I. U« ÉDIT. i
aiG GHAPIXBE QUÀTRikMS,
tant une force isolée, appliquée dans la section qui rencontre la fibre moyenne en G. Nous prendrons pour axe des x la
corde AB , pour axe des jr la verticale 0/ passant parle centre 0 du cercle dont l'arc AEB fait partie. Nous désignerons par
2 a la corde AB; /la flèche ËK; • p le rslyon du cercle; a Tangle fait par le rayon Correspondant à un point D quelconque pris sur AEB avec Taxe des j; 9 l'angle BOE de la verticale avec les rayons des naissances; Q la valeur particulière de a qui répond au point C; T> 0, T, Q' les composantes des réactions en B et A suivant l'horizontale et la verticale, et dans le sens indiqué par la figure.
Nous conservons de plus aux lettres e, r, X, N, t, s le sens qui leur est attribué dans les formules générales du chapitre II. Enfin, nous appelons X' et N', comme aux n*»* 53 et suivants, les valeurs que prennent X et N lorsqu'on n'y fait pas entrer la composante horizontale de la réaction des appuis.
89. Poussée produite par un poids isolée — Supposons d'abord l'arc AEB soumis à un poids unique H agissant en C, et faisons abstraction de son poids propre, sauf à voir par la suite comment on en tiendra compte. Nous avons les équations d'équilibre entre les forces extérieures du système
Q-Q' = o, T-hT'~n=:o,
np{sin(p -h sin9) = 2Tpsin<p,
dont les deux premières expriment la nullité de la résulunte de translation, et la troisième la nullité de la somme des mo-
POUSSfil BBS ABCS GHIGDLÂIRES. 227
ments par rapport au point A. On en lire
2 \ smcp/ 2. \ sincp/
T et T' étant connus, il reste à connaître Q. Nous pourrions y parvenir par l'application pure et simple de la formule ( i5) don* née au n® 54 ; mais il est plus commode de ramener le problème afu cas d'une pièce symétrique et symétriquement chargée. Pour cela, nous ajouterons un autre-poids H en un point G symétrique de C. Soit alors Qi la réaction horizontale de l'appui B. Si l'on se reporte aux considérations du n® 67, et si l'on remarque en outre que la réaction horizontale s'annule en supprimant les deux poids, on voit qu'entre Q et Q» existera la relation
Nous déterminerons Tînconnue auxiliaire Qi au moyen de la formule (i6) du n** 54, dans laquelle il faudra faire r=:o,
Jq er^ dx Jq e ds ^
En calculantles valeurs de X' et de N', on devra observer que, après l'addition du second poids n, les réactions verticales des appuis sont égales et contraires à H. Donc, si l'on exprime toutes les variables en fonction de a, on aura
. „ ^ (X':=:np(sin9 — sin0),
depuis a = o jusqu a a ==: ô, { ^^, ^
, . -, „ (X'=np(sin<p — sina),
depuis a = 9 jusqu a a = 9, { ^^, „ .
( N' = --nsina;
jz=p(cosa — cos(p), x:=:psma,
ds:=pda, dx^=ptos(xdat;
aa8 CHAPITRE QUATRIÈME.
par suite, e et r^ étant ici des constantes, et p pouvant être remplacé par-i — »
= — ^(sinç — sinô) / (cosa — cos<p)rfa
H È- 1 nsinç — sina) (cosa — cos<p)
;sin'(p sina cosa jrfa,
^ \€r^dx '^ e ds) = — / (cosa— cos(p)'-f-^sin^<pcos^a rf«.
Toutes les intégrales qui se présentent ici nous sont déjà connues. On effectuera le calcul; puis, doublant le dénominateur de Qi , on aura la valeur cherchée ; elle peut se mettre sous la forme
r' A 5-sin'(p(sin»9— sin'0)
B -f- — sin'(p(9 -hsinçcoscp)
en représentant par A et B les expressions
A = - (sin^© — sin*0) -f- cos<p (cosô -f- Ssinô — coscp — çsinç), B ==9 + açcos'ç — Ssinç coscp.
90. Poussée produite par une force horizontale. — Nous supposerons, en second lieu, la force horizontale S placée en C, comme l'indique la fig. 46» et en même temps nous supprimerons toute autre force. Il s'agit encore de calculer les réactions des appuis T, Q, T',. (y.
Les équations d'équilibre des forces extérieures deviennent,
dans ce cas,
Sp (cosS — COS9) = 2Tpsinf ,
d'où Ton peut déduire immédiatement T et T',
j rp, __gCose — C0S9
2 sin <p
Pour arriver à connaître Q et Q', nous emploierons le même artifice que dans le cas précédent. Nous ajouterons au point G une force — S symétrique de la première; alors Qi étant la poussée en B, on aura (n® 66)
et puisque Q — Q' = S,
Reste à déterminer Qi ; ce que Ton fera au moyen de la formule (i6) {n? 54), dans laquelle on supprimera i^a. Or, après l'addition de la seconde force S, T et T' sont nuls, et, par suite, on a
X' = Sp(cosa — cosO),
depuis a =5 o jusqu'à a = ô, , ^„
|N'=:Scosa;
depuis a = 0 jusqu'à « = 9, X' 1=: o, N' = o. Donc
= 1 / [(cosa— -cos9)(cosa — C0S9)H — jsin'çcos^Jrfa
= -^ :0 — sin0 cose — 2sin0 cos<p -+-2Ô cosô cosç
-+--; sin*<p(0 -+- sin 6 cose)|-
, D'ailleurs le dénominateur de la fraction qui exprime la valeur
23o €0AnTRB <2tIATMÈn«
de la poussée reste le même que dans le cas précédent : c'est la moitié du dénominateur de la formule ( i ). Donc on trouvera
A' -i -sin2flp(e-f-sinôcos0)
ia
B.-f-~ sin^<p(<p + sincp cosç)
formule dans laquelle B a la même valeur qu'au n*» 89, et A' représente la quantité
A' = -0 — -sîn0cos0-~sîn9cos<p -î- 9cos0cos9.
Connaissant Qi, on en déduit aisément, comme nous venons de le voir, les poussées réelles Q et Q'. Il est clair d'ailleurs que si la force S venait à changer de sens, il en serait de même de Qi . En représentant par — Q, la valeur que Von obtiendrait alors, on aurait
ce qui montre que Q et Q' prendraient aussi les mêmes valeurs que tout à l'heure, mais en sens contraire. Il existerait en B une force égale à la demi-somme des forces Qi et S dirigée vers les x positifs ; en A agirait une force égale à la demi-différence de S et de Q, , dirigée dans le sens de la plus grande de ces deux forces. Il faudrait encore , bien eniendu> joindre à ces composantes horizontales les composantes vw ticales correspondantes.
91. Poussée due à V action d'un couple. — En troisième lieu, considérons le cas ou un couple de moment fx serait appliqtié à la section normale faite en C. Ce couple est situé dans le plan de l'arc, et nous supposons qu'il tend à le faire tourner dans le sens des moiaents p(»sitifs.
On déterminera la réaction verticale T en prenant les moments relativement au point A, ce qui donnera
aûT'^fA = o,
poDsgta nm jAcs cncoLàiRBs. a3i
•d'où
On a d'ailleurs, pour les conditions de Véquilibre de trans* latîon,
Les deux poussées Q et Q' étant égales, chacune d'elles sera la moitié de la poussée Q,, qu'on obtiendrait en ajoutant un couple symétrique du premier (n*» 67). Après cette addition, la réaction verticale T serait nulle; donc on aurait
emr«a = o eta = fl X' = |ti,
entre «=6 et a = <p X'^=o,
dans toute rétendue de l'arc. . . N'=:o.
Par conséquent.
J^^ \er^ dx eds) J^ \er* dx e ds /
L'intégrale du dénominateur est déjà connue , puisque c'est la même que dans les deux cas précédents. Quant au numérateur, on posera
X^rf^ — -£- / (cosa — cos9)rfair=-£-:(sin9 — Soos©);
on aura donc
-(sinô — Ocostp) (3) Q = lQ,= pt P
B-f--;sin*(p((p -hsinçcosç)
Si le sens de n élaii ceniraire à celui que fious a¥Ofis snp* pasé, il fi'y aurait qu'à changor son signe dans cette exiiresaaa; la mêiae chose aurait lieu si on plaçait le couple dansia section faite au point G , :pottr lequel 6 «st le ooéme en yateiir
232 CHAPITBB QUATRIÈMB.
absolue. On peut donc regarder la formule (3) comme générale, à la condition de donner à fx un. signe d'après la convention établie pour les moments X (n** 43 ) et de regarder 9 comme positif ou négatif, suivant qu'il sera compté à droite ou à gauche de la verticale. Le signe qui affectera la valeur de Q montrera si cette force est dirigée comme l'indique la figure ou en sens contraire. Ainsi, quand /jl et d sont de signes contraires, Q est négatif d'après la formule (3); l'arc tire ses , appuis au lieu de les pousser.
92. Poussée due à une dilatation résultant de causes indé-pendantes des charges» — On obtiendra la poussée qui se produirait indépendamment de toute force agissant sur l'arc, en vertu d'une dilatation de sa fibre moyenne par l'effet de la température et du calage, si l'on fait dans la formule X' = o, N' = o. On trouvera
^ za
Jq \er^ dx e ds )
ou bien, en substituant au dénominateur la valeur calculée au n«>89,
ixa—r Q=- P!
r* B-4- -; sîn^(p(9 -hsincpcosç)
Cette expression de Q peut encore s'écrire comme il suit, en remplaçant p par -^ — :
« ,2eTSin'<p.--
B -h — sin'9((p -hsinçcosç)
Dans le cas où, au lieu d'une dilatation, il existerait en réalité une contraction, ce qui peut arriver si la température est suffisamment basse, la même formule donnera encore la réaction horizontale des appuis; seulement cette réaction serait une traction, au lieu d'être une poussée.
l>OUSSfiE DES AHGS GIBGULAIRB8. 233
On remarquera, en outre, que si aucune force n'agit sur l'arc en dehors des points A et B, les appuis ne pourront pas exercer de réaction dans le sens vertical, car les forces qui proviennent de ces appuis, devant se faire équilibre, sont nécessairement dirigées suivant la ligne qui les joint.
§ IL — Recherche de la poussée produite par des forces quelconques et par la dilatation.
93. Cas d'un arc soumis à des forces discontinues quelconques et à une dilatation produite par d'autres causes. — Nous prendrons maintenant un arc satisfaisant toujours aux conditions du n° 87, et nous supposerons qu'il éprouve d'une part l'action d'un nombre quelconque de forces, et, en second lieu, une dilatation linéaire provenant d'autres causes, comme les changements de température et le calage.
D'après ce qu'on a vu aux n*»» 64 et 65, on peut d'abord remplacer chaque force par deux composantes, l'une verticale, l'autre horizontale, appliquées toutes deux au centre d'élasticité de la section sur laquelle agît la force primitive, et par un couple; puis faire la somme des poussées produites sur chaque point d'appui par toutes ces composantes et par la dilatation linéaire, considérées comme agissant successivement chacune à l'exclusion de toutes les autres. Or les formules (i), (2), (3) et (4), qui viennent d'être établies dans le § I" de ce chapitre, permettent de calculer les différents termes de cette somme; donc on a le moyen de connaître les poussées totales Q et Q' qui sont exercées sur les deux appuis.
Quant aux réactions verticales T, T', leur détermination n'exige que l'emploi de la statique ordinaire des systèmes invariables. On a vu au n® 53 comment on peut les obtenir.
94. Ceu où il existe des forces réparties d'une manière con^ tinue.-^Le cfas où il existe des forces réparties d'une manière continue peut être considéré comme la limite de celui qu'on vient d'examiner. Pour passer de l'un à l'autre, il suffit d'imaginer que les diverses forces considérées au n*> 93 décroissent de plus en plus, et qu'en même temps leurs points d'application
!l34 GHÀ»ItB« QVAimiÈXE*
$e rapprochent indéfiniment les uns des autres. Quelles que soient la grandeur des forces et la distance des points snr lesquels elles agissent, la poussée horiTontale s'obtiendra toujours en faisant la somme des poussées dues aux actions séparées des diverses forces élémenlaires. Par conséquent, lorsqu'il s'agira d'une répartition continue, on devra chercher l'intégrale d'une poussée infiniment petite, entre des limites déterminées.
Supposons, par exemple, qu'il y ait une charge répartie d'une manière continue entre les sections normales qui font avec la verticale les angles Ot eiô^; soit FdO la force qui sollicite la partie de la pièce dont la fibre élémentaire moyenne correspond à l'angle dd; soit en outre ^Q la poussée infiniment petite qui serait exercée sur l'un des appuis dans le cas où la force Frf0 existerait seule. Cette poussée rfQ se calculera au moyen des formules (i), (2) et (3), en faisant la somme de trois poussées dues aux deux composantes de FdO suivant les axes coordonnés, et au couple provenant du transport de cette force au centre d'élasticité de la section sur laquelle elle agit. On trouve ainsi, en désignant par k, m, n des fonctions connues
de e,
dQ=:: {k -\- m-h n)TdB;
d'où l'on tii^, |K)ur la poussée due à l'ensesaMe des forces VdB^
{k'-{-m'hn)Fd9.
Un procédé approximatif, qui sera souvent susceptible d'^re appliqué avec avantage, cofislsterait à partager la portion de pièce comprise entre les sections répondant aux angles &i ec 9t en plusieurs parties, pour lesq[ueUes on déterminerait à part l'intensité et le point d'application de la récitante des charges. Dans le cas où l'on aurait eu soin de prendre le nombre de ces parties assez grand pour que chacune d'elles ne répondît qu'à une faible fraction de la pièce entière, on pourrait négliger dans cette étendue les petites variatic»%s des quantités A*, m, 1» et déterminer la poussée comme si l'on avait une série de forces discontinues dont chacune serait une des résultantes paitielies par lesquelles on aurait remplacé la force totale* Bar exempte, si l'arc suppoitait une charge d'eau, on parta^eraift la Binre
Je,
POUSSltS DES MAC» GIHGDLÀIRES. «235
moyenne en quinze parties, ou un nombre moindre, sui^nt le '
degré d'approximation désiré; on chercherait, par les procédés connus, la pression totale répondant à chacune de ces parties, et on regarderait Tensemble de ces résultantes comme pouvant être substitué à la charge primitive. De cette manière, le problème est ramené aux termes du n° 93.
Kous allons donner quelques exemples de la déiermination des poussées horizontales par. une intégration.
95. Previeb exemple. Poussée produite par le poids de Tare ou par un poids uniformément réparti sur une certaine portion de sa longueur. ■— L'exemple qui se présente naturellement le premier consiste dans la recherche d'une poussée horizontale dont nous avions fait abstraction tout à l'heure : nous voulons parler de celle qui est due au poids propre de Tare. Cette question est un cas particulier de celle qui a pour objei de tcouv^ la poussée horizontale produite par un poids réparti uniformément, suivant la longueur de la ûbre moyenne, eiUre deux points quelconques de Tare ; c'est ce problème plus général que nous allons résoudre d'abord.
Soient p le poids qui agit sur l'unité de longueur de la fibre moyenne, Si et 6, les angles limites entre lesquels agit la charge totale exprimée paT;ip(0a — Oi). Nous supposons que le poids élémentaire ppd6, qui correspond à une portion d*arc comprise entre les angles 6 eiO-^dO, est appliqué à la fibre moyenne. C'est ce qui arrive, par exemple, si l'on ne considère que le poids propre d'un arc homogène; mais cela ne serait pas rigoureusement vrai si Ton y ajoutait une surcharge uniforme reposant directement sur les points les plus élevés de la pièce. Chaque élément de cette surcharge , agissant au point supérieur d'une section inclinée, devrait être reporté sur la fibre moyenne en un point n'appartenant pas à sa propre verticale, ce qui donnerait Heu en même temps à l'introduction d'un couple. Toutefois, en pratique, on conçoit bien que, eu égard aux incertitudes de la théorie, il ne convient pas de s'arréler à d'aussi minutieux détails.
Gela posé, la poussée infininseni petite dQ , produite par le poids pfdQ qui charge rélémeot pdQ de la fibre moyenne.
aura pour valeur, d'après la formule (i) (n'' 89},
r* A -jSin'(p(sin'9 — sîn'O)
rfQ = ''-^ pprfÔ.
B 4- — sin*<p(9 -4-sin<pcoscp)
Chassant le dénominateur et intégrant , après avoir divisé les deux membres par /^p, on trouvera
^ [^ "^ oî ^^'^'^ (? "^ sin? cos9)J
= r \d^ — ^^sin^çnea — ei)sin'<p— r *sin»erfe|-
Le calcul du second membre s'effectue au moyen des intégrales que nous connaissons déjà et de la suivante :
/ ôslnerfe^: — ecosO-h icosOdO^ — OcosO -f-sinô;
il donne, pour déterminer la poussée totale cherchée, la relation
[^ -+- 5sin»9i(<p 4- sin? cos(p)J ^
= f-sin'<p — cos*9 — çsinçcosç — t) (ôa— 0i)
H- j (sine, COS0, — sin 9^ cosS.) H- acosçCsinô, — sinS,)
— cos cp ( 6, cos 6, — 6, cos e, )
~ Ï7« ^*"' ? [( 0a - e. ) (sin»? - i)
-+--sinejCOse, — isinôicosffi • 2 ^ J
Cette formule fait connaître la poussée horizontale due au poids propre de l'arc : pour cela il faut mettre au lieu de p le poids d'un prisme droit ayant même section transversale et un mètre de hauteur, et faire en même temps 6»= (p, 6i = — <p.
Si l'on pose
^ I 5 , . 9 sin®
C = 7- cos'<p — (psmçcosç -hjCOs<f — ^j
Tk ^ l ' -, ' ï sino\
on obtient la formule suivante, applicable d'ailleurs à tous les cas où Tare entier supporterait une charge uniformément répartie sur sa longueur :
C — D~*sin«(p
(5) Qr=r2/ip(p-
B -h — sin'9(cp -^ sincpcoscp)
96. Deuxième exemple. Poussée produite par une charge uniformément répartie suii^ant l'horizontale. — Lorsque la charge sera répartie uniformément suivant l'horizontale, en appelant/^ celle qui répond à l'unité de longueur mesurée sur la projection horizontale, l'élément de fibre moyenne p</ 9, qui a pour longueur projetée pcos6d0, supportera le poids pp cosftûfÔ. La poussée produite par ce poids sera (n*» 89)
dQ=zppcos6d6
A -sin'o(sin'<p — sin'6)
B -h — sin'9(cp -h sinçcoscp)
Pour avoir la poussée totale due à la somme des charges ppcos6d9 répartie d'une manière continue sur la portion d'arc comprise entre les angles 0i et 02, on intègre cette expression entre les limites 0, et 6a. Cela conduit à la recherche d'une seule intégrale que nous n'avons pas déjà employée : c'est / 9 sin0 COS0 rfô. Or l'intégration par parties donne
resinScosôrfe^rf ôsin^e — - j sin^Ôde
— -9 sin* 6 — y 9 -+--7sin0 cosô.
On trouve donc facilement la poussée demandée, qui est
!l38 CBIPITRB QUATRIÈMB.
exprimée par 1 rfQ; elle sera fournie par requation
Je,
[^ + ^sin^(p((p -h sincp CQS9)J —
= ( -sin^cp— cos^cp — cpsin9COS9J (sin02 — sin0,) — g(sin»ô,~-sin*ôi)-f-i(0,— e,)cos?
-h -(ôjsin^ea — 0iSîn^0,)coscp
-f- -^(sin0acosâî — siaeicos0i)cos<p
^jSin^ç (sin^,— siaôi)sin'(p--^(sin'ôa— siB'0,) •
Lorsque l'arc entier se trouve chargé d'un poids réparti uniformément suivant une parallèle à la corde, il faut faire
6j =: — (p , 9s = <p; en remplaçant p par -: — et posant
C = — -7 -*- — sin^cp -I- y COS9 -7-^^ cp sincp coscp,
4 12 ^ 4 smcp 2 ^ ^ ^
on obtient la valeur suivante de la poussée :
B+ ~sin'9(9 -4- sincp coscp)
§ m. — Détails snr la détermination de la poussée produite par des poids et par une dilatation indépendante des charges.
97, Remarques préliminaires au sujet de la formule (i) du n*» 89. — Cette formule a une importance particulière, parce qu'elle donne la poussée horizontale produite par un poids isolé agissant sur un arc circulaire à section constante et dont la déformation est plane : il en résulté, en effet, comme on l'a vu aq n" 93, qu'elle donne aussi la poussée due à un ensemble de poids distribués d'une manière quelconque, ce qui est in-
POUSSiB DBS AKGS CIRCULAIRES. a3<^
contestablement le cas le plus fréquent dans la pratique. Aussi nous allons d'abord étudier celte formule avec tous les détails nécessaires pour en rendre l'application facile. Si nous posons, pour abréger,
^ sîn^cofsin'cp — sin»0) ^, sîn*9(© -f- sîn(pcos9)
1= — —^^ , ^- jj »
la formule (i) pourra s'écrire ainsi :
Or le rapport — est toujours très-petit. En effet, r* désigne
le rayon de gyration de la section transversale par rapport à l'horizontale passant au centre d'élasticité; ce rayon de gyration est inférieur ou, au plus, égal à la moitié de la hauteur h de la section , mesurée perpendiculairement à cette horizontale, clest-à-dîre dans le sens parallèle au rayon de la fibre moyenne (n*» 82); on a donc
r<-, et, par suite, -,<[-)'
Ainsi le rapport — est inférieur au carre du rapport de la hauteur h à l'ouverture de l'arc; et comme il est fort rare que le rapport — atteigne o,o5, dans les constructions de quelque importance au point de vue des dimensions, on peut regarder le nombre 0,0026 comme étant la limite supérieure de —• A
l'appui de celte conclusion, nous donnerons ici la valeur du rapport dont il s'agit dans les arcs de divers ponts existants ou projetés, en observant toutefois que quelques-uns des nombres indiqués dans la dernière colonne du tableau suivant n'ont pu, faute de données suffisantes, être calculés que par approximation.
