COS
supposant qu'on néglige la cohésion des terres et leur adhérence au mur. On demande en outre la valeur correspondante
de -■ -.? qui dans ce cas devient la réaction totale du mur. COS9' ^ ■
Le plan AX, déterminé par la condition que la réaction du
mur nécessaire pour Téquilibre soit un maximum, s'appelle
ordinairement /?/anv/e rupture; comme l'a remarqué Coulomb,
5oa CHAPITRE NEUVIÈME.
si la réaction du mur venait à être inférieure à l'intensité nécessaire, et que la rupture de massif dût s'effectuer suivant un plan, ce serait en effet suivant celui-là qu'elle aurait lieu.
Il n'est pas certain que dans la réalité la force --^» ainsi
"^ ^ COS(p'
obtenue, soit la valeur exacte de la réaction mutuelle du mur et des terres, même en admettant comme une donnée la nullité du coefBcient d . Rien ne prouve en effet, quand l'équilibre existe, que le prisme BAX soit sur le point de glisser en descendant; il pourrait être en équilibre stable, ou encore il pourrait être sur le point de glisser en sens contraire, ce qui exigerait de la part du mur une réaction plus grande. La force maximum que nous voulons déterminer sera seulement une limite inférieure de la poussée des terres contre le mur, dans l'état d'équilibre. Cependant il ne faut pas croire que cela doive probablement entraîner des conséquences dangereuses : si le mur est construit pour résister seulement à cette limite inférieure et qu'il y ait originairement une poussée plus forte, on peut admettre avec assez de vraisemblance qu'un petit mouvement du mur se produira, par suite duquel naîtra dans le massif de terre la tendance à glisser en descendant, et alors le système s'arrêtera dans l'état particulier d'équilibre que suppose notre calcul. Il n'y aura donc probablement pas de risque à courir lorsque le mur ne sera capable
que d'une réaction égale seulement au maximum de ;•
^ ^ ^ cos<p'
Nous allons, en conséquence, procéder au calcul de cette force.
D'après l'hypothèse, il faut, dans la formule (8), faire c = o, c'=o; désignons par R la réaction totale du mur: la formule (8) se réduit à
(9) Q^R = p. sin(«-<p) .
cos<p' sin (P + ç-i-ç')
On obtiendrait facilement et directement cette équation de la manière suivante. Représentons dans la fig. 76 la force R faisant l'angle <p' avec la perpendiculaire à AB. Soit de même S
POUSSÉE' DBS TERRBSy ETC. So3
la réaction du plan AX, résultante de N et de /N, et faisant l'angle 9 avec la perpendiculaire à AX. Les trois forces P, S, R transportées en un même point ont leur résultante nulle. Donc on a
sin(P,S) sin(R,S)*
Or l'angle ( P, S) est, d'après la figure, supplément de a— 9; et l'angle (R,S) augmenté de <p -+- 9' devient supplément de (3 ; ainsi
(R, S) =r 1800— p — 9 — 9' et sin (R, S) = sin ((3 + 9;-+- 9' );
d'où l'on conclut la formule (9).
Il faut maintenant y mettre une expression du poids P du prisme dont la base est ABGDEX.
A cet effet, on déterminera sur le prolongement de EF {fig. 76) un point K tel, que Taire du triangle AKX soit égale
à celle du polygone ABCDEXA. Ce point K est indépendant de la position du point X, pourvu que ce dernier tombe entre E et F, puisqu'il suffît que le triangle AKE soit équivalent au polygone ABCDEA. On mènera de plus la ligne AT, perpendiculaire abaissée de A sur KX. En désignant par n le poids du mètre cube de terre, on a pour le poids du prisme AKX ayant 1 mètre de longueur
P=in.ÂT.KX,
5o4 • CHAPITRE NBUVlftME.
et la formule (g) devient
1 sin((3-{-(i)-ir9 )
Cela posé, voici comment M. le général Poncelel (*) détermine le point X qui donne à la pression R sa plus grande valeur. Le rapport de sin(a— 9) à sin(p-i-9-H<p') se remplace par celui de deux droites de la figure : pour cela on mène AO faisant avec AB Tangle 9 -i- 9', et, par conséquent, avec AX l'angle |3 -i- 9 -+- 9' ; on mène AM faisant avec Thorizontale AL l'angle 9, et conséquemment avec AX Tangle a — 9; puis on mène XX' parallèle à AM, de sorte que, dans le triangle AXX', l'angle A =r (3 -f- 9 -h 9' et Tangle X = a — 9. On en <;onclut
sin (a~9) AX'
sin((3-i-9-f-*^""'XX"''
et, par conséquent,
R=:-nAT.KX.4^.
