le tableau suivant

= 0,01849, pour 7t = 3. On peut donc dresser

BAPPOBT

o,oi883 0,01888 0,02634 0,03207

Les moments M' et M s'approchent beaucoup de régalité, lorsque d â la même valeur (i,25) dans les deux poutres auxquelles se rapportent ces moments : le second n'est alors infé- ■ rieur au premier que de 1,8 pour 100. Cela montre que dans les poutres à trois travées où l'on a fait S = i,25, il y a peu de bénéfice possible à ne pas prendre le polygone des appuis inscriptible dans la fibre moyenne primitive.

La longueur des calculs nous a empêché de répéter la même comparaison pour les poutres ayant plus de trois travées.

64-. Des moyens par lesquels on peut rendre égaux les mo^ menis de flexion sur tous les points d'appui d'une poutre soumise à une charge uniforme» — On a vu (n** 36) que cette égalité se produit tout naturellement, avec des appuis situés au même niveau relativement à la fibre moyenne dans l'état primitif, quand le rapport ô prend la valeur particulière

On a vu aussi (n* 63) qu'on pouvait rendre tous les moments

X* égaux à :^ pb^S^ en donnant aux points d'appui des ordonnées convenablement choisies; il faudrait répéter des calculs analogues dans le cas où la valeur commune des X* serait une

FOUTBBS STHÊTlilQUBS, ETC. 267

quantité X' différente de-^pb^8\ Il n*y aurait qu'à modifier la constante j^ qui, au lieu de -^ pl>*$*, deviendrait

et à déterminer B par le procédé que nous avons employé, mais en tenant compte du changement de/.

Parmi toutes les valeurs de X' qu'on peut choisir, nous

distinguerons la valeur — p6»ô% premièrement parce qu'elle

est celle qui répond à Tencastrement spontané de la poutre sur les appuis intermédiaires, par le seul effet de la liaison des travées; en second lieu parce qu'elle donne /=o, ce qui simplifie beaucoup la recherche des ordonnées ji, ^„ ja,. . . des points d'appui. En effet, les n — 3 équations intermédiaires du groupe (7) auront pour second membre o, et pourront se remplacer par l'équation unique

d'où résulte

j*=const.,

car si, pour adopter la forme la plus générale satisfaisant à A*/i =±= o, on joignait à la constante un terme du premier degré en kf il deviendrait impossible de vérifier la condition

La valeur commune des j* se déduira ensuite de l'une des équations extrêmes du groupe (7), de la première, par exemple,

qui en faisant Xi = ja* X, = Xa = — pb^S^, donne

ob*

On peut, dans cette équation, attribuer une valeur quelconque à 3 : si l'on fait d == 1/-9 on a ji = o, ce qui con-

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2l68 CHAPITRE DEUXIÈME.

corde bien avec le résultat trouvé au n? 36 et rappelé ci-dessus; si Ton fait d = i, on a

pb*

En plaçant la ligne des appuis intermédiaires ou piles en dessous de celle des appuis extrêmes^ à la distance qu'indique cette dernière équation» la poutre à travées égales se trouverait spontanément encastrée sur les piles^ quand elle n'aurait, bien entendu, qu'à supporter une charge uniforme couvrant sa longueur entière. D'une manière générale, on parviendrait au même résultat quand à différerait de l'unité, en adoptant pour yx la valeur précédente multipliée par 3 — 2 3'.

M. Piarron de Mondésir a indiqué un autre moyen pour

obtenir un moment de flexion toujours égal à — /?6% sur tous

les points d'appui d'une poutre à travées égales {*) : il consiste d'abord à prendre le polygone des appuis (n° 62) inscriptible dans la fibre moyenne primitive, c'est-à-dire à rendre nulles toutes les ordonnées/*, puis à encastrer les deux bouts de la poutre. Afin de démontrer ce résultat, posons les équations qui déterminent les moments de flexion X», Xi, X,,. . ., X,»-i, Xm sur les points d'appui : nous aurons, en appliquant la formule (lo) du n** 6 à tous les groupes de deux travées consécutives, et tenant compte des données particulières de la question :

X«-f.4X.-hX, = ^p6% X.-h4X,-hX3 = ^/?6% X,-h4X34-X4 = ^pé%

L'équation (m) du n*> 2, appliquée aux deux travées extrêmes,

(*) Calcul des ponts métalliques à poutres droites et continues, p. 56 et 67.

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donne encore les deux relations

2X«-hX,^, = Ti>ft%

qu'on aurait pu, au besoin, déduire aussi de la formule (lo) du n" 6, en supposant la poutre prolongée au delà de ses deux extrémités par des travées de longueur nulle. (Cette condition équivaut bien à Tencastrement des bouts, puisque chacun d'eux repose sur deux points d'appui confondus en un seul, ce qui assure l'invariabilité de direction des éléments extrêmes de la fibre moyenne.) Or, les équations précédentes sont ennombre suffisant pour déterminer tous les X*, et l'on reconnaît aisément qu'elles sont vérifiées en prenant tous ces moments égaux à — pb\ Donc la disposition indiquée par M. Piar-

ron de Mondésir a effectivement pour conséquence de produire sur les appuis fixes qui limitent chaque travée un

moment de flexion égal à — pb^, et par conséquent toutes les

travées se comportent, sous la charge permanente, comme si elles étaient encastrées.

65. Disposition propre à rendre minimum le plus grand moment de flexion produit par une charge uniforme^ — Quand un poids uniformément réparti est placé sur la longueur entière de la poutre^ le moment de flexion dans une travée quelconque s'exprime par une fonction entière et du second degré de l'abscisse, dojit les valeurs extrêmes répondent : i^ aux deux limites de la travée; 2^ au sommet de la parabole représentative de la fonction, lequel sommet tombe ordinairement dans ces limites. Toutes les valeurs extrêmes dont il s'agit étant prises en valeur absolue, on demande de disposer les points d'appui, tant sous le rapport de l'écartement que sous celui du nivellement, de manière à rendre minimum la plus grande d'entre elles, sous la condition de h'em* ployer qu'un nombre donné d'appuis et de conserver invariable la longueur totale de la poutre.

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^yO CH APITEB raVXIÈMB*

Considérons d'abord successivement ( comme au n* 63) une travée de rive et une travée intermédiaire quelconque» et résolvons la question pour Tune d'elles prise à part. S'il s'agit d'une travée de rive AB {Jig, Si, p. a5i ), après avoir construit la parabole AMB, l'ordonnée BC et la droite AC^ dont les définitions seraient les mêmes qu'au n"* 63» on voit qu'il y a deux maxima des moments fléchissants de toute la travée» savoir fiC et £F» le point £ devant être pris au milieu de AD. Pour que le plus grand des deux soit minimum» il faut qu'ils soient égaux» car autrement on aurait un résultat plus favorable en faisant tour* ner la ligne AC autour de A» de manière à augmenter la plus faible des longueurs BC, ËF» et à diminuer la plus forte. Cela détermine BC. On a» en effet (n** 63)»

et» par conséquent» l'égalité BC = ÊF devient

(lo) BC = g./?.AP';

d'un autre côté, on a