I -(- séc 9 seco sec^ — sin^cp
soit
Co= 1 — sécip = 2 -^ XiXi-\-'ixJx\-{- iox'\x\-\- . . ..
Arrivons enfin à la détermination de la dernière inconnue ^, que nous allons remplacer par ^ := — • Soit Sq une constante, et appelons To, (Vo) Ui)-) 1^' rajon vecteur, l'anomalie vraie et l'anomalie excen-
NOUVELLES METHODES POUR LE CALCUL DES PERTURBATIONS, ETC. 5j
trique qui correspondent an demi-grand axe a, à l'excenlricité Sq et à l'anomalie moyenne jit-\-gQ déjà introduite ci-dessus. La dernière équation (5), qui détermine z-^ peut être écrite sous la forme
en faisant, d'après la définition de C et la relation qui existe entre /i, a, k^ :
(lO
àW
L'équation précédente, privée de second membre, est une écjuation différentielle linéaire homogène qui, d'après les propriétés du mouvement képlérien, admet les deux solutions particulières ToCoscv'o et To sin«Vo5 ou encore cosï/o — ^o et siui^o, et par suite aussi z\ et z\, en désignant ainsi les deux fonctions z^ et :;,, définies ci-dessus, dans lesquelles on remplace Xi et x.i par
on vérifie d'ailleurs immédiatement que l'on a
z'I —f- — z\i —y^ —~ini.
' dt ' dt
En suivant la méthode de la variation des constantes, nous pouvons mettre X^ sous la forme
et déterminer Ci, Cj par les relations
dt
dzj dCi dzl dCj Z dt dt ~*~ dt dt ~ a^-
ou
^Ci zjZ idt ina''-
idt
âïL
et finalement
lOo. Le- problème est ramené aux équations (^), (9), (12), et, en tenant compte de la définition (3) de W, leur intégration dépend de six quadratures, introduisant six constantes arbitraires. Mais nous en avons déjà six autres, savoir x, n ou a (ces deux équivalent à une seule en raison de la relation qui les lie), s,,, ^0? et les deux éléments qui fixent la position du plan P, par exemple son inclinaison j et la longitude 9 de son nœud ascendant. Cela fait en tout douze constantes, et nous pouvons par suite disposer à notre gré de six d'entre elles, de façon à remplir telles conditions que nous voudrons nous fixer pour simplifier les résultats.
Afin de ne pas surcharger les notations, écrivons simplement e au lieu de £„, puis Xi et x.^^ Zi et z, au lieu de x\^ x\^ sj, zl; désignons ])ar g l'argument nt-j-go, et de môme par l l'argument nt-\-lo, où Iq est une nouvelle constante arbitraire ; de sorte qu'en résumé, en introduisant encore \ comme précédemment,
g — nt-\-go, x=e'S, xi= -.V, a-o = - ^"S l — nt ^ Iq, \ = ei'.
Dans ces conditions, il faudra avoir soin de remplacer partout a:,, Xi, l ^ixr Xi-\-ùXi, Xi-\-'^x.,, I-+-0I, sauf toutefois dans l'expression de /'o fpii ligure dans la formule (11) et dans les expressions de ^,, z^ qui remplacent maintenant z^, zl dans l'équation (12). En convenant, en outre, d'effectuer les quadratures indiquées sans addition de constantes, à l'exception cependant de la quadrature W, dont nous désignerons la partie constante par W^H-W", nous aurons, pour déterminer J^ et les nouvelles inconnues ^Xt, ox,., S/, les équations définitives
•Il -+■ / --^ idt) , J 1 na- J
o(f7) = iVo-f- i (:
C = 2, ('li+ I -^^ i dt) — ^2 ( /2-+- / -^i-1
dt
où -/11, yjj, /», -/i, y, sont des constantes arbitraires.
On doit observer que P, S, Zt sont des fonctions réelles, de même
que S/; Zxi et ox, sont des quantités conjuguées, de même que les deux termes dont ^, purement imaginaire, est la différence.
On obtient une solution entièrement définie, sans constantes superflues, et d'une parfaite netteté, en opérant de la façon suivante : 1° on prend W» = /" = Th = 7i^= y i = y, = o ; 2° on détermine W'^ et X de façon que l'expression de ù{il) ne contienne aucun terme
CP
séculaire de rang un^ c'est-à-dire de façon que la fonction S —^ n'ait
pas de terme constant; et en outre, de façon que la partie constante, évidemment commune, des valeurs de o^Tj, ^x. disparaisse (les parties constantes de oj?,, ox.^ sont les mêmes parce qu'elles sont réelles, comme nous le verrons plus clairement par la suite).
Les inconnues oj?,, ox,^ ol, ^ sont toutes de l'ordre des forces perturbatrices.
Pour une planète donnée, les constantes «, e, ^0) ^05 Ji ^ ^l^^i définissent cette solution ont des valeurs parfaitement déterminées. Mais, pratiquement, on ne peut connaître que d'une façon plus ou moins approchée ces valeurs ; pour éviter leur changement continuel avec les perfectionnements successifs que la précision croissante des observations permettra d'apporter à la théorie, il sera préférable de les regarder comme des nombres fixes choisis une fois pour toutes ; mais alors, il faudra conserver dans les formules les constantes W", /o, rii, Tjj, y,, yj, et c'est de ces constantes, nécessairement très petites, que l'on pourra disposer pour réaliser l'accord de la théorie et des observations ; ou bien encore pour atteindre d'autres buts que pourra suggérer le besoin d'une plus grande commodité dans l'emploi des formules.
106. Il nous reste à étudier la forme du développement de la fonction perturbatrice W qui s'adapte le mieux à la méthode actuelle, et à examiner la façon de former les diverses fonctions W, P, Z qui en dépendent.
On a
de sorte que nous devons envisager tout d'abord la partie de la fonction perturbatrice proprement dite V, qui provient de l'action de la planète M', la position de celle-ci étant définie par des coordonnées
analogues à celles qui (ixenl la position de M. En réduisant V à cette partie, on a donc, en appelant p, o' les rayons vecteurs OM, OM', et
en désignant par p, p' leur angle
\ = fin' Or on a
r . ,„ / / ^\ 1-^ PP'C0S(P, p')
[p'--Hp2 2pp COS(p, p )] -'— ^^ ,,/
pp' cos(p, p') = rr' cos(;-, /• ) -f- r' z cos(/-', -î ) -1- rz' cos(r, z') -f- ss' cos(z, ^'),
/^ en notant de la même façon /•', z par exemple, l'angle des deux
vecteurs r' ou OM'j, z ou M/iVI.
Faisons alors
r, r — U, A- = r2 4 ,.'2 ^ /•/•' cos H,
w = /• ,3 cos(/' , -3) -H r;; cos(/-, z') -r- zz cos(z, z');
on aura
y =/m'|(A2- no 4-^2^ :;'2r- — (/•/•' cos II + w) (/-'^m- 3'^)"^] ou encore
V=/m'(R-hAR),
en posant
R = rrcosll,
AR = w — A-3 + - oj ) A-»
-7- -i- ( /•/■' C( I.S II -^ (O ) ( - ^.- -+-...) ,
La fonction R ainsi définie ne diffère en rien de celle que nous avons étudiée au Chapitre XIII, et se développe exactement de la même façon, avec les mêmes notations.
Toutefois les quantités a, «', y, 9, j'^ 6' sont maintenant des constantes ; il en est de même par suite de a-,, cr^, o-j, a-', et des fonctions Bj' qui peuvent être calculées numériquement une fois pour toutes; les seules variables qui restent sont A, Xi, x^, V ,■ x\^ x'^.
Au lieu dey, ^1 j' -, ^^ mettons en évidence les éléments qui fixent la position relative des plans fixes P et P', auxquels sont rapportés
les mouvements de M et M', respectivement. Soit 01 la direction de l'un des nœuds de P' sur P; appelons - la lonj^itude de 01 comptée dans P de la même façon que c, et de même t" la longitude, de 01 comptée dans P' comme t' ; soit de plus J l'inclinaison de P' sur P, comptée autour de 01; un calcul trigonométrique simple déterminera T, t', J.
On a alors
cosli = cos(p — t)cos(p' — ~')-i- sin(f — -:) sin(f' — z') cos J, et comme
■1 cos H = (14- ai ) e'i"-"') -4- (i [ (jj) e-''("-<'' -f a', e'^t'+f') -+- a'^ g-^d'+t'')^
il en résulte immédiatement
■sin2-e-«'iT-T') .
sin' - e'f^-'^''
7'., = sin2 - e'('c+'').
Avec ces mêmes éléments, on a aussi
cos(/' , z) = sin J sin(p' — r'), cos(/-, 5') = — sinJsin(f — t),
COS(3, Z )= COSJ,
le sorte que, si l'on fait ici
on peut écrire
AK = ( eu H — ^ 1 A-' -H - j w -) : ■— ] A-5 ■
^, -(/•/• cosII-f-o>)(^- __+... j
Le développement de A R s'ordonne sans peine suivant les puissances des quantités toujours très petites s et ^', de sorte qu'il n'y a pas lieu de le prolonger bien loin; et pour obtenir les coefficients de ce
6o CHAPITRE XVI.
développement sous la même forme que la fonction R, il suffit d'indiquer le*^ développements correspondants de A~^, A""*, ...; les autres fonctions de reli^, r'ett^' que l'on rencontre dans AR, comme aussi dans W, se développent suivant des formules déjà connues. Or, d'une façon générale, on voit immédiatement, si l'on se reporte au Chapitre XIII, que pour passer du développement analytique de A"' à celui de A"-/'"', p étant un entier positif, il suffira d'observer les rci;lcs suivantes :
1° on multipliera Rq par (^ad)~P ;
2" les coefficients BJ' seront remplacés par
^^ l'i .qx\ (J'i.\ q\\ q.^\ \ i \ -i s-q,-\-q^-'
3° les coefficients AJ' restaiat les mêmes, il faut changer D en D — p dans les opérateurs N^,,^;,.,, et en D + /; dans les opérateurs N'^J^,^, de sorte que ces derniers se déduisent toujours des premiers par le simple changement de D en — D.
Si, comme au Chapitre précédent, nous posons
nous pouvons écrire finalement la partie de V qui provient de l'action de M' sous la forme
V = 2 [a' «2 «2(^1^ \J aa' -^ AR \J aa'\
la |)arenlhèse étant homogène de degré zéro par rapport aux longueurs.
La fonction W se présente tout d'abord comme une fonction des coordonnées r, v^ z\ quand on j remplace celles-ci par leurs nouvelles expressions, on peut la regarder comme une fonction de «, / ou a, r, et X. ou bien s et »•, ([^ ; et en dernière analyse, d'après les développements précédents, ce sont les quantités a. )., ,/|. ./ ,. X^ que l'on conserve, les quatre dernières seules étant variables avec le temps; l)ien entendu, il ne s'agit ici que des quantités qui correspondent à la planète M elle-même.
Les formules qui expriment /•, e, z en fonction de «, /. s, i.', ^ sont
NOUVELLES MÉTHODES POUR LE CALCUL DES PERTURBATIONS, ETC. 6l
de la forme
o{e, o), ']/(£, g) étant les développements képlériens connus du quotient- et de l'équation du centre.
On a par suite
da
lu
1 ^' a dz
àg di>
7^ ~~~"'''Jz"
Inversement, il vient en particulier
d\\ aw
^ JW
<fr aa
Nous avons déjà utilisé la [)rcmiére de ces relations pour former la quantité Z-, soit
Z = -rp- ^- n-a-
la seconde servira pour la formation de la fonction P, qui devienl
ainsi
yàW I , ,«%, , , cK''
Oa
{ni dt)^
Pour calculer a— r— j on n'oubliera pas que n et a' sont en réalité ()a i T t
des fonctions de a; et si l'on regardait ces quantités comme des variables indépendantes, la véritable valeur de et -y— serait
àa
àW 3 r)\V i , dW
(la ■>. (la }. o\).
remarcjiious ciK^orc (pie pour appliquer l'opération « ,- à la fonc-
lion {(in') ^ A^-/'^', qui ne dépend que du rapport a par l'intermédiaire des coefficients de Laplace, il suffit de la multiplier symboliquement par D, si du moins l'on suppose «<<«'; dans le cas contraire, il faut, comme nous l'avons déjà dit, remplacer D par — D.
Il ne z-este plus qu'à former la fonction W dont on déduira P par
la formule ci-dessus, et aussi
hy \ 2 /-S ^ 2 (m dlf )
On a
I yî ^^ ^ F / 7-2X2
s=s-----^s.+ i(£ls-.-..
<^W' àV^ dr àW dv oW dz "Ï/F ~ àr dû dv dl ôz TU'
or, d'après la méthode même suivie au numéro précédent, on a aussi
dr dr
dv II àv
dt dg
dt r-' <):^-
/•■et V étant toujours exprimés comme ci-dessus à l'aide de «, /, s, g- 11 en résulte immédiatement, d'après des relations déjà établies,
d\\' ^ ^ â\\ à\Y fAV dz
dt (IL og Oz dt
et, d'une façon définitive,
d\\ dt, •
107. Donnons maintenant les indications nécessaires pour le calcul des perturbations du premier ordre par rapport aux masses perturbatrices; et tout d'abord déterminons Ô:c,, ùx^i ^ (^0*
Puisque la coordonnée s est elle-même du premier ordre, il faut réduire la fonction W à
\V = ). \i! /i- «2 ( R J aa' ) — y, n- a''- — t
en ne tenant compte que de l'action de la planète M ; et dans la
fonction R, comme dans -j les variables /, ic,, x<,^ l\ x[^ x'. sont
réduites à leurs valeurs de première approximation définies précédemment.
Dans les mêmes conditions
^W , JW ^AV J\V
m dt l)k OXy OX.2
, ()W séccp ,
()a na^
Envisageons en premier lieu les |)erturbations qui proviennent de M'. La fonction \\\/aa' se développe, d'après le Chapitre XIII, SOUS la forme
"^ ) .■>■ ■) '*•' -rP^ rP-i ■r'P^ -r'/'sX* N'-V , H ^
^A A •> a^l X', X'^ X^ ^L\f,^,p,i^f,'^,p'.^iy^y,
s et 5' étant deux entiers quelconques de même parité.
Partageons ces (cnnes en divers groupes, les exposants 5, 5', pp/>.; étant fixes dans ciiaque groupe; et considérant spécialement un de ces groupes, que nous écrirons sous la forme
se
PuP^
erehons les perturbations qui en résultent.
Les coefficients G„ „ se présentent sous la forme d'une constante multipliée par l'exponentielle g* («'+■«''')+' (7'',-/'^) A'', de sorte que le coefficient de il dans l'exposant de e est égal à la quantité sn -\- (s'-\-p[—p',) n', que nous appellerons Tn; de la même façon,
la valeur de ^c'/i x'^^ est ( -] ' ' e^'^P'/''-^-^, et le coefficient de it
dans l'exposant de e est (p, — p2)n.
La fonction R étant ainsi réduite, on a immédiatement
en faisant
2 \x' n- a- S G', „ .xf'.' x'^.'-
-^Pl—p-2
Cn
IU,Pi-
La quadrature est effectuée sans addition de constante : nous étulierons spécialement plus loin l'effet de la partie constante de W.
On doit prendre évidemment C^,, ,,.^ = o toutes les fois que l'on a ;-l-p, — p.>z=:o; pour les coefficients C' „^ restants, aucune difficulté ne peut se produire, car le diviseur 7 + /?) — p> ne saurait être lul si l'on n'a pas ù la fois 5+/», — p-2. = o, ^'-]-p[ — p'-i = o, puisque
rapport — est supp On a ensuite
osé irrationnel.
(ia
de sorte qu'en posant
'Pt'P^'
il vient
Effectuant les quadratures indiquées dans les équations (i3) sans addition de constantes, on en déduit immédiatement
y.'xP^^xP^^
Pl—Pi—I
ox-z = 7 — ( — G',',,. ,,., — C'!,,i, „„ -f- 3 G,",,, ,,,!
Ces parenthèses sont limitées, puisque les indices analogues àpt, p^ ne peuvent devenir négatifs; et dans oa?), par exemple, il n'y a pas d'autres coefficients C" .,i^j,., que celui qui correspond à jo = o.
Dans ox^ encore, si l'on a s'-^p[ — ■jy^ = o, ou ce qui revient au
même cr = 5, et si 5 + Oj — yOo = i , il faudra remplacer
par int, et la partie correspondante de ^Xi sera de caractère mixte, renfermant le facteur variable inte'"^.
Une observation analogue s'applique à oa;2.
On trouve ensuite
■^ ix'x!''xll^ [ ,
Cette parenthèse est encore une expression limitée : et d'après la valeur de la partie constante du coefficient C indiquée au n" 104, le
coefficienl de Cj,,^p „^„ est toujours le doul)le changé de signe de celui de C"^^j,p^^„ sauf pour p = o.
Si l'on a a- = 5 et ,v -4- o. ^ — ». = o, il faudra remplacer — —
par int, et la partie correspondante de 3 (il) sera séculaire de rang un.
D'après la forme des coefficients Cp^^p^, on voit que les expressions de oXf^ Sa?2, à (il) sont du second degré par rapport aux inverses des différents diviseurs ar-+- p, p étant un entier quelconque. Cherchons les termes qui dépendent en particulier du carré du diviseur a-+/> : il suffit de se reporter aux remarques faites ci-dessus pour voir que
l'on pose
;ii 1 on r
V — fi ti' ^ ^ P V r rP^a-P*
là somme étant étendue aux seules valeurs de pi et p-2 telles que P* — P-i^^Pi l^s parties de Sic,, 0X2, o(f7) qui renferment les termes cherchés sont respectivement — a7,X, iCo^r —X. Ces résultats, qui permettent le calcul immédiat des parties les plus importantes des inégalités à longue période de ô/, S^,, 0x0, étaient faciles à prévoir a j9/*W77' d'après les développements du Chapitre précédent.
Les perturbations de log r et de v se déduisent immédiatement en g(''néral des développements connus
log/- = log a — Xi — X^ {x\-\- X'^) -h X^X-î-ir . . . ,
IV = il -^ "y.iX] — x^) -\ — {xl — X^) -ir-. . .,
de sorte que pour les perturbations du premier ordre, en particulier, a simplement
log/- ) = OXx ( — I — iXy-\- Xi X-{-\- 0X1X2-+- -X.j
8 ( jV ) = 5 ( ;7) -f- o.r, ( 0. -+- 5xi~h l'ix^ — 2 x\ Xt -l- xl
io3 . „ II 1
H- -:r- x^ — lia^fiPî-l- — a:|-(-.
-+- OXi{ — 2 — 5Xi . . . ),
ANbOYER
les coefficients de 0^2 étant conjugués de ceux de Sa^i, avec changement de signe en plus dans S {à').
On voit clairement que pour obtenir les expressions de ces perturbations jusqu'à un certain degré par rapport aux excentricités et à l'inclinaison mutuelle des deux orbites, il suffit, comme nous l'avons annoncé antérieurement, de prendre en considération les termes semblables de la fonction perturbatrice.
Pour ramener tous ces résultats à la forme réelle, on fera comme nous l'avons dit au Chapitre précédent. Ajoutons qu'au point de vue du calcul, on pourra déterminer le rayon vecteur et la longitude à l'aide de ^,, ^25 ^5 directement, sans passer par l'intermédiaire des perturbations o(logr), S (fV).
Afin de retrouver les résultats du Chapitre précédent, cherchons d'abord plus explicitement les perturbations des diverses variables et coordonnées pour lesquelles on a a = 5, sans dépasser le premier degré par rapport aux excentricités et à l'inclinaison mutuelle J. Dans ces conditions, on doit prendre
et l'on trouve aussitôt
-H iJL'XX'-'a;', (1 — ^ D2\ è|-+- fjt'rtùX-'X'ar'a (^ — ï)^\ b\,
+ [x'(XX'-ia7'i — X-U'a:^)(6-^ 2D — 4D2) 6f.
Avant d'aller plus loin, cherchons d'abord l'effet d'une constante Wo ajoutée à la quadrature W^. En prenant W^ sous la forme n'^a^ K,
on trouve
S:r, = K ( — I — 3 nitxx x^ x'\-\- x^x^, x\-^. . .\,
