X . 6XA
OU bien, à cause de I = — bh^ (n*» 6) ,
Dans la section CD, la somme analogue prendrait la valeur
PROBLÈMES DIYERS CONCERNANT LES POUTRES DROITES. 207 o //Y
il y a donc une différence— r--^ dx qui tend à faire glisser
le prisme OQCA parallèlement à la direction OQ. Cette force ne peut être tenue en équilibre que par la résistance que le plan projeté sur OQ vient opposer au glissement. Si donc nous appelons R'^ la limite que ne doit pas dépasser cette force rapportée au mètre carré, pour la surface OQ ou bdx elle aura Tintensité maximum K'^bdx, et Ton devra poser
I^.^dx<Rndx; un dx
soit, en remplaçant ^ par P (n*» 70), et isolant le facteur R*',
Qp
On se trouve ainsi conduit à considérer une nouvelle résistance, celle qui est opposée au glissement mutuel de pkms menés parallèlement aux fibres de la pièce. Cette résistance, dans les pièces de bois, est ordinairement inférieure à la résistance R au glissement transversal des sections ou cisaillement : aussi la limite inférieure de Taire bh, qu'on tirera de la dernière équation, sera-t-elle.plus grande que celle qu'aurait
fournie la condition ^j < R du n° 80. Le même fait se produirait encore pour toute poutre rectangulaire construite avec une autre matière que le bois, pourvu qu'on eût R^-R**.
Le glissement longitudinal des fibres explique pourquoi deux poutres superposées de manière à se toucher par un plan, mais non invariablement liées Tune à Tautre, ne fléchissent pas comme une poutre unique égale en dimensions à leur ensemble. C'est parce que le plan de contact ne fournirait pas la résistance nécessaire au glissement longitudinal. Pour former une pièce unique avec la réunion de deux pièces, on a soin de les lier fortement avec des étriers, et de disposer la surface de séparation en redans qui engrènent les uns dans les autres.
2o8 CHAPITRE TROISIÈME*
On aurait pu exécuter (Jes calculs analogues aux précédents, avec des formes de section différentes : nous nous bornerons à donner encore les résultats relatifs à la forme en double T à branches égales. On supposera, comme au n** 82, que Tâme occupe seulement une faible partie de la section, et que les branches ont une petite épaisseur, relativement à la hauteur totale. Les notations restant celles du n* 82, la tension totale 0 sur une moitié de la section sera exprimée par
OU bien, puisque I = -? û A*,
Par suite, si b désigne l'épaisseur de Tâme, on devra poser
c'est-à-dire
l^.^dx<Wbdx,
bh=^ •
On trouve ainsi une limite inférieure de la section bh de rame : dans le cas où R"' égalerait R, on pourrait énoncer la dernière inégalité en disant que Tâme doit être, à elle seule et abstraction faite des branches, capable de résister à Teffort tranchant.
Mais il convient de faire remarquer que tous les calculs du présent article s'appliquent exclusivement au cas où la hauteur h ne varie pas d'une section à l'autre. Montrons par un exemple qu'ils seraient sensiblement modifiés dans le cas d'une hauteur variable. A cet effet, supposons une poutre d'égale résistance (n° 22), encastrée par un bout et supportant à l'autre une force transversale unique P. La section est un rectangle d'épaisseur 6 constante, dans le sens perpendiculaire au plan qui contient P et la fibre moyenne; la hauteur h varie proportionnellement à la racine carrée de la distance x^
entre la section considérée et le point où agit P, de sorte qu'on a
A^ = C:r et -T- = — 9
dx 7,X
C désignant une constante. La somme Q des tensions sur la moitié de Taire bh s'exprimera encore, comme tout à l'heure, par l'équation
mais en différentiant pour obtenir la force de glissement dans le sens longitudinal, il faudra considérer h comme variable en fonction de x et poser
éïdx — — ^ — dx-^—^ — dx — (—-^^^^dx dx ih dx ih^ dx \ih ^hxj '
ou encore, attendu que X = Vx,
de. 3P .
-r— ax ■=■ -j-f ax.
dx ^n
dO La valeur de -j-dxy et, par suite, la tendance au glissement ax
longitudinal, seraient donc ici deux fois plus petites qu'avec une hauteur invariable.
Dans les exemples particuliers qui précèdent, nous n'avons cherché la tendance au glissement longitudinal que sur le plan qui contient les axes de flexion successifs. On aurait pu la chercher par un procédé semblable sur tout autre plan parallèle ; et c'est même ce qu'il y aurait à faire si, parmi ces sections longitudinales, il s'en trouvait une très-élroile et conséquemment plus exposée que les autres au genre de rupture que nous venons d'étudier (*)^
C**) L'idée d'avoir égard au glissement longitudinal des fibres est empruntée à un Mémoire de M. Jourawski, colonel du génie russe. Voir les Annales des Ponts et ChausséeSy i856, 2* semestre.
L 2* ÉDIT. l4
aïO CHAPITRE TROISIÈME.
§ IV. — Des pièces droites chargées debout.
84. Prisme vertical chargé d*un poids agissant suivant son axe. — Nous supposons un prisme vertical dont la fibre moyenne, dans son étal primitif, est AB {Jig. 4^ ) ; 1^ point B Fîg. 42. ®^^ û^^' ^" point A, suivant la ligne AB,
est appliquée une force N devant laquelle le poids propre de la pièce est supposé négligeable. Le point A est assujetti par des Dfioyens quelconques à se déplacer sur AB. Dans ces conditions, si la pièce était composée de fibres parfaitement homogènes, et si la force agissait rigoureusement suivant la fibre moyenne, il ne pourrait se produire aucune flexion, car le moment de N par rapport à un quelconque des centres d'élasticité des sections successives serait nul ; par conséquent la pièce resterait droite. Mais si une cause accidentelle quelconque a faiti commencer la flexion, on comprend que la pièce puisse rester courbée et se maintenir en équilibre Sous Faction de la force N. C'est la forme qu'elle a dans l'état d'équilibre qu'il s'agit d'étudier ici.
Soit A' la position du point A après la flexion. La déformation étant supposée plane (n° 48), appliquons à la pièce A'B l'équation (1) du n° 42; si l'on prend pour axes des coordonnées les lignes B^ etBj, le moment fléchissant sera exprimé par •— Nj; par suite, on posera
équation dans laquelle er^ représente, comme d'habitude, le moment d'inflexibilité constant de la poutre, relativement aux axes perpendiculaires au plan de la figure et passant par les centres d'élasticité des sections. On connaît l'intégrale de cette équation linéaire du second ordre : en désignant par C et D deux constantes arbitraires, on aura
r = Csin — 4/ — hDcos — i/ — •^ r y e r y e
PBOBLÈHES DIYERS CONCERNANT LES POUTRES DROITES. 211
La constante D doit être nulle, attendu qu'on a /= o pour x =o; donc
p . ^ , /N •=Csin^y/-.
Il faut, de plus, que y soit encore nul pour a: = A'B, quantité peu différente de AB ou sa, longueur primitive de la pièce. Il
— 1/ — soit r y e
faudra donc que — i/ — soit un multiple de la demi-circon-
férence, ou bien, en désignant par i un nombre entier quel* conque, que Ton ait
r d'où nous tirons
La moindre force N déduite de cette équation est er^ -. — 9
correspondante à / = i ; en faisant i z=:*i^i=i 3, etc., on aurait des valeurs de N qui seraient égales à la première multipliée par 4, 9, etc. Donc la pièce ne pourra pas rester fléchie si N
. 2'îr'
n*atteint pas au moins la limite er^-7— -•
Quand on attribue à N la valeur générale er^ y^ > Texpresion - i/— est égaie à — 5 et, par suite,
sion
vmCsin •
On voit alors que pour les valeurs de x ' ia 2a ^ 2a ... 2a
• — devient un multiple de la demi-circonférence, et, par conséquent, x devient nul. La courbe affectée par la fibre
rtioyenne présente une forme analogue à celle qui est dessinée
ci-conlre [fig. l^Z), pour le cas particulier de i = 3. Cette
Fig. 43. courbe est toujours une sinusoïde. Il est clair
qu'une portion de la courbe comprise entre deux
points consécutifs où y s'annule, HK par exemple,
Nf/ représente la courbe qu'on aurait, dans Thypo-
thèse de 1 = 1, avec une longueur de pièce -7—
En effet, en chacun des points H et K, la partie HK doit recevoir des réactions moléculaires dont les résultantes, égales et contraires entre elles, ont N pour valeur commune : donc HK se trouve dans les mêmes conditions que A'B dans la fig. 4^, à part cette
différence que la longueur est — ;- au lieu de 2a.
Le maximum de l'ordonnée j, ou la flèche, se produit quand
on a égal a lune des valeurs -5 — > — j»--? ce qui
donne pour x les valeurs correspondantes -r? — r-> -;-,....
Ce maximum est d'ailleurs égal à la constante C, qui reste en* core indéterminée, bien que nous ayons employé toutes les conditions du problème.
D'après l'analyse précédente, il semble au premier abord que l'équilibre n'est compatible qu'avec certaines valeurs de N croissantes d'une manière discontinue; de sorte que si la
pièce était fléchie par une force N égale à er^^j l'addition
d'une très-petite force entraînerait la rupture. Or cela est contraire à une expérience qu'on peut à chaque instant répéter avec des règles en bois de faibles dimensions : la règle étant courbée par deux pressions en sens contraire qu'on exerce avec les mains aux extrémités, on voit la flèche varier d'une manière continue avec la force. Toutefois cette objection, que nous citons parce qu'elle se présente naturellement à l'esprit, n'est pas bien fondée : car, à la rigueur, dans la formule
N = -7^» ^^ devrait regarder 2 a comme représentant la dis-
tance AA' des deux extrémités de la pièce déformée, quantité variable avec N; cette force pourrait donc varier un peu, et à chaque valeur correspondrait une courbe particulière d'équilibre. Seulement il y a toujours dans cet équilibre quelque chose que nous n'avons pas pu déterminer : c'est la constante C ou la flèche maximum de la courbe. Cela tient à ce que, en établissant les formules de la déformation, et en particulier l'équation (i) du n** 42, nous avons toujours supposé les déplacements infiniment petits, et, par conséquent, nous avons confondu la forme primitive d'une pièce et sa forme définitive, en ce qui concerne l'évaluation des moments ou projections des forces et le calcul des déplacements correspondants. Ici, cela nous empêcherait de résoudre la question, car nous devrions partout supposer X = o, ce qui nous conduirait à dire que la pièce est restée droite. Aussi, en
écrivant er^ -^^ = — N j, avons-nous déjà tenu compte en
partie de la différence de forme qui altère le moment de N; mais ce que nous avons fait pour ce moment, il aurait fallu le faire aussi pbur les actions moléculaires qui le tiennent en pquilibre.
. Reprenons donc la question à son origine. La pièce AB ayant pris la forme A'B {fig. 4^) sous l'action de la force N, exprimons l'équilibre entre cette force et les actions moléculaires développées dans une section quelconque faite en H. Nous appellerons ds la longueur primitive d'un élément de fibre moyenne qui part de H, 9 l'inclinaison de la section qui passe en ce point par rapport à sa direction primitive. La section infiniment voisine de celle-là, et qui en était primitivement à la distance d$y fait maintenant avec elle un angle ^d, tandis que le parallélisme existait d'abord entre les deux sections. Donc
-T- représente l'angle de flexion rapporté à l'unité de longueur,
c'est-à-dire la quantité nommée ^ au n** 17: par suite, la somme des moments des actions moléculaires relativement à l'axe projeté en H aura pour valeur ^r^-y"* et, puisqu'il y a
2l4 CHAPITRE TROISIÈME.
équilibre entre ces actions et la force N, on posera
L'élément qui avait primitivement une longueur ds a pris une longueur différente ds', à cause de la compression due à la force N. En vertu des formules élémentaires relatives à l'extension et à la compression simples^ on aura très-approximativement
(2) ds' = ds(l-^\y
en négligeant la faible inclinaison de N sur la normale à la section. Enfin, puisque la composante de N parallèlement à la section est aussi très-faible, il est permis de négliger le glisse* ment transversal et de regarder une section primitivement normale comme l'étant encore après la déformation. On écrit en conséquence l'équation
(3) — ds'.sin9 = dy.
Des équations (a) et (3) on tire
dr . J N\
valeur qui, substituée dans l'équation (i), après avoir différentié celle-ci par rapport à *, donne
multipliant par 2dO ex intégrant, on aura
erM -j- 1 = 2N ( i j cos 9 + const.
La constante peut s'exprimer en fonction de la valeur 6» que prend 6 au point A'; car en ce point 7 = 0, et, par suite, en
vertu de (i), -^ = o. Donc on pourra poser
PROBLÈMES DITBRS GOUCBRKANT LES POUTRES DROITES. ai5
soU, SOUS une autre forme.
V^2(COS0-- COSÔo)
L'intégrale du second membre de cette équation entre les limites 5=:oet^ = 2aest — Kj - (i |; l'intégrale du
premier entre les mêmes limites est connue par la théorie du pendule simple. Si 0 s'annule i fois entre B et A', cette intégrale serait le temps de i oscillations d'un pendule simple ayant pour longueur le nombre g^ accélération des corps pesants dans le vide; on aurait donc approximativement pour sa valeur ITT f I 4--^') > en négligeant dans l'expression différentielle les puissances de 0o supérieures à la quatrième; par suite, on posera
'=) ■■■'(- fi )=T\/?(-^)-
Or les équations (i) et (4)^ appliquées aux points tels que C, pour lesquels Q s'annule, en même temps que y prend une valeur maximum/, donnent
ds
^/de\'
er d'où l'on tire
ïï£ = ,(.-ï),.-cos«.„ ou bien, à cause de la petitesse de 0o,
En éliminant 0« entre les équations (5) et (6), on aura définitivement, pour déterminer la flèche.
2l6 CHAPITRE TROISIÈME.
N La quantité - représente le rapport du raccourcissement de la
pièce à sa longueur primitive quand on suppose que la compression se fait sans entraîner de flexion (n** 14); ce rapport est nécessairement petit, car l'expérience prouve qu'il ne saurait acquérir une valeur notable, même en se rapprochant de la valeur de N qui produirait l'écrasement (*). On pourrait donc, sans avoir à craindre une erreur notable sur/, poser l'équation
Voyons les conséquences qui résultent de cette expression. D'abord, pour que /soit réel, il faut que l'on ait
OU bien
N si l'on négligeait - devant l'unité, cette inégalité donnerait
ce qui est la limite iirférieure de N fournie par notre première analyse. On en a une autre un peu plus forte en remarquant qu'on a, d'après l'inégalité (8),
N ou, à fortiori^ en remplaçant dans le second membre - par la
( * ) Par exemple, une pression de 25 kilogrammes par millimètre carré produit la rupture par écrasement d'un prisme en fer, et cependant le raccourcissement correspondant n'est guère que o,ooa de la longueur primitive. Pour la fonte et le bois, ce dernier nombre serait un peu plus fort, mais il atteindrait rarement une valeur maximum supérieure ou même égale à o^oi.
valeur trop faible -j-r- déduite de (9),
(-) N>.r.^^,^^,. ■{ Lihrary.
La valeur de N doit donc être tant soil peu supérieur
mite er^ -, : ; mais elle ne doit la dépasser que très-
peu. En effet, si le contraire avait lieu, on aurait, d'après Té-
quation ( 7 ), -^ = K, K désignant une quantité de grandeur
sensible; donc on aurait aussi /»= Kr^l^» et attendu que ^
doit être un rapport assez grand, la flèche serait grande, ce qui est contraire aux données que nous admettons toujours dans nos calculs, et exposerait la pièce à la rupture. Les pièces chargées debout et fléchies doivent donc être considérées comme étant dans un état d'équilibre instable, puisqu'un faible supplément de compression les met en danger de se rompre : et par conséquent on doit s'arranger, dans les constructions, pour rendre impossible la flexion de ces pièces.
En vertu de ce que N dépasse très-peu la limite inférieure, l'équation (7) peut encore recevoir une autre forme. Soit No
ia /NTT m la valeur de N qui satisfait à la relation i == j^ V "ë" V *~ "ê j '
on aura
¥=[\/?R)-\/ï(-T)Jf^/'
la quantité entre parenthèses sera considérée comme la différentielle de la fonction i/- ( i — ^ ) ®^ remplacée en consé-
( ^l^\ quence par^^^^^ — -^ ^ ^ — -1 soit, avec une petite er-
3l8 CHAPITRE TROISIÈMB.
. . N - No , peur relative, par -=;•, donc on aura
ein
Or — est encore peu différent de — 7— p > donc enfin, en posant N — N« = AN., on aura
^£28 ANo a^
soit, en extrayant la racine carrée,
Ainsi donc, pour que la poutre fléchisse, il faut que la force N atteigne une, certaine limite No, pour laquelle la flèche est encore nulle, mais est sur le point de se produire ; quand la force N dépasse cette limite, la flèche qui se produit est proportionnelle au carré de la longueur primitive et à la racine carrée du supplément de force ; elle est en raison inverse de la racine carrée du moment d'inflexibilité.
Nous venons de voir qu'il y a une limite inférieure de N, en dessous de laquelle la flexion est impossible ; il en existe
pareillement une pour la longueur na. En effet, — ( i 1
étant le produit de deux facteurs dont la somme est constante, on a nécessairement i/— ( I ) <^-? et comme pour
rendre possible l'équation (7) il faut que cette quantité multi-
pliée par-; — devienne plus grande que i, on aura la condition
2a>2i7rr.
Mais, pratiquement, la longueur ainr serait encore insufQ-
PROBLÈMES DIVERS CONCERNANT LES POUTRES DROITES. Sig
sanle pour rendre la flexion possible ; caria valeur correspon-
dente de — serait -> ce qui entraînerait bien certainement Té-
crasement dû prisme.
Pour exprimer la limite que donne cette considération de la résistance à l'écrasement, appelons E| la plus grande valeur du coefficient d'élasticité longitudinale dans la section de la poutre, Ra la compression longitudinale par unité de surface qui produirait la rupture. On aura
— <K, et 7>^^,.,^,^,;
d'où l'on déduit
Ra t'TTV'
El 4a'— i^Tiv' ou bien
2a>i7rrWi-4-g|-
Si l'on veut que la flexion puisse commencer sanâ compromettre la pièce, il faut, dans cette inégalité, remplacer R, par la limite R" de la compression par mètre carré, que l'on peut exercer avec sécurité. Voici, en nombres ronds, les valeurs
de Tri/ i-i- j^ pour quelques matières prises avec leurs qualités physiques moyennes :
Fer 90
Fonte 4^
Bois de chêne 5o
Si l'on avait remplacé Rs par R'', les résultats seraient devenus deux fois et demie ou trois fois plus forts.
Quant à ce qui concerne la vérification de la stabilité, on a déjà dit qu'il fallait éviter dans les constructions d'avoir des pièces chargées debout et qui pourraient fléchir. Cette précaution prise, la charge suivant l'axe donnerait lieu à une compression simple, et à des pressions par unité de surface faciles à calculer en chaque point (n""* Ib et 20). Il suffirait ensuite de
s'assurer que le maximum de ces pressions n'atteint pas la limite R".
85. Prisme vertical chargé suivant son axe et encastré à ses deux extrémités» — Dans ce cas, si Ton se contente de l'analyse approximative donnée en commençant le n** 84, on écrira réquation
dans laquelle /x désigne le moment du couple produit par Tencastrement. En posant/' = j — r^ et désignant par C et D deux constantes, on aura successivement
r = ^ + Csm — i/ — hDcos— t/ — • •'N r y e r y e
Or, X doit s'annuler pour a; = o et :r = aa, ce qui donne
•£ + Csin — 1/ hD cos — if — = o,
-j- doit aussi être nul pour les mêmes valeurs de Xy et, par suite, on a
C = o, D sm — 4/ — =r o.
la se et C = o, on trouve
En faisant dans la seconde de ces quatre conditions -^ = — D
cos 1/ — ==1,
équation qui, jointe à sin — i/— = 0, exige que Ton ait
ry e
PROBLÈMES DiySRS COKGERlfÀNT LES POUTRES DROITES. 221
OU bien
. a' La valeur de / prend alors la forme
yz= — D ( I — cos j •
Ainsi, la moindre valeur de la force N, nécessaire pour produire la flexion dans ce cas, répond à i = i et a pour exprès-
sion — j- -, elle est donc quatre fois plus grande que dans le
cas précédent. La courbe affectée par la fibre moyenne est en* core une sinusoïde; mais elle est tout entière d'un même côté de Taxe des x* La flèche maximum^ égale à — 2D, se ]fto-'
duit pour a? = -rj 3-r> 5-r>"-» (21 — 1)-7> tandis qu'il y aurait
des ordonnées nulles pour ^ = 2 -t> 4-> 6-r5---> 2 a. Cette
flèche reste encore indéterminée, et par conséquent il y a aussi danger de rupture quand la flexion commence.
La considération suivante met bien en évidence l'effet de l'encastrement. Prenons une pièce AB {fig. 44) maintenue à .Fig. 44. l'état de flexion par deux forces N égales et con i^ traires, appliquées à ses extrémités suivant son
axe primitif. La courbe produite par la flexion N sera, par exemple, AGCH1)...B, coupant un
nombre pair de fois la ligne AB entre les points A etB, de telle sorte que le nombre des portions telles que AGC, comprises entre deux ordonnées nulles consécutives, sera au contraire impair. Nous le désignerons par 2/1 + 1, n étant un nombre entier positif. L'équilibre existant, il est clair que dans la section normale faite en G, la
|f pièce GCH. .. supporte l'action d'une force verti-
cale N dirigée suivant AN, qu'on peut remplacer
" par la même force appliquée en G et par le couple
dont le moment serait N.GE. De même» la portion de pièce
222 GHAPITRB TROISlftME*
qui est supérieure à la section faite en K reçoit dans cette section desactions égales et de sens contraire. Donc, si Ton imagine que les portions AG et KB soient supprimées, mais qu'on fasse
agir en G et K les forces N et les couples N . GE, Téquilibre existera toujours; il existera encore si les couples sont remplacés par des encastremejfits qui assujettissent la pièce à conserver sa direction verticale en G et K, et les encastrements donneront lieu précisément au moment N.GE; car s'il en était différemment, la direction de la pièce changerait en ces points. Alors, la partie GCH.. .K représentera une poutre cTiargée debout par une force N et encastrée à ses deux extrémités; GK serait la position de la fibre moyenne de la poutre dans l'état primitif. La longueur GK de celte pièce étant désignée
par 2a, AB sera égal à 2 a. • Donc on peut conclure que
si la pièce GK doit présenter dans sa longueur 2 /» — 1 points où la tangente serait verticale, non compris G et K, après la déformation e|le sera identique avec la courbe ayant 2» ordonnées nulles entre les extrémités, qui se produirait sous l'action de la même force, en supprimant l'encastrement et prolongeant la pièce de manière à multiplier la longueur par
-, seulement il faut observer qu'après cette modification
la flèche maximum sera réduite à moitié, puisqu'elle deviendra GË au lieu de LH.
On pourrait donc appliquer les formules du n° 84, en y rem-
plaçant i par 2w -+- 1, 2a par na. ■ ? /par -/.
L'observation qui termine le n° 84, relativement à la stabilité, serait encore exacte dans le cas actuel.
86. Prisme vertical encastré à une extrémité et sollicité à F autre par une force oblique et un couple, — Soit une pièce dont la fibre moyenne pririiitive coïncide avec la verticale AB [fig. 45 ) et devient A'B après la flexion. En B est un appui avec encastrement; en C, à une distance A'C = / de l'extrémité supérieure , agit une force R dont les composantes horizontale et verticale sont P et N ; devant cette force on néglige le poids propre de la pièce.
PROBLÈMES DIVBRS CONCBRNA.NT iES POUTRBS DROITES. 223
L'équation générale (i) du n'^iS devient ici
en prenant pour axes coordonnés les lignes B^, Bj, et posant AA' = /, AB = aa. Pour intégrer cette équation , on en cherchera d'abord une so* lution particulière , qui sera la valeur de y pour laquelle le second membre devient nul. Soit^' cette valeur, on aura
j* satisferait bien à Téquation ( i ) , car le premier membre serait nul comme le second. Posons maintenant
u étant une inconnue auxiliaire. On aura
et, par suite, en substituant ces expressions de y et de -^ dans l'équation (i),
d'où l'on tire
u = Csin-i /- -f-Dcos-i /"-?
relation dans laquelle G et D sont des constantes arbitraires. Donc finalement l'intégrale générale de l'équation (i) est
(i) -^ = /4-/4-J(2«-^) + CsinJ^^ + DcosJy/^.
On éliminera les constantes en exprimant que pour x = o on a
dr
ce qui donne
et si Ton substitue dans (2) les valeurs de C et de D, on trouvera
aa4 CHAPITRE TROISIÈU. —- PROBLÈMES BIYSRS, ETC.
n y a encore dans cette équation une inconnue auxiliaire /, dont la valeur est celle que prend jr pour a: = aa; on aura donc, pour, la déterminer, ,
3Lr suite,
et, par suite,
Les équations (3) et (4) suffisent pour faire connaître la courbe A'B.
• Lorsqu'on suppose que / et ^ ne sont pas deux quantités très-petites,
il est nécessaire, pour que la flèche reste petite, que — i /— soit un petit arc. Or on a généralement
C08z = I h... , tangz = z + -j-f ...;
donc, si Ton néglige la quatrième puissance de z et les puissances supérieures, on pourra écrire
f est alors la somme des valeurs obtenues en supposant successivement P = o,N = o, cequi n'avait pas lieu quand on faisait entrer jr et /dans Texpression du moment fléchissant, c'estrà-dire quand on tenait compte des changements que les déformations elles-mêmes apportent dans les moments des forces extérieures par rapport à un point quelconque de la fibre moyenne.
Quant à la résistance de la pièce, on voit qu'il y aura dans les diverses sections une force de glissement P, une force N produisant une compres* sion simple, et un moment fléchissant variable N(/+/--/) + P(2<? — av) dont le maximum aura lieu en B et sera N (l-hf) H- aPû. Il n'y a d'ailleurs rien de particulier à dire sur ce cas, à part la condition que Farç
— 4 /— doit ôtre petit; et quand on aura, par la méthode générale exposée au § m du chapitre I*% calculé les tensions maxima de toute nature dans une section quelconque, on s'assurera que les dimensions sont suffisantes en procédant comme aux n** 80 et suivants.
POUSSÉE DBS àKGS CimCULÂlRBS. 2a5
CALCUL DE LA POUSSÉE EXERCÉE PAR UN ARC REPOSANT SUR DEUX APPUIS FIXES, LORSQUE LÀ SECTION EST CONSTANTE ET QUE LA FIBRE MOYENNE, PRIMITIVEMENT CIRCULAIRE , SE DÉFORME EN RESTANT DANS UN MÊME PLAN VERTICAL.
§ !•'. -- Poussée due à Ane force isolée, horizontale on verticale , à un conple et à nne dilatation linéaire indépendante dea charges.
87. Des questions qui doivent être traitées dans ce chapitre, — Dans les constructions , il arrive assez souvent que les pièces courbes employées opt une section constante, et que leur fibre moyenne est un arc de cercle situé dans un plan vertical. La pièce est symétrique par rapport à ce plan , et toutes les forces qui agissent sur elle y sont contenues; de telle sorte que la condition du n*? 48, nécessaire pour que la déformation soit plane, se trouve naturellement satisfaite.
Les arcs sont ordinairement supportés à leurs extrémités par deux appuis placés dans un même plan horizontal, et dis« posés de manière à rendre invariable la distance des deux points de l'arc avec lesquels ils sont en contact; mais ils ne doivent pas, en général, être regardés comme produisant un encastrement.
Nous nous proposons, dans le cours de ce chapitre, d'établir des formules qui permettent de calculer, seulement par des opérations algébriques, les réactions des appuis d'un arc placé dans de telles conditions, les forces étant supposées quelconques; et, en second lieu, de réduire ces opérations aux calculs numériques les plus simples, pour le cas usuel où les forces ne seraient autre chose que des poids.
88. Notations principales de ce chapitre. — Soit donné Tare AEB {fig. 46 ), reposant sur les deux appuis A et B, et suppor-
