GÉNÉRAUTÉS; PRINCIPES FONDAMENTAUX, ETC. S
Supposons donc un corps P sensiblement prismatique aux environs de la section normale AB {Jig. 20 ), à laquelle il se termine et sur laquelle il est porté. Les forces exercées sur ce Fig. 30. corps donnent une résultante N satisfaisant
aux conditions ci-dessus énoncées. On demande la pression en un point quelconque de la surface AB.
^ Il y a dans ce problème deux cas à dis-
[^ tinguer. Le prisme étant fictivement pro*
Al B
A''< !B' longé en A'B' dans l'intérieur de son
support, de manière que AB devienne ainsi une section normale intermédiaire, il peut arriver, premièrement , que la théorie exposée au § IV conduise à reconnaître l'existence de pressions dans toutes les fibres élémentaires qui traversent AB ; c'est ce qui aura lieu si la force N agit à l'intérieur du noyau central (n'' 25), car, d'une part, toutes les fibres supporteront des actions de même nature, et, d'autre part, ces actions seront bien des pressions, puisque, d'après le sens admis pourN, la fibre moyenne doit être comprimée. Or, il est naturel de supposer que les choses se passeront encore de même, si la prolongation fictive du prisme est remplacée par un appui ne faisant pas corps avec lui, car ce défaut d^adhérence n'empêche pas lies actions répulsives nécessaires à l'équilibre de s'exercer tout aussi bien que s'il s'agissait d'un corps continu. Ainsi donc, le cas où la force agirait à l'intérieur du noyau central de la base n'a pas besoin d'une étude particulière; il se trouve compris dans la théorie du § IV^ qui permettra d'en calculer toutes les circonstances.
Mais il en sera différemment quand la force N, tout en satisfaisant aux conditions générales de l'équilibre, rencontrera la base en dehors du noyau central. Si l'on voulait procéder encore comme nous venons de le faire et appliquer la même théorie, on trouverait dans la base un axe neutre qui la couperait; pour les points situés du même côté que la force et le centre d'élasticité, par rapport à cet axe neutre, on trouverait une pression, comme pour la fibre moyenne (n'*23), et, de l'autre côté de cet axe, on serait conduit à reconnaître une tension. Or cela ne peut pas être admis, car l'appui qui sup-
58 CHAPITRE PltEMIEE.
porte le prisme est bien capable d'exercer snr lui des actions répulsives, mais il ne saurait, par hypothèse, donner lieu à des forces attractives, puisque Fadhérence est nulle. Les points qui ne sont pas pressés n'ont pas de tension à supporter, La base AB doit donc alors se diviser en deux parties, l'une résistant à des pressions, l'autre ne résistant à aucun effort.
27. Solution générale du deuxième cas. ■— On voit, par les considérations précédentes, qu'une nouvelle théorie est nécessaire pour résoudre le problème posé au n° 26, dans le second cas, celui où la résultante des charges agit en dehors du nojau central. Nous aurons recours à une hypothèse assez naturelle, consistant à admettre que la partie pressée se comporte comme un prisme isolé, et que le surplus est juxtaposé sans exercer aucune influence. Il en résulte immédiatement que, dans la partie pressée, la pression par unité de surface suivra les mêmes lois que celles auxquelles est soumise la pression ou la tension en un point quelconque de la section transversale d'un prisme droit. La seule difficulté consiste à trouver la ligne de séparation des deux parties ; une fois cette ligne connue, on peut faire abstraction de la partie non pressée et déterminer, dans l'autre, la pression en chaque point, comme nous l'avons fait au n° 26, pour le premier cas.
Nous voyons d'abord que la ligne de séparation dont il s'agit est une ligne droite. En effet, c'est le lieu des points pris dans la partie résistante de la base pour lesquels il n'y a ni pression ni tension ; or dans cette partie la théorie du § IV est applicable, ainsi que nous venons de le voir. La ligne des points où la pression s'apnule est donc une ligne droite (n*» 23), et cette ligne n'est autre chose que l'axe neutre de la partie résistante. Nous savons, de plus, que le centre des tensions, c'est-à-dire le point d'application de la force N, doit être le centre de percussion de la partie résistante de la base.
En conséquence, le problème de la détermination de la ligne séparative des deux parties, lorsque le point d'application de N est' donné, peut être posé en ces termes :
Étant donnés une surface plane (la base du prisme) et un point de celte surface ( celui où agit N ), tracer une ligne droite
Fig. ai.
st
^ÂT
Généralités; principes fondamentaux , etc. 5g
qui coupe cette surface en deux portions telles, que celle des deux qui contient le point donné ait ce point pour centre de percussion relatif à la ligne demandée.
La solution générale de ce problème sera obtenue par des tâtonnements. Voici l'idée de la manière dont on pourrait les
diriger : soient ATBT' [fig. 21) la surface donnée, H le point d'application de la force N, TT' la ligne inconnue. Prenant une direction arbitraire SS', on tracera une série de lignes parallèles entre les positions extrêmes SS', S" S'" tangentes au périmètre de Taire donnée, ou n'ayant qu'un point commun avec lui, s'il est polygonal. On cherchera, pour chacune de ces lignes, PQ par exemple, le centre de percussion de la surface PBQ située au-dessus, en ayant égard à sa densité variable qui sera supposée, en chaque point, égale au coefficient d'élasticité E. Le lieu des centres ainsi obtenus formera une courbe BC partant du noyau central pour aller au périmètre extérieur ; le point C répondrait à Taxe SS' et le point B à l'axe S^'S'^. En faisant varier la direction des lignes SS', on aura d'autres courbes analogues qui rayonneront dans toutes les directions autour du noyau central; on arrivera donc, par tâtonnement, à faire passer l'une de ces courbes par le point donné H, et alors il est visible que le problème sera résolu.
28. Tracé de la tangente à la courbe des centres de percussion relatifs à une série d'axçs parallèles, — Proposons-nous de mener une tangente à la courbe BC, dont nous venons de parler, courbe formant le lieu des centres de percussion d'une série de segments interceptés dans la surface APBQ par des lignes parallèles^ ces centres étant relatifs à une rotation autour de la ligne droite qui est pour ainsi dire la corde du segment. Nous pouvons résoudre cette question fort simplement dans l'hypothèse d'une surface homogène, c'est-à-dire d'une surface dans laquelle le coefficient E ne varierait pas d'un point à l'autre.
Soient :
PQ l'un de ces axes parallèles ;
M le point correspondant de la courbe BC, c'est-à-dire le centre de percussion du segment PBQ relativement à Taxe PQ ;
6o. CHAPITRE PREMIEB.
Do; et l>x les axes coordonnés, dont l'un, Djt, est une des positions limites de PQ;
9} la distance DG de PQ à Taxe des x;
h la distance des deux positions limites de PQ, ou la longueur DS';
x', x" les abscisses des deux points où une ligne P'Q' parallèle aux x, menée entre PQ et S' S*", coupe le périmètre de la surface;
X,, 7,, les coordonnées du centre de percussion du segment;
^î» 7a > les coordonnées de son centre de gravité;
u Tun des éléments superficiels déterminés dans la surface de ce segment par des parallèles aux axes coordonnés infiniment voisines les unes des autres ;
1 le signe d*unè sommation étendue à tous les éléments u.
Les formules du n** 7 permettent d'avoir les coordonnées du centre de percussion en prenant pour axes les lignes GQ et Gj; pour les avoir relativement aux axes coordonnés que nous avons choisis, il suffira de( changer / en / — >j, et l'on aura
(/,->î)2E{j->î)co = 2;E{j — »î)»w, ..' i
.r,2E(/ — iï)w= ZE(j — >ï)xw.
E disparaît, puisque nous supposons une surface homogène; ta peut être remplacé par dxdy-y et l'on trouve
X, / / (j — ïî)r/xf//= / / x(j— »i)r/xr(r.
Si l'on effectue une première intégration pour les éléments qui constituent une tranche parallèle à l'axe des x , ces deux équations deviendront
Sous le signe / nous n'avons que des fonctions de j, et, après l'intégration effectuée, nous n'aurons plus, dans ces deux équations, que des fonctions de yi : nous pouvons donc différentier, par rapport à cette va-
généralités; principes fondamentaux, etc. 6ï
riable, suivant les règles connues, ca qui donne
Pour simplifier ces équations, nous remarquerons, en premier lieu, que
Jf ( j;' — X*) (/ — >î) r/j représente le moment total de la surface PBQ
/•A rapport à la ligne PQ; secondement, que / (a:'— x^j^r est cette sur-
Éace elle-même; enfin que- / [x'"^ — a^^)dy est Texpression de son moment par rapport à Taxe des y. Donc on a
et la substitution de ces valeurs dans les deux dernières équations donne
Par suite,
<ir, j?, — jTj '
d'où résulte cette conséquence intéressante que la tangente cherchée est la ligne qui joint le centre de percussion du segment PBQ à son centre de gravité.
GHIPITAE PRBMUR.
Au point B, la valeur ^ se présente sous la forme -; mais, en prenant le rapport des différentielles de 7,-/2 et de ^j — a?,, on trouve pour ce point
dx^ dx^ — dx^ dx^
ce qui montre que le lieu des centres de percussion se raccorde tangentiellement avec le lieu des centres de gravité.
29. Exemples simples de Vapplication de la théorie précé-dente. —■ Nous allons appliquer la théorie du § V ( n^' 26 et 27) à quelques exemples simples, dans lesquels nous supposerons que la matière est homogène, ou du moins que le coefricient d'élasticité ne varie pas d'une fibre élémentaire à l'autre, dans toute l'étendue de la surface d'appui.
i® Rectangle homogène pressé par une force qui agit sur l'un des deux axes de symétrie. — Distinguons deux cas,
Fig. 22.
comme dans la théorie générale. Si le centre de pression H est à rintérieur du noyau central EFGK (Jig.2,1), c'est-à-dire si
l'on aÔH<^âP(n"25),
on rentre dans l'application des formules du § IV, ainsi que nous l'avons vu au n*» 26. L'axe neutre est en TT' et sa distance au centre de gravité 0 est la troisième proportionnelle au rayon de gyration b de la surface autour de LN et à OH, cette distance devant être portée en sens contraire de OH, à partir de 0; ou bien, comme 6* a pour
valeur — PM (n*» 6), si Ton pose OH = /i.OM, on aura
