XJ

Xi-3

= Oji5i3'2gp'b^= 1904025, = 0,042267/?'^*= 528338,

L'unité de moments dans ces calculs est le kilogramme agissant siir un bras de levier d'un mètre de longueur.

§ V. — Courbes enveloppes des moments de flexion.

52. Recherche des moments limites X', X!\ dusr à l'action isolée de la surcharge, — On a vu, au § IV du chapitre premier, que là solution complète du problème des moments de flexion, pour une poutre ayant des appuis en nombre quelconque et arbitrairement espacés, revient à la détermination de trois quantités X, X', X", variables d'une section à Tautre. Quand il s'agit des poutres symétriques à travées intermédiaires égales, nous savons déjà calculer X, qui n'est autre chose que le moment fléchissant produit par la seule action de la charge per-

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manente, ou encore p¥{x): c'est la question que nous avons traitée au § II du chapitre deuxième, et spécialement aux ïï"^ 42 et 43. Il s*agit maintenant de faire la même chose pour X' et X". On sait (n°26) que Tun et l'autre de ces moments limites est, dans toute travée intermédiaire Aa,,A«, successivement représenté par cinq fonctions différentes de Tabscisse, que nous avons nommées

/>7.(^)» p'M^)y p'M^h p'f*{^)f p'Mx)y

le facteur/?' restant ainsi en évidence, et les abscisses a? étant comptées à partir de Torigine A«, de la travée ; chacune de ces fonctions s'applique dans l'un des cinq intervalles que déterminent, conjointement avec les extrémités Am-i et A„, les abscisses x\ x'\ af^ x^^ ci-dessus étudiées ( n"* 44 à 48 ). Ainsi/, et 4^1 s'appliquent entre a: = o et j? = j?' ; / et ^^^ entre xz=z od et x:=x"\f^ et 4*3 entre x^=^x" et x^^x*" , et ainsi de suite- En y joignant F (or), cela fait en tout onze fonctions de x qui sont nécessaires pour définir X, X', X" dans la travée dont il s'agit; mais nous avons vu aussi qu'après en avoir déterminé seulement quatre, savoir F,/, 4*3, /&, les sept autres s'en déduisent par trois soustractions seulement. Or, F(j?) nous est connu ; nous n'avons donc qu'à indiquer le procédé à suivre pour le calcul de/,(j?), ^z{x)y f^[x)y calcul en vue duquel ont été démontrées les formules des n°» 49 et 50.

Entre :r = o et ar = ^', la limite positive X' répond (n** 26) à la surcharge des travées portant les numéros

m, m — I, rh — 3, m — 5, m — 7,...

jusqu'à épuisement de w, d'une part;

m H- 2, m -h 4» m-i-6, m-{-8, m-t-io,...

jusqu'à nou n — i, d'autre part; c'est-à-dire qu'il faut surcharger les deux travées adjacentes à l'appui A«, et les autres de deux en deux. Pour une telle combinaison de surcharge, les formules du n*» 50 et le tableau XI font connaître X«, et X« sous la forme

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a2a CHAPtVKE DBUXlkftE.

^ el jui' désignant deux coefficients numériques; donc on âura, par la formule fondamentale du n* 1 ,

et conséquemment

De la même manière on trouvera XS et partant^(ar) entre x = x^^ ex x = c:=bd; cdiT dans cet intervalle X' répond encore à une combinaison de surcharge dans laquelle on charge deux travées consécutives et les autres de deux en deuit, savoir les travées portant les numéros

jusqu'à n — i ou n, et

rH— "A, fn — 4> w^— 6, m -*- 8, /?i-*-io, *..

jusqu'à épuisement de m. Par les formules du n" 50 et le tableau XI, on aura donc les valeurs de Xm-, et X« sous la forme

i//)'6% v'p'b\ et Von en ôonclura

f,{s,)^vb^^{^^d--'!^^yx-h^x\

Enfin, on supposera la surcharge placée sur la travée Am-t A» et sur toutes les autres, prises de deux en deux à partir de celle-là, combinaison à laquelle répondent X'' dans la troisième région (entre x = x*^ et x = x^), ainsi que ^i(x); les formules du n*» W el le tableau X donneront alors

X«>. = pp'&% X„=:py6'.

De là résulte, pat ladite formule du n*» 1,

X'^ = pp'b^^{p'^p)£^-'^p^x{bô-x),

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POUTRES SYMéTRlQtTES, ETC. 223

et aussi

Connaissant ces trois fonctions/, +3,/b, la solution s'achève aisément par les relations (3) du n" 26, qui donnent de suite /et^s,/3,/4 et ^p., ^1^,, ^4.

53. Cas particuliers d'une travée de rive et d'une travée centrale, i<* Travée de rive, — Les travées de rive se divisent en deux régions seulement (n*» 27) : ainsi, dans la travée n° 1, par exemple, on ne doit considérer que les intervalles de ^ = o à ^ = ;r'% et de a?=^*^ à a: = 6. Il n'y a donc plus que einq fonctions à trouver, savoir :

F(^), /aW, /.(o:),- +a(^), U:x:),

et même F(^) est déjà connue ( n** 42). On sait d'ailleurs (n® 27) qu'il suffit de connaître en outre 4^3 et^, pour en déduire, par deux soustractions, /a et ^^ : or, le calcul des deux fonctions 4^8 et/fc s'effectue en suivant une- marche tout à fait analogue à celle du n° 52.

Dans le premier intervalle, de ^==o à ^ = ;r'% la limite X" répond à la surcharge des travées portant les numéros

I, 3, 5, 7,..., jusqu'à n — i ou n,

pour laquelle on sait (n'^W) calculer X, — p.^'ô', p, étant un coefficient dont la valeur numérique sera fournie par le ta^ bleau X, si w et (5 sont dans les limites cenvenables. Donc (n* 1)

X" = p./>'6^f — i/>'^(^^^), et par conséquent

r];3(^):=— /-— p,j bx-^^xK

Dans le surplus de la travée, entre ^=:^'^ et ^ = 6, il faut, pour avoir X', surcharger la première travée, plus toutes celles de rang pair. Ce sont alors les formules du n*» 50 et le

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aa4 CHAPITKB DEUXIÈMB.

tableau XI qui donnent le moment X, =vip'6'; il en résulte de même

fi{a;)==—(^!.— V^bx^^X\

Ayant 4*3 et/s, il suffit de prendre les différences

¥{x} — ^,{x):^fi{x), Y{a,)—fUx)=^,{x),

pour compléter la solution relative à la première travée.

2° Travée centrale. — Nous nommons ainsi une travée dont le milieu coïncide avec celui de la poutre, ce qui ne peut arriver que pour les poutres ayant un nombre impair de travées. Il est bien facile de reconnaître que dans ce cas/i et^ doivent être symétriques relativement au milieu de la travée, de sorte qu'après avoir calculé /, on pourrait obtenir /& par réqualion

f,{x)=f(bà-r-X).

On peut aussi procéder comme s'il s'agissait d'une travée intermédiaire de rang quelconque : seulement le tableau XI ne donne plus, d'une manière immédiate, les rapports v et v' (n** 52) qui définissent les moments aux extrémités Ai(„i), Ai(^,) de la travée. Pour les avoir, il faudra supposer une surcharge symétrique de celle qui répondrait à/s, et prendre les moments de flexion aux points symétriques; c'est-à-dire qu'on cherchera, par le tableau XI, le moment de flexion en A|(„+i) s'il s'agit de v, et le moment en Ai („>,) s'il s'agit de v'. Un exemple rendra cela plus clair. Supposons qu'on demande f&{x) dans la quatrième travée d*une poutre à sept travées égales : il faudrait avoir les moments X3 et X4 sous la surcharge des travées n*»« .2, 4, 5, 7. Or, on a, par raison de symétrie,