ao'y- ( aa')'-^ > i- i • • • i en

celui de — -~ s en déduirait en corrigeant les coetncients

D^èg comme nous l'avons vu à la fin du n° 90 à propos de la partie complémentaire de la fonction perturbatrice ; et il ne serait pas difficile d'indiquer des règles précises pour le développement des produits

de cette fonction par les facteurs —, e-'"', si l'on ne veut pas effectuer ces produits directement.

Mais bornons-nous à chercher la partie principale de î^, en négligeant les excentricités et les puissances supérieures de l'inclinaison mutuelle J des deux orbites; et laissons en outre de côté les termes qui dépendent de )/. Dans ces conditions, on a

2na* et l'on en déduit immédiatement

r == ^'nit( y', 1 -+- t'.)-')bi - - i±'{y\ \ - y', \-^)b\

il est facile de vérifier que ces résultats sont entièrement conformes à ceux du Chapitre précédent.

Le calcul des perturbations d'ordre supérieur au premierne saurait offrir aucune difficulté théorique : nous ne nous j arrêterons pas, pour les mêmes raisons que précédemment.

108. Pour la méthode de Hansen, que nous devons exposer maintenant, avec les modifications jugées convenables ici, partons des équations (i) et (2) du n" 103; puis substituons k r el v deux nouvelles variables b ei g choisies de la façon suivante, qui marque le caractère propre de la méthode.

Soient £ et TîT deux constantes : nous mettrons r et p (et par suite toute fonction de ces deux quantités) sous la même forme que le rayon vecteur et la longitude dans l'orbite dans un mouvement képlérien pour lequel g serait l'anomalie moyenne, b le demi-grand axe,

e l'excentricité, m la longitude du périhélie, de sorte que

r — b I l-^ £ cos ^ cos 2 ^

r = rn -t- j^-4- uesin^-(- - e^ sina^ -+- ,

Ces équations définissent complètement notre changement de variables, et il faut former maintenant les équations qui déterminent les nouvelles inconnues b et g.

Nous désignerons dans ce qui suit par p le quotient t* par 'h la

différence t^ — m, c'est-à-dire l'anomalie vraie qui correspond aux éléments ^, s : p et 4^ dépendent uniquement de la variable g^ et du paramètre e ; on a de plus ç z=tt5 -\- <h. La première équation (i) devient alors

''-^ ^ dg cU '

mais en faisant toujours s = sinœ, les propriétés du mouvement képlérien donnent

o' -r~ = coscp;

on a donc d'abord, en reprenant la seconde et la dernière des équations (i),

,r. dg h ff^r) ^-+^=T

Posons maintenant, en désignant par ). et |jl deux nouvelles variables

provisoires,

— = -7 — h Acosu; -H a siniL, r h

- - = X si n ili — u cos <li :

dt ^ ' ^

(lilï'érentions ces relations, et tenons compte des équations (i); il vient

cos

, d\ . , du. / I /:» \ „

f/A dix

^ dt ^ dt

En faisant

F = cos(]/ (j -h -^J Q-i-siiriR,

on a donc

777 ~ ■ df ^ ' et par suite, en portant ces valeurs dans l'expression de -)

(17) 7 ~ ? "/ ^ P costj; / F t/< -)- p sini]; / G <:// ;

les quadratures comportent d'ailleurs des constantes arbitraires non écrites.

Les équations (i5) et (i-^) sont les nouvelles équations du problème : elles entraînent encore une relation intéressante qui nous sera utile plus tard. La fonction j- écrite ci-dessus dépend du temps : i" par l'intermédiaire des trois facteurs p, p cos-]^, p sin'|, qui sont des fonctions de g', uniquement; 2° par l'intermédiaire des facteurs^, / ¥ dt, I Gdt. Faisons alors

Tg\b]-^gTr^ dg j^''^'^ ~^r~J

on aura

dt\b) ~ âi\b)'^ d^yb/llt' et aussi

rf /h dt

I h , \ dh h db [ùj "" b 77 ~ b^ ~di''

or, d'après les valeurs de F, G et celle de Q, on trouve immédiatement

d I h\ I dh ai \l) ~ b lu''

il reste donc, en se servant de l'expression de -— j

d / h\ db

("^ J-gK-b)--'''''^ dt

Soient maintenant ii et a deux constantes arbitraires liées par la relation n'^a^ = k'^ ; faisons encore

et, en désignant par «o ime constante arbitraire, appelons y l'argument nt + ^0- Posons alors

substituant ainsi à g, b, h, z les nouvelles inconnues équivalentes a, |3, cr, JT; soit de plus co une inconnue supplémentaire telle que

En fonction de [^ et w, on a d'abord

P , ft "^— P

f)uis, par la première équation (i5),

ndt ^ ^' -x

c'est-à-dire

(20) a = (To+ / w|-(a-HP) — ^ — i- /i </^

en désignant par o-q une constante arbitraire.

Il faut maintenant déterminer ^ et m. Introduisant la fonction W définie par les formules (2), on a par la deuxième équation (i5) et l'équation (17)

I -I- ^ — p s6c2 !f ( I -I- P) -i- p cos t}> / -— F rf< H- p sin (}^ / j-Gdt;

or l'expression képlérienne connue de p en fonction de d/ donne

p séc* cp = I — E séc* cp p cos <}> ;

|)ar suite, en n'oubliant pas que les quadratures actuelles comportent • les constantes indéterminées non écrites, la dernière des équations jjrécédentes devient, en remplaçant p sec'' o par sa valeur dans le

premier terme du second membre

w = 3'^ -h pcos<\i I (^F — 'ie séc* tf -^) dt -^ o sin 'h 1 j-Gdt.

Si l'on fait maintenant

/ «£ ho . , àW

P3= -j— COSCi G,

et que l'on désigne par p,, [32, ^j trois constantes arbitraires, on a finalement, sous une forme que la suite montrera avantageuse,

f -+- p sin^i séc'f / ^3-+- / Ps <5?f

Rappelons d'ailleurs que

. , /dW 3 /:»a2Ç2\

F=:COSJ.(--f-- — +S.

Quant à la relation (a), il est facile de voir ce qu'elle devient : en faisant comme précédemment

âtu â(p cos<\)) / r \ Ojp sinij/ séccp)

(...^Jp,,,)^^i£iMi££î)(p.^/-p,<,,

on a immédiatement

(S) " ^^^JL^.

^^' dg (i + a)2 ndt

Pour déterminer enfin ^, opérons comme au n" 104. Si l'on ppelle po, 'Lo ce que deviennent les fonctions p, '} lorsqu'on j fait

y, la dernière équation (i5) peut s'écrire

rf2r n2Ç z

avec

L'équation précédente, privée du second membre, admet les deux solutions po cos^Oî po sin'|o5 telles que

PoCOs4^o^(poS'in4'o;— posinij^o ^(PoCOS(|>o) = ncoscp;

^mtë^ on peut mettre facilement ^ sous la forme

(•>4) ^ = po sirn];o séc© //j-h / po ^"^'^o;^^^)

— Po cosij^o (x2-f- / po sin^/o ^^<^?";^ ^0'

en désignant par y,, '^2 deux constantes arbitraires.

Le problème est ainsi ramené aux équations (i4)j (18), (19), (20), ( 22), (24), et dépend de six quadratures, que nous supposerons eirecluées sans addition de constantes superflues, puisque nous avons déjà mis en évidence les constantes qui les accompagnent.

On voit encore que la solution dépend en tout de treize paramètres arbitraires, savoir : x, n ou «, s, m, ^0, les deux éléments y et 8 qui, comme précédemment, définissent la position du plan P, puis o-q, ^j, Tj-j, [^3, y,, y.,; nous pouvons donc disposer à notre gré de sept d'entre eux.

En particulier nous pouvons prendre 0-0 = 0, puis déterminer

|ji, P2, [i■:l^ /j, ya de façon que les expressions de -t- et a n'aient

s de partie constante, en même temps que les fonctions o- etJ^n'auont aucun terme périodique en siny et cosy. On obtient ainsi une solution entièrement déterminée et d'une parfaite netteté, définie par s constantes «, s, ra, ^o» Ji ^', et les inconnues a, ^, cr, w, Z, sont butes de l'ordre des perturbations. Gomme précédemment, et pour les mêmes raisons, quand il s'agit d'une planète donnée, on regardera a, e, (D, goi ji 9 comme des nombres fixes choisis une fois pour toutes, et l'on conservera dans les formules les constantes cto^Si, [Î25 ^sr/tr/a?

I su ?^To

afin de pouvoir en disposer pour réaliser l'accord delà ihéorie el des observations; elles ne pourront avoir que des valeurs extrêmement petites si les paramètres fondamentaux a, e,. . . ont été bien choisis. Revenons aux formules (21) et i2ibis) qui définissent P), Po, P;). Pour calculer ces fonctions, substituons les deux variables b et » à/' et v dans la fonction perturbatrice \\ . On a

d\\ àr

àW

dW àr dW rh

àb

dr db'

dr àg dv i)i;

et, d'après des formules connues,

dv coso dp

= laiiii c; siii'

il en résulte

, rAV

p2 sec«p

dg i T T ^^

On trouve alors sans peine, en faisant toujours usage de la relation

p(l + £ COS'J;) = COS^ç,

les résultats suivants :

I àW

na- dg ' ' \b ' h'^

■+- b —-r H suî'L sec^cp 1 —

na- db \ b

■1 S(';c- o (^W na- à g

l^^pcosd/

^ p2 src- '.p ( cos 4^ -h £ )

i b -T.- sind> seco -j^ -+- tt (p — 0

• , ' î- «' - 3/10 SU1 7 sec ? — : TT '

■1 séc^G ()W ... /« , /^o '

na' dg ' ^ ^ \b ' h'^ ^

b -, V ( cos'J; -H s ) -+- -— f £ P sui- il^ scc2 m

— 3/ip COSU> — . -r--

Comme nous avons posé

on voit immédiatement quels sont les termes en a, ^, ^^, '^-^ ... dans ces formules; en les laissant de côté, de façon à limiter P,, Pg, P3 à leurs parties principales du premier ordre par rapport à la force per- \ turbatrice, on a simplement

\ na^ ôg

, , . , I „ 2 séc^o fcos^o — p2 ol\V • , . , ^W I

423 OIS) i P, = i i i ^ h 0 SI II J; S('cw6 ^rj- .

|j^ 1 ' '^'^'-'^ L ^ dg ' ^ ^ ab \

\ 1 séc^o f (^W <^W1

I P3 = -r- p siiitL séco( cos-'j -f- p ) -r (p cosJ/ -H 2£)6 -^-r- ;

\ na- \J ^ • àg ' ' db y

lais il faudra se souvenir que ce ne sont là que des expressions incomplètes.

Ajoutons que

nâ^ ~ na^- ^i;~ "^ " ^ l^ ^ ~ ^ P ,