PQ-.3S

o^'--rrO]a>

Revenons mainlenant aux notations du n" 121 : on a

/■| =:/•'= —, Cl = v' ^- T. = ÎV' +

— r' pi^'^>'

py^ — r e

et, par suite, on peut écrire

R2 = n'-^ «2 [-(arj -h 2 z2) Ui + a;2 U2 4- 72 Us -+- r 5 U; 4- j 3 U;; j, «3= «'-«^ ^ a (3' LrHJtt -i- r-'U:-f-a:(arj- -1-4 «2) L',s-}-j(arx-+- 4*-) Un

en faisant :

LU = A" a ' G 2 gnN- D / Yi D, ^ ^ D-.»

U,2= - - a'p'3e'V+'/,'D/,,(D,/,- I) (-'1 ^1+ ^ Dyi, '^- \ Y-i

^,,'p'3,-..'-Vi),^, tV,-i)(Yl,D,- -;, D,; ) Q

Ces qiianlilcs se déduisenl par de simples différenlialions du développement de la fonction-, inverse de la distance du centre de (gravité G du système Terre-Lune à la planète P", c'est-à-dire encore partie principale de la fonction perturbatrice qui définit l'action de P" sur la Terre. Cette fonction est donc seule nécessaire pour ohlcnir les perturbations de la Lune comme celles de la Terre, ainsi que l'a montré M. Brown, dont nous avons suivi l'analyse dans ce qui piécède.

Considérons donc la fonction - : nous en avons obtenu le développement au Chapitre XIII, mais il est nécessaire de modifier un peu les notations. Désignons par /i", a\ e", /", G" le moyen mouvement, le demi-grand axe, l'excentricité, la longitude moyenne et l'anomalie

LES INÉGALITÉS SECONDAIRES DU MOUVEMENT DE LA LUNE. 3oi

moyenne dans l'orbite képlérienne de la planète P' autour du Soleil, et posons ici

\" — fiil" -" — !!/>£<"■" :" — p—H'i"-

les éléments correspondants pour l'orbite héliocentrique du point G

~-c)iii //, a. z. /'. . (î'. ).', ==6'"^', i' , ^:= — e'^'' , c', = — r "', les seules

notations nouvelles étant /', el à',, et d'ailleurs on a l\ = N -j--. D'après les n"' 90 et 91, on a toujours

-^ \ a a aux conditions suivantes :

i" les quantités Af sont celles définies au n° 91, à la condition d'y reuiplacer :r,, x^, x\, x'., respectivement par t\, t^, s",, si, ;

;>.'* les quantités Bf sont de même celles définies au n° 91, à la con- <lition d'j faire

3" les coefficients de Laplace h'' sont calculés pour a = — ou a = -t>

suivant que la planète perturbatrice est supérieure (Mars, Jupiter, Saturne) ou inférieure (Vénus, Mercure) : dans le premier cas, la caractéristique D appliquée à ces coefficients est conservée comme elle figure dans les formules, tandis que dans le second cas. elle doit être (;]uiniièc en — D.

Dans (;es conditions, on peut écrire

■^ ^ (ii(

C étant un monôme de la forme

où B est une fonction linéaire et bomogène à coefficients numériques des coefficients de Laplace et de leurs dérivées, les D*Z>^ ; de |)bi> ou a néeessairemeut ^' + (/":-- 7',' — '/"r Observons alors que, -1 l'on

<-onsidère ^ comme foiiction de a', a',, z\, ôIj, ou bien (b-s (piauliles

/'i, Xj définies plus haut, on ;i

Da'

-^'■•U> ^Mâ =^Mi)

et, par suite,

nous aurons finalement les formules suivantes, où la caractéristique D s'applique uniquement aux (coefficients de Laplace :

X rDi 3D— ^'»+^ -îr^l C-x-...,

LES INÉGALITÉS SECONDAIRES DU MOUVEMENT DE LA LUNE. 3o3

les valeurs noa écrites de U7, Ug, Un, et de la seconde partie de U,a se déduisent immédiatement de Ug, Ug, U(o, et de la partie écrite de U|2 par des transformations évidentes.

Les opérations à eiFectuer sur les coefficients de Laplace el leurs dérivées peuvent quelquefois amener une certaine perte de précision ; mais celle-ci n'est pas assez importante pour nuire à l'exactitude des résultats ; on peut d'ailleurs la diminuer en faisant usage de la relation (C) du n» 88.

Rassemblant maintenant les différentes fonctions R rencontrées au cours de ce numéro, nous avons pour déterminerla totalité des actions planétaires l'unique fonction délinitive suivante, où l'on a négligé a, ainsi qu'on peut presque toujours le faire, et où les sommations doivent être étendues à toutes les planètes perturbatrices P', ainsi qu'à tous les termes C qui en résultent :

H = n'-^a'-[P(xy ^ -i z^) ~ Q:rî'-i- Q>2-+- Sxz -f- S'yz~...\, a\ec

Q = -{ix-+-n't\ — 3 <ju' — 1 j oc) p-' e— -'

1)2— JD

jLiM'Y a' - ( ;jL H- lit V— 3 o«'-H ■ù'îv') p'3 e'^f^'

S = — - [«■<(/., «>•' — /.^i e-'-') 4- toi'] p'^e-'^'

^'(2D — 3)j( r'(.>D-3)lG,

[li tiv.xe'^' — /.i «-'■') -- io5']p'''e'''

SV-V a

^rlq -^q^

Les fonctions P, (^, Q, S, S', ..

iinplrlcmciil indépcn-

io4 CHAPITRE XXV.

danles des éléments du mouvement de la Lune, qui (iourent seulement dans leurs coeflicients n'-a-^xy -\- 'iz-),n'- a-x"^ , ... : c'est là un point fondamental.

Avant d'aller plus loin, nous ferons encore l'observation suivante. Supposons la planète P" extrêmement rapprochée du Soleil, et, à la limite, confondue avec lui, ce qui revient à donner à la masse M' l'accroissement M". Si l'on regarde le moyen mouvement n comme invariable, nous savons par le n" 101 que les inégalités w' , os' disparaissent, tandis que ou se réduit à une partie constante, égale à - ^» puisque tel est l'accroissement de log a . L'action

indirecte de la planète P' résulte ainsi de la simple fonclion pertur-

, . I M" , Sli

l)atnce -r -rr; '' > r • 3 M or

D'autre part, A se réduit à /■ , et par suite, d'après la forme primitive de la fonction R qui détermine l'action directe de P', cette fonc-

\1" lion n'est autre que -rr-, U (en supprimant le premier terme de la

fonction U du n° 120).

L'action totale de la planète P est donc déterminée finalement

par la lonction irp ( L + t^ /" ^^^ ) ; et si, comme au n" 14o,

on écrit U sous la forme LU H- ^j'Ls-f- [^'1! ., -j-. . . , ceci devient

Lu particulier, on voit que les termes qui ne contiennent pas a ont disparu, et c'est ce qu'on peut vérifier facilement sur les formules ci-dessus.

Au surplus, ce résultat était évident a priori, puisque, pour tenir compte directement de l'accroissement JVF de la masse du Soleil,

il suffit d'augmenter U de ^r- 2a, en désignant par ôa l'accroissement

I M" de a correspondant à M", c'est-à-dire — ô ^- Tjp*

151. Pour calculer effectivement les perturbations planétaires du mouvement de la Lune, il est tout d'abord nécessaire d'avoir les expressions des fonctions xy-^-iz-, x-, y'^, xz-, yz, .... Elles se déduisent sans peine de celles des coordonnées lunaires, et l'on a en particulier, en désignant aussi ces fonctions par

LES INÉGALITÉS SECONDAIRES DU MOUVEMENT DE LA LUNE

A = xy -+- iz- = \ -I- -,' nt' — m- ( 0^ + 6-2) -4- ( — 2 + - m^- H r- in^' ) (îi -(- î-i)

^ mA (3,0-2 : ;, fJ2) | „i2( jj e^ + £, e-2)

4 ) (ia 1

m3)(jje-2^eî^ 0-2

//i^(£2Gi+£^iO-2)— --r-m^(çfe--f^ ;5,9ij