K ( — I a?t-(- 'initx^ x'\ + XxX^ x

8(i7) = K (— 3ntV — a?i + 0^2 x'\^ - x'^-^ . . . j ,

et d'après les remarques faites ci-dessus, il n'y a pas d'autres ternies séculaires ou mixtes dans ces expressions que ceux qui sont écrits.

Cherchons ensuite l'effet de la partie v.n'^a- - de W. En faisant W = 'AJi'^a^ -, on a a '^ = — W, et l'on peut prendre W'= W, en

faisant entrer dans W une constante, ce qui n'a aucun inconvénient; cette constante est d'ailleurs exacten^ent égale à v.n^a^. comme on le

sait d'après le développement de -• Par suite

l* x/ia ^ CP «/. /->

■ ^ — —, S = x/i — (secç — O).

•xna'- 2 /• na^ r

n on a

= IH- Xx-^X^-^IXl-^IX^^.

lir suite on trouve

QXy = y. 4 nitXi X2-\-.

8( tV) = y- { — nit

- Xi -4- nitXi

Xi^ Xf

Dans ces expressions encore, il n'y a pas d'autres termes séculaires mixtes que ceux qui sont écrits ; il suffit, pour le voir, de se reporter a la définition de 3,, z-i, G, et d'observer que d'après le n°81, les

développements de - s cos a, - e sin u suivant les puissances de Xi et X2 n'offrent aucun terme constant, tandis que la partie constante de -

est l'unité.

On peut vérifier sans j)eine que le mouvement défini par les for-

mules précédentes, comme celui défini par les formules qui dépendent de K, sont des mouvements képlériens, ainsi qu'il est nécessaire a priori : il suffit de donner les valeurs convenables au demi-grand axe, au mojen mouvement et à l'excentricité.

Déterminons maintenant K et x comme nous l'avons dit, c'est-à-dire de façon que l'expression totale de Ô(//) soit privée de terme séculaire, et de façon que les expressions totales de oXi et de 0^2 n'aient aucun terme constant. On aura

K =-■/.= ia'(i-2D)6|"

(au degré d'approximation envisagé, et hien entendu en ne tenant compte que de l'action de M'). Les expressions finales complètes des perturbations sont alors

èxi = \x.'nitXi / i — DM è^ ^ ^' ^^ / i ^ 1 02 j èf

+ II' nitXk'-^ x\ (— 7 + D2J 4+ ,u'À-'>^'-/^2 (1 — - ^') 4,

S^2= ijt'.ri (— o + -D^j bj-^ n' nitX2 (—7 + D^ j è|

-h iJ.'ll'-^x'f (^ — - DM èY-t- ix'nitl-i\'x'.> (^ — dA bj, o(t7) = ii'(xi — X2){—i-^/il)^)b^^ |jL'(XX'-ia-',— )-iX',r'.)(6 + 2D — 4D2)6f.

et en remplaçant f D^ — - j 6g par èf , / D^ — 7 ) ^T pai' f^li

8(logr) = [i. nit{xi — x^) b'\ }»■' {x^ -^ x<,) b'j

u'nt7(XX'-'jr', — X-'X'.r'o) 65

. + [ji'(XX'-»^', H- X-iVx'^) / — I + ^ DM bj,

S ( tV ) = — lu nit {x\-\- x^) 6^4- 3 [J.' ( ^1 — ./-^ ) b\

-+- 2 jJi'/ii7(XX'-' x\ -+- X-' X'a"j ) 65

+ [ji' (XX'-i a?', — X" 1 \'x[, ) /-^ -4- 2 D — 3 D^") 4-

Si l'on veut que dans l'expression de iV' le coefficient total de e'^" reste égal à e, comme s'il n'j avait pas de perturbations, il suffit de choisir la constante r> qui figure dans la première formule (la), de façon que

•^. T| 1 -4- 3 [jl' - 6î + a' - e'^/o-so-'o+n-; i ( — -^ ■>. D 3 132 \ ^^ = ^ •

et alors la partie de l'expression totale de logr qui dépend de e'S deviendra elle-même

'a7i b\ ^- ;jl'àà'-i^', ( - -4- D — D2^ b{.

— Xi M- [i.

Quant aux perturbations dépendant de X' et de degré zéro par rapport aux excentricités, elles correspondent à

R /aa' = S b'j }J !'-■% ce qui donne, avec les notations déjà employées.

ÙX)

et il en résulte