BC = PD.=7 AP

et commcj en vertu de l'équatidn de la parabole, PD est égal à ^/ï.AP(6^AP)»il vient

(il) BC=:-/>&(* — ÂP).

Éliminant ÂP entre les équations (lo) et (ti)/ et posant

^ = -j^> nous trouvons

de là résulte

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POUTRESk SYMÉTRIQUES, ETC. ayi

et enfin

z = l^:l^ = ^{^ — iy = o,o85']86..,.

Ainsi donc le moment de flexion sur le premier appui après la culée devrait être 0,085786. ../?6* pour remplir les conditions du problème dans une travée de rive considérée isolément.

Dans une travée intermédiaire, la même question se traite plus simplement encore. Soit en effet A' B' {Jig, 52, p. 254) cette travée; traçons la parabole A'M'B' et la ligne droite CD suivant les mêmes définitions qu'au n** 63. Nous verrons apparaître alors trois maxima des moments de flexion dans l'étendue A'B', savoir àTC, WB^ et l'ordonnée M'E menée par le milieu de la corde FG. On les rendra égaux en prenant

FG = FD=^Pc»,

car alors M'E coïncide avec Taxe de la parabole, et a pour. valeur M'Q — QE ou M' Q — A' C , ou encore ^pc^ ^ /?cS

c'est-à-dire enfin -^ pc^. C'est la moindre valeur qu'on puisse

obtenir pour le plus grand des trois maximums; car l'un des trois, au moins, s'accroît lorsque l'on donne à CD, soit une translation, soit une rotation autour du point E. La condition du problème sera donc remplie dans toute travée intermédiaire en s'arrangeant pour avoir, sur les piles qui la terminent, un

moment fléchissant égal à -^ pc*»

Tous ces minima maximorum partiels, relatifs aux diverses travées, deviennent égaux entre eux quand oii prend une même ouverture c^pour toutes les travées intermédiaires, et que l'ouverture b des travées de rive satisfait à la relation*

qui donne

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«272 CHAPfTRB DEUXIÈME.

Il sera possible alors de réaliser le minimum r^pc^ dans toutes

les travées, en adoptant cette même valeur -^ pc^ pour celle

des moments sur les n — i points d'appui intermédiaires. Or, on aura ainsi résolu le problème qu'on s'était posé; car, d'après ce qu'on vient de voir, on aurait un résultat moins favorable en modifiant seulement les moments de flexion sur les appuis, sans changer les ouvertures; d'autre part, si l'on changeait celles-ci en laissant leur somme invariable, l'une d'elles au moins augmenterait de longueur, et il y aurait aussi augmentation du plus petit maximum réalisable dans son étendue, puisque ce plus petit maximum varie proportionnellement ai|

carré de la longueur; la limite inférieure -^/>c*, précédemment obtenue, serait donc dépassée.

La connaissance du rapport d détermine immédiatement b et c; on a en effet, n étant le nombre des travées,

2L=: 2 6-f-(n — 2)60, et par suite

. 2L nLS

L'espacement des appuis est donc maintenant connu ; mais il reste à indiquer leur nivellement, et c'est à quoi l'on arrivera en exprimant que les moments sur ces appuis ont tous

la valeur -^pc^ ou -^ pb^à*.

A cet effet, il faudra suivre la marche indiquée au n"* Q^, et dont un exemple développé se trouve au n® 63, art. IV. Sans entrer dans autant de détails, nous nous bornerons à dire que les constantes /et 2B prennent ici les valeurs

^ pb'è*

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POUTRES SYMÉTRIQUES, EïC. ^^3

et que, par conséquent, l'ordonnée j* d'un appui intermédiaire quelconque relativement à la fibre moyenne prise dans Tétat primitif, est donnée par la formule

^> = — ~/[/r(/i — A") — o,o4io5 — o> 146447/1].

Les ordonnées extrêmes j«,jn9 nulles toutes deux, ne rentrent pas dans cette formule. En poursuivant la discussion, il serait facile de reconnaître que toutes les ordonnées j* sont positives, et que, dans le cas d'une fîbre moyenne primitivement droite, leur lieu géométrique est une parabole à axe vertical, tournant sa concavité vers le haut. Son sommet se trouverait sur la verticale du milieu de la poutre, à la distance

. y*(o,25/i*--o,o4io5 — 0,146447 n)

au-dessous de la ligne joignant les points d'appui extrêmes.

On peut, comme au n? 63, calculer l'aire de la courbe des moments et en déduire le moment fléchissant moyen pour la poutre entière. Ce calcul nous a donné les résultais suivants :

Montent moyen,

Dahs une travée extrême 0,089573 pc^,

Dans une travée intermédiaire. 0,038092/10*;

les coefficients 0,089573 et 0,088092 représentent respec-

"7^ ""78* ^^ ^*^^ facilement de là l'expression de la

moyenne générale M' pour la poutre entière, en multipliant chaque moyenne partielle par la longueur de sa travée, et divisant la somme des produits par la longueur totale; on trouve ainsi

o,i5aibg/>L („o^2g289)> lUv 18

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274 CHAPITRE DEUXIÈME. POVTKlS SYMÉTRIQUES, ETC.

Cette moyenne est notablement supérieure au minimum M obtenu précédemment (n» 63) avec d'autres valeurs de à et des ordonnées /a; l'excès, variable et croissant avec n, est de i5 à 20 pour 100 pour les poutres de 3 à la travées. C'est là un sérieux inconvénient fie la disposition que nous venons d'étudier^ et un obstacle à son emploi pratique, sauf dans le cas où la poutre devrait recevoir une section constante ; car alors le moment maximum serait le seul dont on aurait à tenir compte dans le calcul de cette section, et il y aurait intérêt à le diminuer autant que possible, sans se préoccuper de ce que deviennent les autres ainsi que leur moyenne générale.

Enfin nous énoncerons la remarque suivante, qui est un corollaire immédiat des résultats trouvés aux n^ 63 et 65 :

Dans une poutre à section constante, dont la longueur totale 7. L est subdivisée en n travées solidaires, si la charge est uniformément répartie sur cette longueur 2L à raison du poids p par unité linéaire, il est absolument impossible, quelque disposition qu'on imagine pour Vécartement et le nivellement des appuis, 1® défaire descendre le moment fléchissant moyen

au-dessous de la limite p, ^ 7-7, ; a* de faire descendre le

moment fléchissant maximum au-dessous d'une autre limite

ésale à •

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