V 2.4.5.7 ___ VI
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POtTnES SYMÉTRIQUES, ETC. 2^5
donc le tableau XI, où sont inscrits les moments XJ^ * " et XJ *^ % donnera
/=^,xr*- = J^,x--=o,.i4394.
Le calcul de /s s'achèverait ensuite comme au n" 52.
54.. Formulaire analeptique donnant sans calcul les fonctions f,/i, 4^3,/5. — En résumé, on voit qu'après avoir préalablement déterminé (n** 42) le moment X dû à l'effet spécial de la charge permanente [ou la fonction F(;r)], si les valeurs du nombre n des travées et du rapport $ permettent de recourir aux tableaux X et XI, la recherche des limites X' et X'^ n'exigera plus qu'un petit nombre d'opérations très-simples et trèsélémentaires. Afin de rendre encore plus immédiate la détermination de X, X', X'^ nous avons construit un Formulaire analytique (voir à la fin de ce volume), où Ton trouve par une simple lecture les expressions àe¥ (x), fi{x)y ^^{x), fi{x), dans les mêmes limites de n et de i, c'est-à-dire pour les poutres de trois à douze travées inclusivement, dans lesquelles le rapport entre les ouvertures d'une travée intermédiaire quelconque et d'une travée extrême prend l'une des huit valeurs
Nous avons cru devoir néanmoins présenter les explications qui précèdent (n"» 52 et 53), tant pour faire comprendre la construction du Formulaire, que pour mettre le lecteur en mesure de traiter les cas où se présenteraient d'autres valeurs de n ou de d, ce qui obligerait d'employer les formules des §§ I, II, m et IV de ce chapitre.
65. Recherche de la limite X"'. — Nous avons ainsi nommé, dans l'exemple du n* 29, la limite supérieure des moments, pris en grandeur absolue, qui se produisent en tout point de la pièce, sous l'action combinée de la charge et de la surcharge. Cette limite, la seule qu'on ait ordinairement besoin m. i5
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2a6 CHAPITRE DEUXIÈMB.
de connaître» est (n^ 2^) la plus forte, en valeur absolue, des deux sommes algébriques X+X' et X-t-X'' : on l'obtient en ajoutant le moment X dû à la charge permanente avec celui des deux moments X' ou X'^ qui a même signe que X, et prenant, bien entendu, la somme en valeur absolue.
Or, quand la charge permanente agit seule, nous savons ( n» 36) que les moments X„ sur les points d'appui sont presque toujours positifs; il n'y a d'exception que pour ceux dont i'indice est pair quand on donne le rang o à la culée la plus voisine, et encore faut-il que ô reçoive des valeurs inusitées en pratique : nous admettrons àonc que les X« sont, positifs sans exception, dans les poutres qu'on peut avoir à étudier. De même, en nous reportant aux résultats fournis par la discussion des n" 37 et 41, nous admettrons que X s'annule ordinairement pour deux valeurs réelles jc, et Xt de x, de sorte qu'il est négatif dans l'intervalle. S'il s'agit de la première travée, on a ^, = o. Cela posé, il en résulte comme conséquence immédiate qu'on a, sauf des exceptions qu'il serait facile, mais peu utile, de préciser :
Dans la première travée.
Entre ^ = o et a?==xa X'" = — X— X^
Entre :c == jr, et x = b X'' = Xh-X'.
Dans une travée intermédiaire quelconque.
Entre :r = o et ^ = jr,
Entre x^= Xi et x :=. c
Entre a: z=^, et x = x^ X''= — X — X".
Puisqu'on connaît déjà x,, x-, ainsi que X, X', X'', le problème peut être considéré comme entièrement résolu.
56. Exemple numérique. — Supposons une poutre à six travées, le rapport 5 étant égal à i,25, comme dans l'exemple commencé au n® 43 et deux fois repris aux n~ 48 et SI. Nous ne fixerons pas les valeurs numériques des longueurs fr, c des travées, ni des intensités p et p' de la charge permanente et de la surcharge : ces éléments du problème figureront algé-
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hriquemeni dans les résultats. On demande, pour les trois premières travées, d'indiquer les moments X, X', X", X*'. A cet effet, voici la marche qu'il faut suivre.
Le moment de flexion X produit par la charge permanente étant exprimé par /?F(a:), on trouve d'abord dans le Formulaire analytique donné à la fin d>e ce volume :
Première travée i . . . F{ar)i= — o,ZH7.Zo&bx H- - x^y
Deuxième travée. . . F(fl7)=o,i27694^' — ofiii^i^bx-\ — ^% Troisième travée. . . F(^)=o,ï3o927&2 — 6,62S86ibx-h'-x^(*),
On rappelle iei les valeurs trouvées au n** W {deuxième exemple), pour les abscisses ic, , Xj des points où X et F(^) s'annulent :
Première travée rr, = o, Xi = 0,74461 b ;
Deuxième travée a;, = 0,207260, ^2 = 0,788600;
Troisième travée :c, = 0,21241 c, x^ = 0,78897c.
Ces valeurs ont été fournies par le tableau VI.
Les tableaux VIII et IX nous fournissent ensuite les abscisses x\ x"y x'", x'^'y déjà données à titre d'exemple (n® 48) :
Première travée, x' = x" = x"' = o, jc«^ = 0*87995 6.
Deuxième travée.
^'=0,124750, ^C^rr: 0,21739 c,
^ = (1—0,21133)0= 0,78867c, ar'' = o,88o56€.
(*) n est essentiel de ne pas oublier que, dans chaque travée, les abscisse» sont comptées à partir du commencement de la travée : le numérotage des sppRiis et flks traitées étant £a*t comme il «st dit dans les préiti ni n a ia'cs du chapitre deuxième (n® 30), l'origine des x sera en A^, pour la imnéa A^, A^.
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228 CHAPITRE' DBUXIÈIIE.
Troisième travée.
ar'=o,i2o4ic, jt'^z^ 0,21176 c, ^""=(1 — 0,21 i36)c = 0,78864c, :c»^ = 0,87994 e.
Maintenant nous prendrons dans le Formulaire les résultats ci-dessous :
if^(x) = — 0,347678 éx 4- - ^% 1 ^^[x) = — 0,464605 6j? h- - x^.
f^ [x) = o, 1 523226' — 0,7 1 3o44 bx-^-x^, Deuxième travée, ^ /s{^) = o,o6ii92 6' — 0,537687 6j: -H -j?S
i|;3(^) = 0,092298 6' — o,652i58ft^-h-^*.
fi {x} = o, 1 70333 b^ — 0,7302866^ -h-x^.
Troisième travée, .
fi(x) = 0,043373 &' — 0,52079860: -h - ^',
^i(x) = 0,0725766' — o,63i 111 bx -^-x*.
Nous en déduirons immédiatement, par les relations (3) et (4) des n«* 26 et 27 :
Première travée,
/,(a:) = F(x)—ij;,(^)= 0,0922996a: (*), i\i^(x) = ¥(x) — fs{x) = — 0,0246286^.
{*) Les fonctions y^(â:) duis la première travée et ^.(x) dans la seconde répondent à une même surcharge, celle des travées de rang pair. La première fonction devient égale à 0,092299^* pour x = 5, et la seconde égale à 0,0922986' pour j:=o : ces deux valeurs devraient être égales, car elles représentent
toutes deux —, X*-*-'. La différence de 0,000001 h* qu'on trouve ici (et quelques
autres du môme ordre, qu'on pourra remarquer) tient à l'influence des décimales négligées.
POITTRBS SYMÉTRIQUES, ETC. 2^9
Deuxième traitée.
f,[x) = ^,[x) = Y[x) —f,{x) = o,o665o2 6» — 0,084727 ^jr, f^[x) = F(^) — ^i[x)r=^OyO^SZcj5b^ — Oy0297446<^9 f,{x)=^x{x) = Y{x) — /{a:) = — o,o246286»+o,09o63o6ar,
^^{x)=Lf,(x)y ^,{x)=f,{x).
Troisième travée.
f^(x)=^,(x) = Y(x)—f,[x)z=o,Qi^5^b^—o,io5i£^bx,
/a (a:) = F [x) — ij^a (x) = o,o5835 1 b^ H- o,oo5259 bx,
S'il y avait un plus grand nombre de travées, les mêmes calculs se répéteraient un plus grand nombre de fois, mais sans plus de difficulté ni de complication, autant du moins qu'on resterait dans les limites de nos tableaux numériques.
On possède maintenant tous les éléments nécessaires pour écrire les équations de la limite en grandeur absolue X'", suivant ce qui a été dit au n*» 55. Voici les résultats :
Première travée.
Depuis X = o, jusqu'à x = Xi= 0,74461 ft,
X'*= (0,372306/? 4- o,4646o5p') fco: — -ip-hp') x^\
Depuis ;r = 0,74461 &, jusqu'à a; = ^'^= 0,87995 i, X'"= ( — 0,372306/? -H 0,092299/?') éo: -H -px^\
Depuis X = 0,879956, jusqu'à :r = &,
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a3o CHAPITRE DEOXIEXB.
Deuxième travée^ Depuis j: = o, jusqu'à ;r = x'= o,i'2475c, X*" = (o, 1 27694^ -h o, iSaSaayi' ) 6'
-^ (o,6224i4p -+- OV7 *3o44/>') fer -+- -(p + p')x*;
Depuis :r = 0,124756-, jusqu'à a: = x,=:.o,ao726c, X'" = (o, 1 27694^ -h o,o665o2 p' ) i'
Depuis ar = 0,20726e, jusqu'à j: = j:''=i 0,217890, X*'= — (0,127694/^4-0,061 192/?')*'
-h (0,622414/' 4- 0,537687 p')bx [p -\-p' ) x*;
Depuis a; = 0,21739c, jusqu'à j; = ^7,= 0,78860 c, X^'rir — (o, 1 27694/? -H 0,092298/ ) 6»
-t- (0,6224 1 4p-^o,652i 58/?' )ix {p-^ p')^*'*
Depuis X = 0,78860 c, jusqu'à x = x"'= 0,78867 c,
X'^rzr (0,127694/? 4- 0,035395 /?')fe'
— (0,6224 i4p-^ Of029744/»')fe^-i--p^*(*);
Depuis X = 0,78867 c, jusqu'à .r = 07'^= o,88o56c;^ X'''= (o, 127694/? — 0,024628/;' ) fe*
— (0,6224 14/^ — 0,090630/?') 6^ H — px^;
Depuis X = o,88o56 c, jusqu'à x == c, X'"= (0,127694/? -h 0,061 192/?' )&=^
— (0,6224 i4p-f- 0,537687 /?') 6x4- -{p'hp')x^.
(*) Cette équation, applicable à une fraction presque imperceptible de la travée (o",oo7 sur une travée de 100 mètres), n*e»t de«née ici que pour mémoire.
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POUTRES SYMÉTRIQUES, ETC. a3 i
Troisième travée.
Depuis xz=zo, jusqu'à x = x'= 0,12041 c, X"'^: (o,i3o927p + o,i7o333p')i*
— (0,625862/? 4- o,73o286/>' )bx-i'^(p '^p')x^;
Depuis j; =1 o, 1 204 1 c, jusqu'à ^ = :r"= 0,2 1176 c, X'^= (o, 130927P 4- 0,087554/?' ) 6'
— (0,625862/1 -H o, io5o64/>' ) bx H — px^ ;
Depuis a: = 0,2 II 76 c, jusqu'à ^ = ^,==: 0,21241c, X'^= (0,1 30927 p -h o,o5835 !/>')*'
— (o ,625862 /? — o ,005259/?' ) 6^ H — px^ ( * ) ;
l)epuis 57 = 0,21241c, jusqu'à ^ = ^'"= 0,78864c, X*'= — (0,1 30927/? -h 0,072576/?') 6*
H- (0,625862 /? H- 0,63 II 2 1 /?' ) 6:r — -- (/? -H /?' ) a:' ;
Depuis .r == 0,78864c, jusqu'à ^ = ^,= 0,78897 c, X'^'=— (0,1 30927 p + 0,1 70333/ )&'
Depuis X = 0,78897 c, jusqu'à x=zx^^z=i 0,87994 c, X'"= (0,130927/? — 0,039406/?') fc'
— (0,625862^—0, 104424/)^^ H — px^;
Depuis X = 0,87994 c, jusqu'à jc = c, X'"= {0,130927/? ■+■ 0,043373/?'*) b^
{*) Cette équation pourrait encore être négligée dans la pratique, puisqu'eUe s'applique à o,ooo65 (environ jjts) ^^ '* travée seulement. (**) Observation analogue.
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57. Représentation graphique de la limite X'" dans l'exemple précédent. — Sur une droite horizontale 0123 {PL 17 de l'Atlas, Jig. 40, on a pris les intervalles 0-1, 1-2, 2-3 respectivement égaux à o"',ioo, 0^,126, o"*,i25, pour représenter les trois travées dont les longueurs sont 6, c, c; en dessous de cette ligne» considérée cooime axe des abscisses, on a porté en
X*' ordonnées ce que deviennent les rapports —j- dans Thypo-
thèse />'== o : on a ainsi obtenu la courbe, ou plutôt polygone curviligne, OBCDEFGHIKLM, qui représente pour la demipoutre la série de valeurs de — tj-^> abstraction faite du signe.
Les points 0, C, £, G, I, L ne sont autres que ceux qui se rapportent aux abscisses Xi, Xj dans chaque travée. De même, on a porté au-dessus de Taxe des abscisses ce que devient
-7JJ dans l'hypothèse p = o, en ne prenant que la portion
de X'*' spécialement due à p' ; c'est-à-dire jjz entre les
abscisses Xt et Xt de chaque travée, et -7-^^ dans le surplus
(n" 55). On a obtenu ainsi un autre polygone composé de portions droites et d'arcs de parabole, commençant également sur la culée et finissant ep N, au-dessus de la troisièrne pile. L'échelle des ordonnées est de o"*,5o pour le rapport 1 :
ainsi, par exemple, au point 3, le rapport -^5 que l'on doit
compter en ordonnée au-dessus de l'axe, a pour grandeur réelle 0,1736; son ordonnée représentative est o"»,o868.
D'après la manière dont la figure a été construite, si l'on veut déterminer X'^ à l'aide de cette figure, en un point quelconque de la pièce, cela sera bien facile : on cherchera d'abord ce point sur l'axe des x, d'après le rapport entre la longueur effective de la travée qui le contient et sa dislance à l'un des appuis; epsuiie, pour ce point de l'axe, on évaluera, en fraclions du mètre, les grandeurs réelles sur le dessin {*), de Tor-
(*) On fera bien d'employer pour cette évaluation Téchelle, remplaçant une règle graduée, qui se trouvé au bas de chaque planche, afin d'éviter ou d'atténuer l'erreur produite par le retrait du papier après l'impression.
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POUTRES STMÉTRIQUES^ ETC. a33
donnée y* en dessous, el de l'ordonnée f en dessus; enfin Ton posera
La figure ne suppose donc aucune valeur particulière des données i,/?, /?', el servira toujours, pourvu que la poutre ail six travées, et que le rapport ô des travées intermédiaires et de rive soit égal à i,25.
La même figure met en évidence plusieurs maxima par lesquels passe la fonction X'" et qu'il serait facile de déterminer directement d'après les expressions successives précédemment données (n° 56) de cette fonction. On remarque :
I** Trois maxima sur les points d'appui, savoir :
(o,i277p 4- o,i523p')6% sur la i^pile, (o,i3o9p -h 0,1703 /?')&% sur la 2» pile, (0,1298/? -h 0,1736/?') &% sur la 3® pile.
2" Trois maxima dans l'intervalle des points d'appui. Ici les maxima des courbes supérieure el inférieure ne coïncident pas rigoureusement, et en conséquence les maxima de X" pourraient varier un peu en position et en grandeur avec le
rapport^-, mais on a une approximation suffisante (et en tout
cas une limite supérieure) en faisant la somme des maxima partiels au-dessous et au-dessus de l'axe des abscisses. On trouve ainsi :
(0,0693/? -f- 0, 1079/?' ) 6% vers le milieu de la i" travée, (0,0660/? -f- o, 1 204 /?' ) 6% » » 2« travée,
(o,o649/>H-o,i298/?')6% D » 3* travée.
Les cotes mises à côté des ordonnées expriment le double de leur grandeur réelle sur le dessin, en fraction du mètre : ce sont donc ces cotes elles-mêmes ( et non leur double) qu'il faut multiplier par pb^ ou /?' 6S pour avoir les moments correspondants. Les distances horizontales sont cotées en millimètres et fractions du millimètre : en les divisant par iqo, on aurait leurs rapports à la longueur d'une travée de rive.
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On sait que les limites positive et négative X' et X"" changent de forme quatre fois dans cliaque travée intermédiaire, quand l'abscisse x passe par les valeurs j/, x^, a^^ x^" : la limite X'' doit donc changer en même temps. Mais de plus on sait que X' se remplace par — X'' dans l'expression de celle-ci, ou inversement, lorsque x devient égal à :ri ou à :rs: ainsi cela fait en tout six changements de forme pour X*", c'est-à-dire sept formes différentes de la fonction dex qui en donne les valeurs. Le polygone mixtiligne représentant la portion de X"* spécialement produite par la surcharge doit donc en général se composer de sept lignes droites ou arcs de parabole. Toutefois, conformément à une remarque déjà faîte (n** W), il arrive souvent qu'il y a égalité approximative entre ar, et 30^ y d'une part, Xi et x"*, d'autre part; le fait se produit surtout quand à est voisin de i,î ou de 1,2; alors les différences j7i — x", Xt — x"* devenant trop faibles pour être représentées à l'échelle ci-dessus définie, les sept lignes sont réduites à six ou même à cinq. C'est ce qui est arrivé notamment dans \^ fig^ 4*» deuxième et troisième travées : pour la deuxième on a
et pour la troisième
Xx — ^" =r o, 00065 C, Xi — j:"'= o,ooo33c;
et attendu que la longueur c est représentée par laS milli-mètres, on aurait respectivement pour ces trois différences
rxinin
La plus grande n'atteindrait pas —^ de millimètre, distance trop faible pour qu'il y eût possibilité de la dessiner clairement. Nous avons donc adopté le parti de supprimer une des deux ordonnées qui répondent à des abscisses aussi peu éloignées l'une de l'autre, et nous avons inscrit deux cotes à côté de l'ordonnée unique qui les remplace. Comme d'ailleurs ces deux cotes sont toujours égales ou presque égales, cette simplification ne saurait entraîner d'erreur appréciable en' pratique.
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POUTRES STKÉTKIQUES, BTC. 235
Le terme du second degré dans X'" est -px^ ou -/>'xS suivant qu'on a /?'= o ou /> =: o. Tous les arcs de parabole de la fig. 4i auraient donc pour équation commune
si on les rapportait à la tangente au sommet et à Taxe principal, pris respectivement pour axes des x et des 7. Or, une longueur de o™,i représente b sur le dessin; en outre, les ordonnées j sont réduites à moitié : donc, en appelant ar' et j' les coordonnées mesurées sur le dessin> pendant que x ei x seraient les grandeurs naturelles correspondantes, on aura
éliminant x et/, il vient pour Téquation commune de toutes les paraboles du dessin
Tous ces arcs de parabole peuvent donc être tracés avec un même patron, appartenant à une parabole de o'",o4 de paramètre. Celle parabole aurait o"*,oi pour dislance du foyer au sommet : ou bien encore ce serait une parabole de o", 16 de corde sur o",i6 de flèche.
68. Formulaire graphique, i" pour la poutre à deux travées égales, i" pour les poutres de trois à sept travées inclusivement, le rapport entre les longueurs des travées intermé-diaires et de rive pouvant prendre les huit valeurs
— Ce Formulaire consiste uniquement dans la réunion d'un certain nombre de figures portant les n*>» 10 à 5o (*), et construites suivant la méthode qu'on vient d'expliquer (n" 57} à l'occasion de la fig. ^i : nous avons donc dû commencer par
(*) \a fig, 10 se trouve dans la Pi. A ^ à la fin du volume; les autres forment les vingt-quatre planches de l'Atlas.
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a36 CHAPITRE DEUXIÈME.
rechercher les équations de la limite X'*, comme au n^ Se, et par la répétition de calculs en tout point semblables, que nous avons eu soin de faire marcher parallèlement pour les huit rapports $, afin d'économiser le temps. Quant à la poutre à deux travées égales, qui ne peut être traitée de la même manière, on trouvera son calcul un peu plus loin.
Ces figures suffisent, comme on Ta montré (n* 57), pour avoir X*' en fonction de 6, />, p\
Elles sont toutes construites à la même échelle de o", loo pour représenter la longueur 6 des travées de rive, et de o"*,5 pour représenter le rapport i en ordonnée verticale; elles donnent lieu d'ailleurs aux mêmes observations que la ^g*. ^i.
Nous nous sommes arrêté au chiffre de sept travées, parce que les poutres de huit travées ou plus commencent à constituer l'exception, et que celles de trois, quatre ou cinq travées sont de beaucoup les plus ordinaires; mais si l'on voulait prolonger cette représentation graphique jusqu'à douze travées, en adoptant toujours les mêmes valeurs de ô, on y parviendrait sans beaucoup de peine à l'aide des tableaux numériques V à XI, ainsi que du Formulaire analytique donné à la fin de cet ouvrage, qui renferment tous les principaux éléments à calculer, et ne laissent à faire que des opérations d'arithmétique très-simples. On pourrait aussi recourir aux tableaux XII et XIII dont nous allons parler maintenant.
Comme on l'a constaté au n° 57 sur un exemple particulier, et comme on le voit d'ailleurs en parcourant les diverses figures de l'Atlas, il y a vers le milieu de chaque travée un maximum des moments fléchissants dus à la surcharge. Pour compléter les renseignements déjà donnés, nous avons formé les tableaux XJI et XIII {voir à la fin du chapitre deuxième), où l'on trouve les abscisses x'' et les ordonnées' G./?'&* (en valeur absolue) de ces maxima. Les abscisses o;^ sont définies par leur lapport à la longueur de la travée correspondante; elles se comptent à partir de l'origine de chaque travée : ainsi, dans la travée Âm-iAm» leur point de départ est AiiL.i. Enfin, nous nous sommes contenté, comme toujours, de fournir les résultats relatifs à la première moitié de la poutre.
Les abscisses x^ peuvent également se déduire de notre
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Formulaire analytique. Sauf de rares exceptions, les maxima dont nous nous occupons sont négatifs et appartiennent à la fonction/?' 4^3 W> ^^"^ ^^ trouve dans le Formulaire Texpression
/?' (ab'—^bx + ^x'y,
le maximum s'obtient donc en faisant ^ = 6é = ^% et le coefficient G a pour valeur correspondante
Il y a exception, dans la seconde travée, pour les poutres à cinq travées, lorsque ô est égal à 0,7, parce que le maximum de ^^ [x) tombe en dehors des limites x", ^'% entre lesquelles s'applique cette fonction. Dans la travée centrale d'une poutre à trois travées, S étant égal à 0,7 ou à 0,8, le maximum en question n'appartient pas à ^z{x)y mais bien à fi(x); cependant sa position répond à la même abscisse, qui est celle du milieu de la travée.
Les tableaux XII et XIII font connaître x'^ et G pour toutes les poutres de trois à douze travées, le rapport ô conservant toujours les huit valeurs précédemment adoptées. Et même, en vertu d'observations déjà faites à propos du tableau VU (n® 43), il est applicable au moins approximativement, quel que soit le nombre des travées : dans chaque travée dont le rang n'atteint pas 7, on prendrait les résultats fournis par les deux tableaux, en regard du nombre n des travées, si ce nombre s'y trouve inscrit pour la travée dont on s'occupe ; et s'il dépasse le dernier nombre inscrit, on prendra les résultats relatifs à ce dernier nombre. Dans toutes les travées dont le rang m est au moins 7, le nombre n atteignant ou dépassant i3, on pourra considérer les résultats comme égaux à leurs limites pour m et n infinis, car la différence est déjà faible dans la sixième travée d'une poutre à douze travées.
Quant à ces limites, on les obtient en remarquant que, d'après les formules du n*» 49, les limites correspondantes des
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938 CHAPITKfe DVtJXICMIS.
momenls sur les appuis A^-i, A« sont -7/>'6'ô' : il en résulte qu'on a
Vim ^Ax) =z-^ b'd'— ^ x(bè — x),
el par suite
1 x^ lim:r'=-6ô ou lira — =o,5,
limG= fi L\a*=:~ô».
La dernière formule conduit aux huit valeurs ci-dessous de limG, quand S est Tun des nombres que nous avons choisis :
o,o4o8, o,o533, 0,0675, o,o833, o,ioo8, 0,1200, 0,1 3o2, o,i4o8.
59. Remarque sur une ordonnée particulière des courbes représentant les limites X', X* dans la seconde travée, — D est assez remarquable que les valeurs de X' et X" au point ayant pour abscisse x", dans la seconde travée ; sont constantes, quel que soit le nombre n des travées de la poutre. La même propriété s'étend, comme conséquence immédiate, au moment X dû à la charge permane4ite.
La limite X' répond, pour ce point considéré comme appartenant à la région (x", .r'"), à la surcharge de toutes les travées impaires (n'*26). Or (n*49) les surcharges sur les 3*, 5*, 7", ...* travées donneront un moment nul ^n ce point : X' se réduit donc à ce que produit la surcharge de la première travée. On verrait de même que X^' se réduit au moment que donne la surcharge de la seconde travée.
lifaintenant, si la première travée est seule surchargée, on a (n** 18]
et par suite
X^=lp'l^,„~^lp't^'^^,
Le moment en un point quelconque de la seconde travée, répondant à l'abscisse .r comptée depuis l'origine A, de cette travée* sera donc (n** \ )
PODTkES SYMÉTRIQtJES, ETC. 289
et attendu que l'abscisse x^ a pour valeur
-fil '"+"P1 ,^ «»^«î
on aura pour la limite X', au point que définit cette abscisse, Or, les équations qui déterminent la série des u (n° Zi ) donnent
donc la valeur ci-dessus de X' au point (x") devient
formule indépendante de w.-
Pour avoir X" au même point, nous devons supposer la surcharge sur la seconde travée seule : un calcul déjà fait au n° 20 nous donne alors
tfcX"^ j3(i-p).
Si Ton substitue dans cette dernière valeur
il vient finalement
formule également indépendante du nombre n des travées.
60. Résumé succinct des paragraphes précédents; guide pra» tique. — Passons maintenant brièvement en revue et posons comme conclusion de la théorie exposée dans les §§ I à V, la série d'opérations qu'il faudrait exécuter pour résoudre le problème qui fait l'objet de ce chapitre, savoir :
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24o CHAPITRE DEUXIÈME.
Étant donnée une poutre symétrique, à travées intermédiaires égales, posée sur des appuis au même niveau, et devant supporter : i° une charge permanente uniforme sur sa longueur entière; s** une surcharge s'étendant sur un nombre arbitraire de travées, mais ayant sur les travées qu'elle recouvre une répartition également uniforme ; on demande :
Le moment fléchissant X dû à l'action isolée de la charge permanente, en tout point de la poutre;
Les limites, positive et négative, X' et X", des moments que peuvent produire en ce même point les diverses combinaisons de surcharge, agissant à l'exclusion de la charge permanente ;
La limite X*' des valeurs absolues que peut prendre le moment fléchissant, au même point, sous l'action simultanée de la charge permanente et de la surcharge, celle-ci passant successivement par tous les états qu'il est permis de lui attribuer.
Dans l'exposé ci-après, nous rappelons toute la solution, comme si le rapport S entre les longueurs d'une travée intermédiaire et d'une travée de rivé ne Qgurait pas parmi les huit nombres
que nous avons plus spécialement étudiés. S'il- en était différemment, nos tableaux numériques d'une part, et d'autre part le Formulaire analytique par lequel se termine cet ouvrage, donneraient immédiatement la plus grande partie des résultats cherchés; la solution serait même complète pour les poutres de sept travées au plus, si l'on voulait se contenter de notre Formulaire graphique (n^ 58), parfaitement suffisant, à notre avis, pour les besoins de la pratique ; pour les poutres de huit à douze travées, il y manquerait fort peu de chose, comme nous l'avons déjà dit.
(a). On commencera par copier sur une feuille, de manière à les avoir soîis les yeux, les séries
Mm, N«, h„,
calculées une fois pour toutes aux n**» 32 et 33, l'indice m pouvant, dans les deux premières, être la moitié d'un nombre
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POUTRES SYMÉTRIQUES, ETC. 34l
impair. Il sera bon d'y joindre les nombres
v/3 = 1,7320508075 68877 29348..., ^ = ^ V^ = o,57735xj269i 89625 76449 • • • $
On se rappellera que l'indice q désigne dans les formules -[n — 2), n étant le nombre des travées, et que h sans indice
désigne A|^a ou A,y, égal au quotient ^•
(b). On déduira des longueurs données des travées le rapport
^ longueur d'une travée intermédiaire
longueur d'une travée extrême
qui lui-même servira à calculer les séries des nombres u^ et p«, suivant les formules des n*»» 31, 32 et 33. Pour la série des Uy le procédé le plus commode semble être de calculer d'abord
puis d'aller de proche en proche au moyen de la relation
qui donne successivement M3» «4, "s, . . . jusqu'à w„, ; d'ailleurs on déduit Un de l'équjition
Un = 2(1 + à)Un^x tt„îd.
Quant à la série des nombj^es p, on a Po= o, et l'on trouve par divisions successives
Itm
(c). On calcule par les formules du n° 35 les moments de flexion X« sur les points d'appui, spécialement produits par la charge permanente. Provisoirement on ne réduit pas en
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nombres le facteur pb^ qui entre dans ces formules. On calcule ensuite (n" 37 à 42) ;
L'expression du rapport —fz pour un point quelconque,
Les maxima de ce rapport.
Les abscisses Xt, x, (presque toujours réelles) des points où le moment X change de signe, en passant par zéro.
(d). On calcule par les formules des n"* kk à 47, et pour chaque travée, les abscisses désignées par j/, af, acfy x^^ dans la théorie générale des n°* 26 et 27, abscisses qui sont celles des points où l'expression algébrique des limites X% X'^ change de forme.
(e). Supposant une surcharge sur la longueur entière de la poutre, mais de deux en deux travées seulement, alternativement sur celles de rang pair et celles de rang impair, on calcule les moments de flexion aux points d'appui, par les formules du n® 49; on y laisse encore figurer algébriquement le facteur p^h^. Il faut avoir soin d'ailleurs de bien choisir la formule convenant au cas que l'on traite, suivant la parité des nombres m et n.
Comme la surcharge sur les travées paires et celle sur les travées impaires sont complémentaires (n** 24], les résultats du calcul qu'on vient d'effectuer servent de contrôle à ceux qu'on a trouvés pour la charge permanente : on a, en effet,
Réciproquement, étant donnés les moments X« dus à la charge permanente (ou plutôt leurs rapports à pb^) et l'un des rapports
"* ,,, — OU '" ,,, — ? on peut en conclure l'autre; mais il est p'à^ p' b^ ^
peut-être préférable de profiter du moyen de vérification qui
se présente ici.
(/). On supposera ensuite une surcharge couvrant les deux
(*) Suivant une notation que nous avons fréquemment employée, les indices supérieurs accolés à la lettre X désignent les numéros d'ordre des travées surchargées.
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POUTRBS SYMÉTRIQUES ) ETC. ^43
travées contiguës à un ^ppui Am, et le surplus de la poutre de deux en deux travées; les formules du n** 50 feront connaître^ sous cette surchargé, les moments de flexion en A«-„ A«, A«H.i. On répétera le même calcul en faisant varier m depuis i
jusqu'à -n ou-(ii — i) inclusivement, de manière à parcourir
la demi -poutre. On conservera encore le facteur algébrique/^' 6*.
Le n*» 60 renferme un assez grand nombre de formules pour cet objet : oti prendra bien garde aux conditions de l'emploi de chacune d'elles.
(g). Les choses étant à ce point, on aura tout ce qu'il faut pour déterminer les limites X' et X'^, suivant la marche indi* quée aux n^ 52 et 53; on en déduira (n*» 55) la limite X''', qui est ordinairement le but final du calcul des moments. Ayant les expressions algébriques de X'", il sera facile de les repré* senter par des courbes, d'avoir les maxima, minima, etc.
Enfin, pour l'application usuelle, on effectuera le produit des divers coefficients par les facteurs />6* ou p' 6% conservés jusqu'à présent sous forme algébrique.
§ VI. — Questions diverses concernant les poutres ssrmetricpies et à travées intermédiaires égales.
61. De la poutre à deux traitées égales. — * Quand la poutre est soumise à la charge permanente, à raison de ;> kilogrammes par mètre courant, si b désigne la longueur de l'une des travées, on aura, pour déterminer le moment de flexion Xi sur l'appui central, l'équation (lo) du n* 6, qui devient ici
4Xi = -p6S soit X, = g/?6%
attendu que les moments X«, Xi sur les deux culées sont nuls. Par suite, le moment X spécialement produit par la charge permanente est, à la distance x d'une culée,
(1) X=rgp6>.f-ip^(6-^) = -|p6xH-ip^^
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a44 CHIPITIB DEUXIÈME.
Celle expression représenie une parabole ayant pour coordonnées du sommel
X, d'abord négatif à partir de or = o, s'annule pour x=jby
et croît ensuite jusqu'à o,iiSpb% maximum positif qu'il atteint pour x = b, c'est-à-dire sur l'appui du milieu.
Pour avoir la limite positive X' des moments dus à la surcharge seule, on sait (n"* 27] qu'il faut d'abord supposer la surcharge de la travée n« a (si c'est de la première qu'on s'occupe) : on obtient ainsi X' entre ar = oetar=une certaine abscisse :r*'. Depuis x = x^" jusqu'à a? = ft, X' répond à la sur^ charge complète des deux travées. Or, si une seule travée porte la surcharge, Téquation (lo) du n® 6 devient
4X,= 2p'6», d'où Tli, = ±p^b'; donc on aura :
De jr = o à :r = x^",
(2) li! = ^p*bx; De :f == :f'' à ^ =: 6,
La somme X'-4- X'' devant (n® 24-) reproduire
^pfbx^^p'x\
X 4- ou K i
il en résulte immédiatement :
De ^ = o à x=z j?»%
l^" = —\p'bx-h-p'x*; Dear=:a:"^ à x = b,, .X"=o.
POtT&ES SYMiÊTKIQÙES, ETC. 3^5
L'abscisse a:'% qui est celle où l'expression (3) doit remplacer (2), pourrait être déterminée en posant
on obtient de cette manière a:*^= ^ b. C'est ce qu'on trouverait aussi par la formule générale
car dans une poutre à deux travées égales on a
de sorte que le nombre ^i ou yi (le seul à considérer ici) a
pour valeur y
Il ne reste plus qu'à trouver la limite X'* des moments de flexion produits par l'action simultanée de la charge permanente et de la surcharge, ces moments étant pris en grandeur
absolue. Or, X est négatif de o à -^ 6, et positif au delà : donc,
suivant les principes généraux (n° 24), il faut prendre :
Dea:=:o à x = -jb,
De X =:-Tb h x = '^by 4 o
\''=^{-6p^p')bx-h^px^;
1)ex = ^b à x = b,
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a46 GHAPlTaB DEtJXIEME.
C'est avec ces trois expressions de la limite X' qu'on a construit la^^. lo {PL A, à la fin du volume)^ faisant partie du Formulaire graphique (n*" 58).
62. Nécessité de tenir compte des écarts qui pourraient exister entre le polygone primitif et le polygone définitif des appuis. — Afln de bien faire comprendre notre pensée et d'éviter toute ambiguïté, nous donnerons d'abord une définition précise de ce que nous entendons par polygone des appuis. Les appuis réels ou matériels sont les sommets des piles ou culées, sur lesquels repose la face inférieure de la poutre : mais à ceux-là nous en substituons fictivement d'autres, qui sont les points de la fibre moyenne situés verticalement audessus des premiers (*). En réunissant chacun de ces points d'appui fictifs au suivant et au précédent, par des lignes droites, on forme le polygone des appuis. Nous rappelons d'ailleurs que nous entendons par forme naturelle ou primitive d'une pièce, la forme qu'elle aurait si on la construisait en juxtaposant et liant entre eux ses divers éléments, mais sous la condition expresse de ne soumettre la matière à aucune pression ni tension intérieure, comme cela aurait lieu, par exemple, dans une pièce d'un seul morceau, placée sur un cintre ou chantier qui la soustrairait, pour ainsi dire, à l'action de la pesanteur. La forme définitive, au contraire, est une autre forme d'équilibre, qu'elle conserve quand elle est mise en place et abandonnée à l'action des charges, qui produisent simultanément de légères altérations de la figure primitive, et des tensions moléculaires plus ou moins notables. Les points d'appui fictifs pouvant être marqués sur la fibre moyenne construite avec l'une ou l'autre de ces formes, il en résulte qu'on peut aussi considérer deux polygones des appuis, se rapportant, Tun à l'état primitif, Tautre à l'état définitif de la poutre.
Cela posé, on a vu que dans toute la théorie des poutres à plusieurs travées solidaires, depuis le §11 du chapitre premier.
( *) Nous raisonnons toujours comme si les supports n'avalent aucune épaisseur paraUèlement à Taxe longitudinal de la poutre.
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nous avons constamment admis la nullité des ordonnées de la fibre moyenne définitive, par rapport à la fibre moyenne primitive, pour les points situés au-dessus des appuis. Cet énoncé, que nous avons adopté provisoirement parce qu'il était le plus bref, laisse encore subsister un peu de vague; la forme seule de la fibre moyenne primitive est, en effet, bien déterminée par sa définition, mais sa situation ne Test pas d'une manière absolue. On aura, une condition parfaitement claire et précise, en disant que le polygone primitif et le polygone définitif des appuis doivent être superposables ; ou, ce qui revient au même, que le polygone primitif des appuis doit rester invariable de forme pendant la déformation impri-mée à la poutre par Inaction des charges. Il sera permis alors, dans la formule (6) du n** 2, de supprimer les termes en ji, jj, yi, aussi bien que si ces ordonnées étaient nulles : car la quantité entre crochets dans le premier membre peut s'écrire
on voit donc qu'elle exprime la somme des rotations prises en dessous de l'horizontale, et autour du centre A (fig. 2, p. 6), par deux côtés consécutifs AB, AB' du polygone primitif des appuis, somme nécessairement nulle quand l'angle BAB' ne varie pas. Par conséquent, on arriverait de cette manière, avec l'hypothèse des charges uniformes, à la formule (10) du n** 6, dont nous avons fai^ un usage si fréquent et si étendu.
Ainsi donc, si après avoir construit la poutre sur chantier, avec des tensions intérieures nulles, on pouvait la mettre en place SANS LA. DÉFORMER LE MOINS SU MONDE, il faudrait qu'alors elle touchât naturellement tous ses appuis, ceux-ci étant supposés posséder une fixité absolue ou étant pris dans la situation finale où ils se trouveront après tous leurs tassements. Cette hypothèse restrictive est essentielle pour la rigueur de nos déductions. Mais s'il en était différemment, si, par exemple, une poutre parfaitement rectiligne sur le chantier de construction, et possédant une section de hauteur constante, était placée sur des supports qui ne seraient pas en ligne droite après leurs tassements, les conditions du calcul seraient tota-
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a48 CHAPITRE DEUXIÈME.
lement changées : dans certains cas particuliers, il pourrait y avoir bénéfice pour la stabilité, et perte dans d'autres/ Une variation de niveau, en apparence insignifiante, qu'éprouvera un appui, peut avoir sur l'intensité des moments de flexion une influence considérable : c'est ce que nous allons montrer par un exemple.
Soit donnée une poutre en tôle, à trois travées égales, rigoureusement droite dans Tétat naturel, qui doit supporter la charge uniforme de p kilogrammes par mètre courant; ses quatre appuis étant A«, Ai, As, A„ nous supposerons que le second et le troisième se trouvent à des dislances /„ /, de la ligne droite A.A» qui joint les deux extrêmes. Nous nommerons enfin :
b l'ouverture commune des travées;
El = e le moment de flexibilité de la section transversale, supposée constante sur toute la longueur de la poutre;
I le moment d'inertie de cette section, h sa hauteur mesurée perpendiculairement à l'axe de flexion;
Xi, Xsles moments fléchissants aux points Ai, As.
L'équation {9) du n*» 6, appliquée successivement aux deux couples de travées A^A,, A» A, d'une part. A» As, As A, d'autre part, donne
de là résultent les valeurs
Imaginons maintenant que les accidents de construction ou les fautes commises dans le nivellement aient eu pour conséquence de faire
f P^' f Pf>\
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POUTRES SYMÉÏRIQVES) ETC. ^49
les deux dernières équations font voir alors que X, s'annule, que Xi prend une valeur double de celle qu'il aurait pour y;=/2=o, et que par conséquent la loi des moments de flexion éprouve un bouleversement complet : notamment, la
limite supérieure de ces moments devient -^pb^ au lieu de
—pbK
Ces grandeurs que nous attribuons à /I et/» ont-elles quelque chose d'inusité et pratiquement peu réalisable? Non, en aucune façon, car elles sont comparables aux flèches que les travées prennent sous la charge, et ne doivent pas dépasser quelques centimètres, même avec d'assez grandes portées. Afin de le montrer en continuant notre exemple, supposons que le constructeur, comptant sur la nullité de/i et de fi, ait pris — pb*
pour valeur du moment fléchissant maximum; la section transversale ayant une forme quelconque symétrique relativement à l'axe de flexion, aura dû être déterminée de manière qu'on ait
relation dans laquelle R désigne le plus grand effort par unité de surface auquel on veut soumettre les fibres. L'usage étant
de prendre h entre — et— ^ pour les poutres en tôle dont la
section a la forme du double T, nous ferons A = o,o8b; nous ferons R = 3oooooo, ou seulement 3 kilogrammes par millimètre carré, afin de réserver la part des charges accidentelles dont on aurait à tenir compte. dans un calcul plus complet* La dernièrfe équation devient alors
pb^ 3 .
ou, si l'on multiplie les deux membres parg-g et qu'on suppose E= 2. io'%
pb* ^ pb* b 60 El 60 6 1 600
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a5o CHAPITEE DEUXIÈME.
La valeur ci-dessus attribuée à / et à — /, serait -^— de la
portée, c'est-à-dire o^, o^S avec une portée de 4o mètres.
Le sens général du résultat auquel nous arrivons ici est de nature à fixer, sous plusieurs points de vue, l'attention des ingénieurs. D'abord il importe essentiellement pour la vérité des calculs de résistance, soit qu'on les exécute par nos méthodes, soit qu'on préfère les méthodes actuellement en usage, que le polygone des appuis fictifs soit inscrit aussi exactement que possible dans la fibre moyenne primitive, quand on les place l'un et l'autre de manière à faire coïncider leurs extrémités homologues. Le constructeur ne saurait donc prendre des précautions trop minutieuses pour que cette condition se trouve remplie, non pas précisément à l'instant de la pose, mais après la production complète de tous les tassements, quand le système est parvenu à son équilibre définitif.
Mais ce n'est pas tout. Puisqu'il faut tant de précautions et de soins pour réaliser tout ce que suppose le calcul préalable de3 dimensions de la poutre, on peut se demander si pratiquement il arrivera que ces précautions seront toujours bien prises ; si les tassements des supports, pouvant se produire à la longue, et échapper à une surveillance imparfaite, ne viendront pas en détruire l'effet dans beaucoup de cas. Celte éventualité a semblé suffisante à un ingénieur aussi distingué comme constructeur que comme savant, pour lui faire émettre l'opinion que les poutres à travées solidaires devraient être proscrites, et qu'il conviendrait de s'en tenir aux poutres à deux appuis simples, dans lesquelles aucun doute ne peut exister sur l'intensité des moments de flexion en chaque point, malgré les dérangements probables des appuis. Toutefois l'opinion contraire a jusqu'à présent prévalu : et, en attendant les leçons que l'expérience nous fournira sans doute, il ne nous appartient pas de trancher le différend.
63 . Disposition propre à rendre minimum le moment fléchis^ sant moyen, sous une charge uniforme. — Une poutre droite chargée uniformément à raison de p kilogrammes par mètre linéaire repose sur /i-f-i points d'appui : on demande de dis-
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POUTRES SYMÉTRIQUES, ETC. sS 1
poser ces points, tant sous le rapport de Técartement que sous celui du nivellement, de manière que le moment fléchissant moyen sur la longueur entière de la poutre soit un minimum, cette longueur entière devant d'ailleurs rester invariable.
Pour calculer le moment fléchissant moyen dont il est question dans l'énoncé, imaginons une courbe dont les abscisses seraient comptées suivant la fibre moyenne; et dont les ordonnées seraient, en chaque point de cette fibre, le moment fléchissant qui s'y produit; Taire totale comprise entre cette courbe et Taxe des abscisses, tant au-dessous qu'au-dessus, en la prenant partout positivement, sera, en vertu de sa définition même, le produit du moment fléchissant moyen par la longueur entière entre les appuis extrêmes. Rendre minimum le moment moyen, c'est donc aussi rendre minima l'aire dont on vient de parler. La solution exige que nous passions par quelques propositions intermédiaires.
I. Soit A (Jig. Si] une extrémité de la poutre, et AB une travée de rive, de longueur b; construisons la parabole AMB, dont l'équation serait, relativement aux axes A a?, Aj,
Fig. 5i.
iW
Jt
lA
élevons en B une ordonnée BC égale au moment de flexion en ce point, et joignons AC. Suivant la formule (4) du n* 1, le moment de flexion en un point quelconque de la travée sera la portion d'ordonnée comprise entre la parabole et la droite BC, et le moment moyen, calculé pour celte travée toute seule, serait proportionnel à la somme des aires
AEDF + DBC.
. Cherchons la condition qui rend cette somme un minimum, lorsque BC varie seul et que la longueur AB reste constante.
Si nous faisons varier BC d'une quantité infiniment pe-
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aSa CHAPITRE DfeUXlkXE.
tite €C\ la somme des aires variera de la quantité correspondante ADD' — DCC'D' : donc il faut avoir pour le minimum
ADD'=DCC'D', ou bien
ADD'=iACC'.
Or on a, en nommant dO l'angle infiniment petit CA.C', ADD' = iÂD'.rf9, ACC'=-Âc\rfej
donc
et par suite
