I. i' ÉDIT

4g8 chàpitk NB0TitaiB.

L'équilibre de ce prisme exige, comme dans le cas précédenti qu'on ait

(3) P(i-./tangP) = 7r(i4-tang'P).

Pour exprimer simplement le poids P, menons par M une droite tellement inclinée, que l'aire du triangle MEC soit égale à celle de ABMG, ou que l'aire DME soit égale à DMBA. Nommant a Tangle EMD, nous aurons

P = î^(tang?-tanga), et, en substituant dans (3],

Tanga doit encore ici égaler le maximum du second membre; d'où l'on conclut, en faisant, pour abréger, — ^ = ûr,

(4) tanga = i4-^,[i -/(!-+-/') (i-h^)].

Maintenant, pour trouver l'équation de la courbe BM, soit AD = a; et DE = z, on a tanga = - et

posons encore a= by en désignant par b la constante — ? l'équation (4) deviendra

(6) ^-jH-^Ji-v/li+Z^Ki+yZ'r)].

Des équations (5) et (6), par l'élimination de z, on conclut l'équation différentielle de la courbe BM,

Cette équation s'intègre facilement en remarquant que le dernier terme, égal à 5— — — djr ( sauf un facteur constant) peut, en faisant i -hfix = u\

P0I]3S£B DBS TERRESy BTG. 499

être remplacé par

^u^du , du du

-7, ) OU 2<f«H ; ,

quantité dont l'intégrale est

aa + loghyp

Par suite, Fintégration est immédiate, et Ton peut écrire l'équation cherchée

'«^^j+jTgloghyp^- ^^,^- \/\-\-fbr

La plus petite valeur qu'on puisse assigner à x est h', qui répond à tanga = o, et dont l'expression est

Pour X = ^\ on trouve d'abord

on en conclut, au moyen de l'équation (7),

ou, en réduisant au môme dénominateur les tenues du second membre et simplifiant,

dx ^ I

La tangente de l'angle fait en B avec l'horizon, par la courbe BE, est donc

résultat remarquable en ce qu'il ne dépend pins de h\ ni par conséquent du coefficient de la cohésion.

5oO CHAPITRE NEUVIEME.

183. Détermination de la poussée totale d'un massif de terre dans un cas particulier. — Un massif de terre s'appuyant sur la

face postérieure AB d'un ™wr [fig, 74), et ayant sur une longueur indéfinie le profil quelconque mais consunt BCDEFG, on imagine le plan AX, et Ton demande quelle serait, par unité de longueur, la résultante des fprces qu'exercerait sur le massif la paroi AB du mur, à rinstant où le prisme serait sur le point de glisser en descendant le long du plan AX qui resterait fixe, et le long du plan AB qui reculerait sans descendre.

La réaction de la partie du massif inférieure au plan AX, sur le prisme, résulte d'une multitude de forces élémentaires qui peuvent se réduire à trois équivalentes, savoir : une pression normale N, une force tangentielle analogue au simple frottement, proportionnelle à N et représentée par /N, enfin une force également parallèle au plan, appelée cohésion, proportionnelle à la surface AX, et que nous représenterons en conséquence par cÇ, en faisant AX= Ç, et désignant par c la cohésion rapportée à l'unité de surface.

La réaction totale du mur sur le prisme peut également se réduire à trois forces: une pression normale Q, un'frottemenl /'Q et une cohésion ou adhérence c'A. Nous désignons par/' le coefficient de frottement du mur contre les terres, par & l'adhérence rapportée à l'unité de surface le long du mur dont la hauteur AB est représentée par A.

Enfin le prisme est sollicité par la pesanteur. Représentons son poids par P.

Les forces que nous venons d'indiquer satisfont aux conditions d'équilibre, dont Tune est que leur résultante de translation soit nulle. Transportons ces forces en un point quelconque, par exemple en un point de la droite AX, et écrivons que les sommes de leurs projections parallèlement et perpendiculai-

POUSSÉE DES TERRES, ETC. 5oi

remént à AX sont nulles; nous aurons, en faisant Tanglè à Thorizon XAL = a et BAX = (3,

/N — P sina -+- Q sin p -f-/' Q cos (3 -f- c'h cos(3 -+- c^=r o, N — Pcosa — Qcos(34-/'Qsin[3-{-c'Asin(3 = o;

d'où, en éliminant N,

O — P (sin«— /cosa)— c' h (cos^ — /sinj3 ) — cÇ ^ — sin(3 +/cos(3 +/' (cos(3 — /siiTp)

sîn o Cette formule se simplifie en remplaçant/ par et/' par

sincp' , , ,. , ,, , , «

— — -,9 c est-a-dire en représentant par ç et 9' les angles de frottement des terres sur elles-mêmes et contre le mur. On obtient successivement

^ Psin (g — 9) — c'h cos((3-|-y) — c^ CQsy

^~ sin([3+9)-f-/'cos([3 + 9) '

^8\ Q __Psin(g — 9) — C'A cos((3-+-9) — cgcosy ^ ^ cosy'"" sin((3 + 9-i-9') '

La force ? résultante de Q et de fQ étant ainsi connue,

COS9' yc J w.

en la composant avec c'/i, on aurait l'intensité de la résultante totale demandée.

184. Détermination du plan de rupture et de la poussée to^ taie en négligeant la cohésion. — Le plan AX indiqué dans renoncé précédent est considéré comme variable; il s'agit de déterminer la position de ce plan à laquelle correspond le

maximum de la force ;> eu égard aux frottements, et en