KP
: — = constante ;
on voit que la parabole du second degré serait remplacée par une parabole du troisième degréji
Les exemples pourraient être multipliés à l'infini : nous nous en tiendrons à ceux qui précèdent.
Nous allons maintenant traiter avec quelques détails un cas particulier du problème de la résistance des prismes, qui nous fournira des résultats intéressants.
GÉNÉRALITfiS; PRINCIPES FONDAMENTAUX, ETC.
§ IV. — DéTeloppement de la solatioii générale du problème posé an § III, pour le cas où les actions moléculaires ioat équilibre à une force unique normale au plan de la section.
23. Expressions analytiques de la tension en chaque point. -^ Prenons un prisme dont AB et CD [fig. 17 ) sont deux sections consécutives inflniment voisines, et supposons que toutes les forces extérieures agissant au delà de CD, jusqu'à rexlrémlté du prisme, se réduisent à une résultante N parallèle aux fibres et coupant en H le plan CD, auquel elle est perpendiculaire. Cette force pouvant se transposer parallèlement à elle-même
Fig. 17.
D'DiD B
au point 0, centre d'élasticité de CD, à la condition d'y joindre
un couple (N, — N) formé de la force primitive et d'une force
égale et directement opposée à la force transportée, on voit
que dans la théorie générale du n*»20 il faut faire P = 6, ¥= o;
alors les quatre mouvements relatifs de CD par rapport à AB se
réduisent à deux, savoir : 1° une translation 00' = ^-î^— paral-
lèle à N, par laquelle CD arrive en CD'; 2<> une rotation autour d'un axe contenu dans le plan CD', par laquelle il prendra la position finale CiDf En continuant à suivre la voie tracée au n"* 20 , on arriverait à la détermination des tensions sur les divers éléments superficiels de la section CD, et on en trouverait toutes les lois. Mais la marche suivante nous a paru conduire plus simplement et plus directement au but.
Les plans CiDi, CD se coupent suivant une certaine ligne TT' s'éloignant parfois à l'infini, mais ne pouvant devenir imaginaire. Tous les points du plan CD se mouvant dans la direction normale à ce plan pour arriver dans C1D4 , il en résulte que
T. a* ÉDIT. 4
5o CHAPITRE PRBMLIBR.
les points deTT' ont dû rester immobiles, et, par suite, que le mouvement total de CD relativement à AB se ramène à une roution autour 'de TT'. Sur cette ligne il n'y a pas d'allongement et conséquemment pas de tension (en supposant, bien entendu, que la loi des allongements ou tensions s'étende, s'il le faut, même au delà des limites de l'aire CD); pour cette raison nous nommerons TT' Vaxe neutre.
Le point H , par où passe la résultante des tensions moléculaires, puisque celles-ci doivent équilibrer la force N, sera pour nous le centre des tensions.
Or la corrélation entre le point donné H et la ligne inconnue TT' est bien facile à découvrir. L'allongement d'une fibre élémentaire quelconque, ayant une section «, est proportionnel à la dislance d qui la sépare de l'axe , et si nous appelons E son coefficient d'élasticité longitudinale, sa tension sera (sauf un facteur constant) Ewc?. Toutes les tensions sur l'ensemble des éléments &> varient donc comme le produit de E« par la distance é/ : donc, en convenant d'attribuer partout à la surface une densité E, nous pourrons dire (n°8) que le centre H de ces forces parallèles est le centre de percussion de la surface CD relatif à TT' prise pour axe de rotation. Cela permet (n° 11) de construire TT', puisque nous connaissons H ; cette ligne a une direction conjuguée du rayon OHP dans l'ellipse centrale d'inertie de CD, et coupe le prolongement de ce rayon en un point F qu'on sait trouver.
Pour conclure de là l'expression analytique de la tension, concevons tracée autour du point 0 l'ellipse centrale d'inertie, dont Ox et Oj seront les axes principaux, et nommons :
a, b les rayons de gyration de l'aire CD relativement à ces axes;
Xyy les coordonnées, relativement aux mêmes axes, d'un point quelconque M appartenant à l'élément m;
V son ordonnée parallèle à OV, dans le système d'axes obliques OV, OW, cette dernière ligne étant le diamètre conjugué de OHV;
u la distance normale de M à OW, prise avec le signe de Tordonnée v]
généralités; PAINaPBS rOMOAMENTlUX , ETC. Si
XiyT^iUiyVx^ les valeurs particulières des variables Xf y y u, v
pour le centre des tensions H ; U2y v^ les valeurs de u et de i' pour tout point de TT'^ pour F
par exemple ; p la longueur ÔP du rayon de l'ellipse dans la direction OHj r le rayon de gyraiion de Taire CD autour de Taxe OW; ^'la tension par unité de surface sur Télément a>.
On a démontré au n** 11 les relations
a,Ma -f-r'nro, t'.t'a H- /?' = O,
dont Tune ou Tautre suffit pour définir le point F; on a vu aussi que TT' est représentée par Téquation
Cela posé, la distance d s'exprime par u—Ut^oxx bien (sauf des facteurs constants) par t^ — c, et par i 4- ^ +'^5 donc on peut écrire, en désignant par K, K'» K^ trois constantes, / = KE(m— i/a),
Ui
ou bien» si Ton remplace u-^ et if% par leurs valeurs — -^^
— ^? et quon pose
il viendra
r = CE
53 CHAPITRE PKBMIER.
Les trois constantes se déterminent en remarquant qu'au point 0 rallongement ÔO' est, comme on l'a vu plus haut,
NL ^rs— » en sorte que si E' désigne la valeur de E pour ce point,
NE' la tension /' par unité de surface doit y être ^pr- • Égalant cette
valeur à celle que donnent les trois dernières équations lorsqu'on y fait u = o, if = o, ^ = o,/ = o, E = E', on trouve
lEo)' ce qui permet d'écrire finalement :
En résumé, la discussion à laquelle nous venons de nous livrer conduit aux énoncés suivants :
1*» Le centre des tensions est identique avec le centre de percussion de la section transversale, considérée comme assujettie à tourner autour de Taxe neutre; ou bien l'axe neutre est l'antipolaire du centre des tensions dans l'ellipse centrale d'inertie.
a« La tension par unité de surface au centre d'élasticité prend la même valeur que si la force y était transportée parallèlement, auquel cas il ne se produirait qu'un mouvement d'extension simple.
3® La tension par unité de surface en un point quelconque varie proportionnellement au produit du coefficient E d'élasticité longitudinale en ce point, par sa distance à l'axe neutre ; ce qui permet, l'axe neutre étant trouvé, de déduire toutes les tensions de celle qui a lieu au centre de gravité. La tension change de signe d'un côté à l'autre de l'axe neutre.
4* Toutes ces tensions s'expriment analytiquement par les formules (7), (8), (9).
GÉlNfiRALITÉS; PRINCIPES FONDAMENTAUX, ETC. 53
2i* Remarques sur les signes à donner aux quantités algébriques entrant dans les formules précédentes» — Dans les trois formules (7 ), (8) el (9) la tension de la fibre moyenne est tou-
NE' jours exprimée par ^p— > en nommant E' la valeur particulière de E pour le point 0 {Jig. 17); comme E' et SEw sont des quantités essentiellement positives, pour que la formule puisse donner un résultat négatif quand il s'agit d'une pression, on voit que N devra recevoir le signe -f- ou le signe — suivant que cette force, transportée parallèlement à elle-même au point 0, tendrait à écarter ou à rapprocher les deux sections infiniment voisines CD, AB. Les lignes m et (^ doivent être positives d'un côté de OW et négatives de l'autre ; peu importe d'ailleurs le sens adopté comme positif, car si on le changeait, u et Ui, ou bien v et Vi, changeraient à la fois de signe, et les produits uui et W| conserveraient le leur. Quant aux quantités ^1,^1, x, y^ elles suivent les conventions admises dans la Géométrie analytique. Moyennant ces précautions, les calculs d'où nous avons déduit les formules en question auront toute la généralité désirable.
25. Positions diverses de l'axe neutre quand le centre des tensions varie; noyau central d'une section. — Lorsque le
centre des tensiqns H d'une section CJ)(Jig. 18) varie de position en partant du centre d'élasticité 0 et s'éloignant indéfiniment sur le rayon vecteur OV, la direction de l'axe neutre T^ ne change pas, puisque c'est toujours celle de la tangente à Kellipse centrale d'inertie, au point P où elle est coupée par OH.
Mais la position de cet axe change; sa distance au point 0,
exprimée en valeur absolue par — (n*» 23), varie depuis l'infini
jusqu'à zéro.
Ainsi, lorsque H sera très-près de 0, Taxe neutre rencon-
54 GHAPIT1US FREniBn.
trera le prolongement de VO à une très-grande distance, qui diminuera progressivement et deviendra nulle à la limite, lorsque H sera infiniment éloigné. 11 y aura donc une position particulière H' de ce point, telle, que Taxe neutre correspondant T'^' n'ait qu'un point D commun avec la section CD, quHl laissera tout entière d'un même côté. Pour obtenir ce point H', il suffira de mener au périmètre de la section la tangente T'/' parallèle à Tt, laquelle coupera en F' la ligne OH prolongée; on aura, comme on le sait (n° 11),
ôh'.5f'=:Ôp\
ce qui détermine OH'.
Sur chaque rayon vecteur partant du centre de gravité, il y aura un point analogue; et le lieu de ces points constituera une courbe ou un contour polygonal fermé. L'axe neutre coupera ou ne coupera pas la surface CD, suivant que le centre des tensions sera à l'extérieur ou à l'intérieur de ce contour; dans le second cas, tous les éléments superficiels seront pressés ou tendus, suivant la direction de la résultante N qui agit sur le prisme dont CD est une section ; la nature de l'effort sera partout la même qu'au centre d'élasticité. Nous appellerons noyau central de la section la portion d'aire située à l'intérieur de la courbe ou du, contour dont nous venons de parler.
D'après la manière même dont il est obtenu, on voit que le noyau central est le lieu des positions prises par le centre de percussion de la surface, quand l'axe de rotation correspondant se meut en restant continuellement en contact avec le périmètre extérieur de celle-ci; ou, si l'on veut, c'est (n° 11) l'antipolaire réciproque de ce périmètre extérieur par rapport à l'ellipse centrale d'inertie.
Les propriétés générales des polaires ou antipolaires réciproques trouvent donc encore ici leur application. Ainsi, quand le périmètre extérieur aura une partie limitée par une courbe du second degré, le noyau central présentera une courbe correspondante du même degré. Quand le périmètre extérieur présente un angle, alors il y a par ce point une infinité de tangentes qui viennent y passer, d'où il résulte que le noyau
GÉNfiRÀUTfiS; PRINCIPES FORDàU£NTA.UX , ETC. 55
central présente une partie rectiligne, lieu des antipôles dç ces tangentes (n*» 11). Le sommet de l'angle serait lui-même Tanlîpôle de la partie recliligne dont il s*agit. Par suite, si le périmètre extérieur est un polygone à n sommets, le noyau central sera un autre polygone ayant un pareil nombre de côtés; de plus, il est aisé de reconnaître, en raison de la réci* procité des deux polygones, que les sommets du noyau central sont les antipôles ( ou centres de percussion ) répondant aux côtés du périmètre extérieur. Ces théorèmes sont remarquables en ce qu'ils ne seraient pas infirmés par l'existence, dans la section, d'un vide intérieur de forme quelconque; seulement, comme l'ellipse d'inertie changerait, le noyau central éprouverait des modifications correspondantes.
Voici maintenant divers exemples de la détermination du noyau central de quelques surfaces homogènes.
1° Rectangle homogène, — Soit donné le rectangle ABCD [fig. 19); menons lès médianes LN, FM et divisons chacune d'elles en trois parties
égales , par les points E , F, G , K , tellement pris qu'on ait
PÊ = ÊG==GM = iÂC,
LKa= KF=:FN=iCD*
Le centre de percussion répondant à Taxe CD serait le point E (n°9); ce serait F pour l'axe AC. D'après ce qu'on vient de voir, il parcourra la droite EF pendant que divers axes neutres ayant le seul point C commun avec le périmètre passeraient de la d'irection CD à la direction CA. En poursuivant le môme raisonnement on verrait que le noyau central se continue par les droites FG, GK, KE. C'est donc un losange concentrique au . rectangle donné , et dont les diagonales sont les tiers intermédiaires des deux médianes.
a** Couronne circulaire ou cercle plein homogène, — Soient R le rayon extérieur, rie rayon intérieur. On sait (n° 6) que l'ellipse centrale est
un cercle de rayon - /R* + r^; par conséquent tous les demi-diamètres d^ cette ellipse ont pour carré -(R' + /"M» D'ailleurs la quantité désignée par OF au commencement du n** 25 est ici le rayon R du cercle exté-
Fig.
56 CHÀPITEK PEZaiBR.
rieur; donc — ^n — représente la distance constante du centre d'élasti-
cité au périmètre du noyau central. Ce périmètre est donc un cercle concentrique à ceux qui limitent la section donnée ; son rayon est sensiblement -Ksi la couronne est mince: il est -R si le cercle est plein. C'est
ce qu'on trouve en faisant successivement r = R , r=io,
y* Couronne elliptique comprise entre deux ellipses semblables ou ellipse pleine homogène, — Appelons, comme au n"" 6, / le grand axe et h le petit axe de l'ellipse extérieure, ml et mh les dimensions homologues de l'ellipse intérieure : les axes de l'ellipse centrale d'inertie seront (n* 6)
-//iH-z/î' et -A y/i-h/zr.
Ainsi donc, si l'on désigne par p un demi-diamètre quelconque de la première ellipse, "p v/i + m^ sera le demi-diamètre homologue dans l'ellipse
centrale d'inertie, lequel est désigné par OP au commencement du n** 25. Ce diamètre coupera le contour du noyau central à une distance du
centre d'élasticité égale à \iEjL L, c'est-à-dire k -p (i-hm^).
Donc enfin le noyau central aura pour périmètre une ellipse semblable à celles qui terminent la section; le rapport de similitude avec la plus
grande sera 7 (i + wi*), soit environ - ou bien -j suivant qu'il s'agira 4 ^4
d'une couronne très-mince ou d'une section pleine.
§ V, — Répartition d'une charge totale snr la base d'nn prisme n'ayant pas d'adhérence avec son appni.
26. Généralités, Deux cas à distinguer. Solution du pre^ mier cas, — Lorsqu'un corps reposant sur un plan est soumis à une ou plusieurs forces dont la résultante est normale au plan, et qu'il n'y a pas d'adhérence entre ce corps et son appui, pour que l'équilibre existe, on sait qu'il y a deux conditions nécessaires : i" la résultante doit passer à l'intérieur du polygone convexe formé parles points d'appui; :2*» elle doit tendre à serrer le corps contre sa base. Ces conditions devront être remplies par le prisme dont nous nous proposons d'étudier l'équilibre intérieur.
