seconds membres étant respectivement

on arrive, par les mêmes procédés de calcul, à

De là résultent, en faisant A- = i, fr = 2, les formules :

Quand n grandit indéfiniment, on doit faire

ces valeurs, mises dans les formules (32) et (33), donnent pour résultat

«■•■'■"-=rr^[K-\/^)-]' ■

21 4 CHiFITIVi: mVYlÈMC.

Il est manifeste que l'hypothèse m = n — i produirait une exception tout à fait analogue à celle qu'on vient d'étudier, et qui pourrait se traiter de la même manière; mais il est inutile de s'y arrêter, car les deux moitiés de la poutre étant dans des

conditions identiques, on peut se dispenser de faire m> ^•

TftOiuftiiB CAS : n impair, m pair, t- La première travée reste vide, et la dernière se trouve surchargée; par suite, le groupe (21) et l'équation (22) subsistent; mais dans la dernière des équations ( 23 ) , 7 />' ^'5' doit se changer en j p'b*. Les

valeurs de A— A', B— B' restent ce qu'elles étaient dans le prcr mier cas, et les équations finales en A el en B deviennent

Aa'(2 — av^)H-Ba"(2-hav'3) = 4'''*'^(^^~^)'

Aa''-'(2,Hr^.V^)T^Ra'''?-'(2 — av'3i)==4p'&*(6-.r.2$*— ^5')

La ^pmme et la différence des seconds membres étant

T = ^p'bHi — à')^^p'b^S^u,^,

on en conclut, toujours par la même méthode, qu'on a, pour un indice k non supérieur à m,

24 \ Ny 3d-|-2A

pu, en groupant les termes en «„«,

M^4-i-* 3 — 2Ô' . 3Ny+..* d^^i

3Ô+3A N, 2-hhdy

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POUTRES SYMÉTRIQUES, ETC. 2l5

Si l'on attribue à k les valeurs m — i et m, on obtient d'abord les formules :

a .4.6.. .m(tn-\- 1) (m -»- 3) (m-»- 5). ..«

Xa .<|.o fn — 1

, Um— I Un— m

X>.4.6. •.m(m-ï- 1) rm-f-3) (m-4-5)...«

(35) I =^/'*^\^'^--Nr*3ôT^-^--T^-i-TAdj

Quant au moment X«+,, nous en écrirons provisoirement la valeur sans démonstration, sauf à y revenir bientôt en traitant le quatrième cas; cette valeur est

(36) ( =^P^\^'^^-UT^-^-ïïr-i:Frà

— l/^'fr^*»-

Les limites relatives à n = oo pourraient se trouver par des calculs semblables à ceux du premier cas; mais il est plus simple de remarquer que la parité de n devient indifférente lorsque ce nombre est infini, de sorte que les résultats du pre<mier cas doivent se reproduire identiquement, ce qui se vérifie en effet.

La première partie des trois formules (34), (35) et (36) s'est déjà rencontrée dans le premier cas du n° 49.

La supposition particulière m = n — i exigerait une analyse spéciale, comme on en a fait une pour m == i ou m = » — i dans le deuxième cas; mais, ainsi qu'on l'a déjà dit plusieurs

fois, il est inutile d'attribuer à m des valeurs supérieures à - •

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ai6 CHÀPITRB DEUXIÈME.

Quatrième cas : n et m impairs. ^— La première travée est alors chargée et la dernière vide. On doit en conséquence modifier le système d'équations (21), (22) et (23), en remplaçant

dans la première jp'b^S^ par jp'b^* Rien n'est changé aux différences A — A', B — B', mais les équations finales en A et B deviennent

Aa'(2 — ôv/3)-f-Ba"(2H-dV3) = -p'6'(6-23»— 3Ô^\

Aa'"-' (2 -f- ôv^) -f-B/^'*-' (2 ~ d\/3) = ^p'&'$M3â — 2)

La somme et la différence des seconds membres sont

S=^^p'b^3 — 2à^)-^^p'b^à^Un^^,

T=~p'b'{è^—i)-{^jp'b'è'Un.

c'est-à-dire les mêmes que dans le cas précédent, sauf que ô* — I a remplacé i — 8^ dans la différence T ; il suffît donc de faire le même changement dans les formules du troisième cas, et l'on obtient

Xi.3.5. ..m (m -f- t) (m-h'i) (m -|-5).. .(n — i) Ml— 1

(37) I =^p'^['-^-\-JàTrh-^-iir'^^^^i

X«.3.5...m(m-Hi) (m -f- 3) (m-hb). . .{n— i)

(38) -^P''[^-^ ^-'■ià + 2h^~U^':i + hS)

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X 1.3.5. . .Ml (rn-f-i) (m-t-3) (m-+- 7)...(n — i) m-i- I

On remarque encore ici, dans la première partie de ces trois formules, la reproduction d'une formule du n° 49 (deuxième cas).

La supposition /» = oo donnerait lieu aux formules déjà trouvées dans le deuxième cas du problème actuel.

Nous avons laissé. tout à Theure sans démonstration la formule (36), et par conséquent la formule (39), qui s'en déduit, est affectée du même défaut. Il est facile maintenant de le faire disparaître. En effet, quand nous supposons (troisième cas) n impair et m pair, Tappui A« aurait un rang m' = n — m impair, si le numérotage commençait^ à la seconde extrémité de la poutre. Or, cela nous placerait dans les circonstances du quatrième cas; donc nous pourrons calculer X«/«„ ou, ce qui est la même chose, X„4.,, en mettant dans le second membre de la formule (37) n — m au lieu de m. Si Ton tient compte des égalités (n® 32)

on arrive bien, de cette manière, à la formule (36).

Ceu particulier ; m = i. — 11 faut encore, dans le quatrième comme dans le deuxième cas, une analyse spéciale lorsqu'on a /n = i; on la fera d'ailleurs par une méthode tout à iait analogue. En posant toujours

24 ■ on aura, pour déterminer les constantes A', B',

A'a' (2 ~ ô v/3) -hB'a'' (2 -4-0 v/3) = 4p'&M6 -2â»H-3(î'),

Va'.-. (2-|-ôv/3) + B'a'^"-(2 — aV^)=î-^/&'ô'(3ô— 2).

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AI 8 CHAPiTRB 0EUXIÈMB.

Les seconds membres de ces équations ont pour soodme et pour différence

on trouve donc facilement, en procédant comme ci-dessus,

(40)] =riP^'[^'-^ 3a-^2A -^rPÂâJ

-"8^'' [ 3d-h3A "^a-hAâJ'

Les limites de ces formules pour ;i = oo doivent être les mêmes que celles des formules (32) et (33); ce que Ton vérifie sans peine.

Sa- Résultats, numériques fournis par r application des formules précédentes. — Nous venons de compléter Tarsenal de formules qui nous était nécessaire pour aborder le problème des courbes enveloppes des moments. Ces formules ne sont pas compliqi^éeis^ et l'introduction des données numériques de chaque problème particulier y est facile i mais elles sont nombreuses^ et il faut une certaine attention pour toujours bien cbaisir celle qu'on doit employer. Il faut pour cela prendre garde à toutes les conditions concernant la parité des nombres m et n, ainsi qu'aux exceptions relatives à m = i ou m = n — i .

Au reste, quand la valeur ô sera Tune des huit pour lesquelles nous avons déjà dressé les tableaux numérotés de I à IX, et que la poutre aura de trois à douze travées inclusivement, l'emploi des tableaux X et XI dispensera de recourir aux formules du § IV qu'on vient de lire, et partant de toutes les précautions qu'elles exigent. On trouve en effet dans ces tableaux les moments de flexion produits sur les points d'appui par toutes les comèihaisons de surcharge qu'il peut être utile

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POUTaES SYMÉTRIQUÏ», ETC. aip

de considérer I c'est donc la réduction desdites formules en nombres que nous donnons toute effeeluée, en ne conservant que/>'6* comme facteur algébrique.

Le tableau X est consacré aux surcharges qui portent, soit sur toutes les travées de rang pair, soit sur celles de rang impair. Dans le tableau XI on a considéré les surcharges couvrant deux travées adjacentes et toutes les autres de deux en deux, et on a donné les moments de flexion correspondants sur les trois points d'appui qui appartiennent aux deux travées portant la surcharge non interrompue. Dans l'un et l'autre de ces tableaux, comme dans les précédents, on n'a fait figurer que lés résultats relatifs à la première moitié de la poutre, les autres étant inutiles ou pouvant s'obtenir, si on le veut, par la considération de la symétrie.

On remarquera peul-toe, dans ces deux tableau», que certaines qimntités homologues tendent un peu iFrégulièrement vers leur limite, à mesure que le nombre n des travées va en augmentant. Prenons, par exemple, le moment X, sous la surcharge des travées de rang pair ; si n

varie de 3 à la, ^ restant toujours égal à i,i, le rapport -7^ prend successivement les valeurs ci-aprés :

JVombre n des travées. Rapports Xj î p'b*.