La fonction W a pour expression

el pour son utilisation dans les formules précédentes, il suffît évidemment de considérer de plus près la fonction perturbatrice proprement dite V, ou plutôt la partie de cette fonction qui provient (le l'action de la planète M', dont la position sera définie par des

ordonnées analogues à celles qui fixent la position de M.

Gomme au n° 106, introduisons les éléments t, t , J qui déterminent la position relative des plans fixes P et P', et soit

cosll = cos(f — t) cos( p' — t') + sin(p — x) sin ( p' — -c') cosJ, A"- = r^-^ 7-'^— >./■/•' eus H ; = r' z sinJ sin(f' — x') — rz' sin J sin(t' — ~) -+- zz' cosJ

f= aa! K sin J — si 11(1^' -H tu' — x') — T sin J - sin('^ -f- ttj — x ) -+- !^^' cos J ,

V = 2;x'n2a2(R/r?a'-4- AR \Jaa'),

avec

R = V ;:: cos H ,

AR = (0 — — 5 •— A-3 -1- - ( u> 5 ^~5 .

7^ -^ (rr cos H -4- 10 ) rf 1- . . . ,

La fonction R est celle que nous avons étudiée précédemment, en j remplaçant a, a' par è, b' : toutefois il convient de profîtei' du fait que £, e', ro, nr, y, y', 6, 9' sont des constantes choisies une fois pour toutes. En reprenant l'analyse du n" 90, comptons d'abord les longitudes à partir de la direction Oï du nœud choisi de P' sur P : ceci revient à faire simplement d'abord

ai:=^ Gi = — sin'-, a, ;= a, = sin^ - 5

de sorte qvie les coefficients Bf deviennent entièrement réels. On a ensuite

A'/' = e'^p^-p^^^-'ip'-p'.)^' i iV'"^'" (~Y''^'^K-r'û.Krpr,

^p\-pt^^pvPi 1

et l'on doit remplacer encore X, X' par e'f^+^ '^\ e'^s'+^' t^'^ ; il vient donc finalement sous forme réelle

R = -^,^(iO^[(s ^q'^px—pi)g-^{— s-\'q'-A^p\-^p\)g'

£ \Pl+Pi/ t'\P\+Pï

\2/ Va/ ^^P^'P^^^PuP'-i '^s .

dans cette formule, dont la difTérentiation par rapport à g est immédiate, s et q' sont des entiers quelconques, tandis que y),, /Jj, p', , p'^ sont des entiers non négatifs ; les quantités BJ' sont des fonctions linéaires et homogènes des coefficients de Laplace 6'^, et ceux-ci sont

eux-mêmes des fonctions du rapport a, égal à j-, ou -r-, suivant le cas, de sorte que l'on a aussi

en adoptant toujours les mêmes conventions pour l'emploi du symbole D ; eu particulier, il faut remplacer D par — D lorsqu'on a 6 > 6'. Rappelons enfin que le développement précédent ne représente la fonction R complète que si l'on a soin de corriger les

coefficients D'< b'i^ et D*6* comme on a dit à la fin du n° 90; sinon,

on aurait seulement le développement de A~' .

Le développement de AR s'ordonne suivant les puissances des quantités très petites ^ et ^', et n'a pas besoin d'être prolongé bien loin ; nous pouvons répéter ce que nous avons dit au n" 106 sur la

çon de passer de l'expression de A~' à celles de A~% A", ... en

observant aussi que le développement de A"^ rj est le même que

celui de A"^', à la condition de corriger les T)'' bl comme nous venons de le rappeler. Quant aux fonctions de r et J>, /' et 'Y que l'on rencontre encore dans AR, elles se développeront suivant des formules connues, sur lesquelles il est inutile d'insister, surtout en raison de ce qui suit. 11 nous reste en effet à indiquer la façon de calculer les différents facteurs que l'on rencontre dans l'application des formules (22), (24), (25). D'une façon générale, on les développera très facilement en passant par l'intermédiaire de l'anomalie excentrique u qui correspond à e et g, et appliquant les résultats du n" 81. On aura ainsi en particulier, sous forme symétrique,

pcosai= 1-7 -cosn£',

■ . . S^'^Sadit) .

p sm<];sec'f =^ ^^ sinn^,

2 ^mi n^

cos ng-, psint|< sec'f( cos^cp-f- p ) := 2 ^ — — - — >iinnff;

bette dernière formule résulte de ce que le premier membre est encore

igal à

e . (2 — e^) sin u sin2«;

le signe S' indique que la valeur n ^= o est exclue de la sommation.

8o CHAPITRE XVI.

On a d'ailleurs, pour n positif,

nt 2 ï .1. . .n \ !.(«-+- i) i.2.(«M-i)(«-t-2) 'j'